Binómio de Newton
Em matemática, binómio de Newton (português europeu) ou binômio de Newton (português brasileiro) permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto, deve-se salientar que o Binômio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade, o que Newton estudou foram regras que valem para quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.[1]
Casos particulares do Binômio de Newton são:
Notação e fórmula
[editar | editar código-fonte]O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
Os coeficientes são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
- onde e são inteiros, e é o fatorial de x.
O coeficiente binomial corresponde, em análise combinatória, ao número de combinações de n elementos agrupados k a k.
O triângulo de Pascal
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais onde representa o número da linha (posição vertical) e representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Pascal_triangle.png/440px-Pascal_triangle.png)
Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Caiam, pode ter sido o primeiro a descobrir.
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
Para resolvermos binômios do tipo (x+y)n é possível utilizar o triângulo de pascal, onde n é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:
(x+y)n= __xn___+__x(n-1)__x(n-2)+ ...+__x(n-n)__
Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo termo (y), porém da direita para a esquerda:
(x+y)n=__xn y(n-n)+__x(n-1) y1+__x(n-2) y2+ ...+__x(n-n) yn.
Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.
Para isso, segue o seguinte exemplo:
Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 3 do triângulo de Pascal.
Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.
Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio[2]:
n | (x+y)n | |||||||
0 | 1 | 1 | ||||||
1 | 1 | 1 | x+y | |||||
2 | 1 | 2 | 1 | x2+2xy+y2 | ||||
3 | 1 | 3 | 3 | 1 | x3+3x2y+3xy2+y3 | |||
4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4 | ||
5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5 | |
6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | x6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6 |
Demonstração do teorema do Binômio de Newton
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/24/Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png/220px-Tri%C3%A1ngulo_de_Pascal.png)
Antes de começar, vale lembrar que:
- (1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.
Demonstraremos por indução matemática.
- Base:
- Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:
Da hipótese de indução:
Por distributividade de produto sob a soma:
Que pode ser reescrito usando (1):
Usando a formula do triângulo de Pascal:
Reagrupando o somatório:
E segue o resultado.
Aplicações
[editar | editar código-fonte]O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:
- onde são os polinómios de Bernstein.
- Recomendado:
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007. ISBN 85-88325-76-4
- ↑ «Pascal's triangle and the binomial theorem» (PDF). www.mathcentre.ac.uk. Consultado em 5 de dezembro de 2018