Algoritmo Doomsday

A regra Doomsday, algoritmo Doomsday ou método Doomsday é um algoritmo de determinação do dia da semana para uma determinada data. Ele fornece um calendário perpétuo já que o calendário gregoriano tem um ciclo de 400 anos. O algoritmo para cálculo mental foi desenvolvido por John Conway em 1973,^[1] ^[2] inspirando-se no algoritmo do calendário perpétuo de Lewis Carroll.^[3] ^[4] ^[5] Este algoritmo aproveita o fato de que em cada ano há um determinado dia da semana em que caem datas fáceis de lembrar, que são denominadas de dias do juízo final (Doomsday, no original em inglês). Por exemplo, o último dia de fevereiro, 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12, todos caem no mesmo dia da semana em qualquer ano. A aplicação do algoritmo Doomsday envolve três etapas: determinação do dia-âncora para o século; cálculo do dia-âncora para o ano (equivalente ao dia do juízo final do ano) a partir daquele para o século e seleção da data mais próxima daquelas que sempre caem no dia do juízo final — por exemplo, 4/4 e 6/6 — e contagem do número de dias (módulo 7) entre essa data-base e a data em questão para chegar ao dia da semana. A técnica se aplica tanto ao calendário gregoriano quanto ao calendário juliano, embora seus dias do juízo final geralmente sejam dias diferentes da semana.

O algoritmo é simples o suficiente para que possa ser calculado mentalmente. Conway geralmente dava a resposta correta em menos de dois segundos. Para melhorar sua velocidade, ele programou seu computador para questioná-lo com datas aleatórias toda vez que ele se conectava.^[6]

Dias-âncora entre os anos 1701 e 2100

**Dias-âncora para o Calendário Gregoriano**
Seg.	Ter.	Qua.	Qui.	Sex.	Sáb.	Dom.
1701	1702	1703	→	1704	1705	1706
1707	→	1708	1709	1710	1711	→
1712	1713	1714	1715	→	1716	1717
1718	1719	→	1720	1721	1722	1723
→	1724	1725	1726	1727	→	1728
1729	1730	1731	→	1732	1733	1734
1735	→	1736	1737	1738	1739	→
1740	1741	1742	1743	→	1744	1745
1746	1747	→	1748	1749	1750	1751
→	1752	1753	1754	1755	→	1756
1757	1758	1759	→	1760	1761	1762
1763	→	1764	1765	1766	1767	→
1768	1769	1770	1771	→	1772	1773
1774	1775	→	1776	1777	1778	1779
→	1780	1781	1782	1783	→	1784
1785	1786	1787	→	1788	1789	1790
1791	→	1792	1793	1794	1795	→
1796	1797	1798	1799	1800	1801	1802
1803	→	1804	1805	1806	1807	→
1808	1809	1810	1811	→	1812	1813
1814	1815	→	1816	1817	1818	1819
→	1820	1821	1822	1823	→	1824
1825	1826	1827	→	1828	1829	1830
1831	→	1832	1833	1834	1835	→
1836	1837	1838	1839	→	1840	1841
1842	1843	→	1844	1845	1846	1847
→	1848	1849	1850	1851	→	1852
1853	1854	1855	→	1856	1857	1858
1859	→	1860	1861	1862	1863	→
1864	1865	1866	1867	→	1868	1869
1870	1871	→	1872	1873	1874	1875
→	1876	1877	1878	1879	→	1880
1881	1882	1883	→	1884	1885	1886
1887	→	1888	1889	1890	1891	→
1892	1893	1894	1895	1896	→	1897
1898	1899	1900	1901	1902	1903	→
1904	1905	1906	1907	→	1908	1909
1910	1911	→	1912	1913	1914	1915
→	1916	1917	1918	1919	→	1920
1921	1922	1923	→	1924	1925	1926
1927	→	1928	1929	1930	1931	→
1932	1933	1934	1935	→	1936	1937
1938	1939	→	1940	1941	1942	1943
→	1944	1945	1946	1947	→	1948
1949	1950	1951	→	1952	1953	1954
1955	→	1956	1957	1958	1959	→
1960	1961	1962	1963	→	1964	1965
1966	1967	→	1968	1969	1970	1971
→	1972	1973	1974	1975	→	1976
1977	1978	1979	→	1980	1981	1982
1983	→	1984	1985	1986	1987	→
1988	1989	1990	1991	→	1992	1993
1994	1995	→	1996	1997	1998	1999
→	2000	2001	2002	2003	→	2004
2005	2006	2007	→	2008	2009	2010
2011	→	2012	2013	2014	2015	→
2016	2017	2018	2019	→	2020	2021
2022	2023	→	2024	2025	2026	2027
→	2028	2029	2030	2031	→	2032
2033	2034	2035	→	2036	2037	2038
2039	→	2040	2041	2042	2043	→
2044	2045	2046	2047	→	2048	2049
2050	2051	→	2052	2053	2054	2055
→	2056	2057	2058	2059	→	2060
2061	2062	2063	→	2064	2065	2066
2067	→	2068	2069	2070	2071	→
2072	2073	2074	2075	→	2076	2077
2078	2079	→	2080	2081	2082	2083
→	2084	2085	2086	2087	→	2088
2089	2090	2091	→	2092	2093	2094
2095	→	2096	2097	2098	2099	2100

A tabela é preenchida horizontalmente, pulando uma coluna para cada ano bissexto. Esta tabela tem um ciclo de 28 anos, exceto no calendário gregoriano nos anos que são múltiplos de 100 (como 1900 e 2100, que não são anos bissextos) e que também não são múltiplos de 400 (como 2000, que ainda é um ano bissexto). Logo, o ciclo completo é de 28 anos (1.461 semanas) no calendário juliano, 400 anos (20.871 semanas) no calendário gregoriano.

Datas importantes que sempre caem em um dia do juízo final

Pode-se encontrar o dia da semana de uma determinada data do calendário usando o dia do juízo final do mês em questão. Para ajudar com isso, logo abaixo temos uma lista de datas fáceis de lembrar para cada mês, que sempre caem no dia do juízo final.

Como mencionado acima, o último dia de fevereiro é a base de definiçao do dia do juízo final do ano. Para janeiro, 3 de janeiro é um dia do juízo final durante os anos comuns e 4 de janeiro é o dia do juízo final durante os anos bissextos, que pode ser lembrado como "é 3 durante 3 anos em 4, e 4 no 4º ano". Para março, pode-se lembrar da pseudodata "0 de março", que pode ser considerada como sendo o dia anterior a 1º de março, ou seja, o último dia de fevereiro (dia-base, como visto acima).

Para os meses de abril a dezembro, os meses pares têm como datas de juízo final as datas duplas 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12. Os meses ímpares podem ser lembrados com o mnemônico "Eu trabalho das 9 às 5 no 7-11 ", ou seja, 5/9, 11/7 e também 9/5 e 7/11, são todos dias do juízo final.^[7]

Datas do juízo final em cada ano
Mês	Data memorável	Dia do mês	Mnemônico ^[8]
Janeiro	3 de janeiro (anos comuns) 4 de janeiro (bissextos)	3/1 ou 4/1	3 em 3 anos 4 no 4º
Fevereiro	28 de fevereiro (anos comuns) 29 de fevereiro (bissextos)	28/02 ou 29/02	último dia de fevereiro
Março	"0 de março" ou 14 de março	0/3 14/3 — aniversário de Einstein	Dia do Pi
Abril	4 de abril	4/4	Mês par → dia igual a mês
Maio	9 de maio	9/5	Eu trabalho das 9 às 5 no 7-11
Junho	6 de junho	6/6	Mês par → dia igual a mês
Julho	11 de julho	11/07	Eu trabalho das 9 às 5 no 7-11
Agosto	8 de agosto	8/8	Mês par → dia igual a mês
Setembro	5 de setembro	5/9	9-para-5 em 7-11
Outubro	10 de outubro	10/10	Mês par → dia igual a mês
Novembro	7 de novembro	7/11	9-para-5 em 7-11
Dezembro	12 de dezembro	12/12	Mês par → dia igual a mês

Exemplo

Para saber em que dia da semana caiu o Natal de 2021, proceda da seguinte forma: no ano de 2021, o dia-âncora é domingo (tabela de anos acima). Já que 12 de dezembro é um dia do juízo final, 25 de dezembro, treze dias depois (duas semanas menos um dia), cairá em um sábado. O dia de Natal é sempre um dia antes do dia do juízo final. Além disso, 4 de julho (Dia da Independência dos EUA) é sempre um dia do juízo final, assim como o Halloween (31 de outubro), Dia do Pi (14 de março) e Boxing Day (26 de dezembro).

Calculando dias-âncora

O primeiro passo do algoritmo é encontrar o dia-âncora para o século. Para efeitos da regra do juízo final, um século começa com o ano terminado em 00 e termina com o ano terminado em 99. A tabela a seguir mostra o dia-âncora dos séculos 1600s, 1700s, 1800s, 1900s, 2000s, 2100s e 2200s.

Século	Dia-âncora	Índice (dia da semana)
1600-1699	Terça-feira	3
1700-1799	Domingo	1
1800–1899	Sexta-feira	6
1900–1999	Quarta-feira	4
2000–2099	Terça-feira	3
2100–2199	Domingo	1
2200–2299	Sexta-feira	6

Fórmula para obtenção do dia-âncora do século:

Para o calendário gregoriano:

Os valores acima para os dias-âncora foram obtidos através da fórmula matemática: $5 \times (c mod 4) mod 7 + terça-feira$ = âncora. Seja $r = c mod 4$ :

se $r = 0$ então âncora = terça-feira
se $r = 1$ então âncora = domingo
se $r = 2$ então âncora = sexta-feira
se $r = 3$ então âncora = quarta-feira

O que está de acordo com a tabela acima.

Para o calendário juliano:

6 c mod 7 +

domingo = âncora.

Nota: $c = ⌊ ano 100 ⌋$

Após o cálculo do dia-âncora do século, partimos para encontrar o dia-âncora do ano. Para conseguir isso, de acordo com Conway:^[9]

Divida os dois últimos dígitos do ano (chame isso de $y$ ) por 12 e seja $a$ o parte inteira do quociente.
Seja $b$ o resto do mesmo quociente.
Divida esse resto por 4 e seja $c$ a parte inteira do quociente.
Seja $d$ a soma dos três números ( $d = a + b + c$ ). (É novamente possível aqui dividir por sete e tirar o resto. Esse número é equivalente, como deve ser, à soma dos dois últimos dígitos do ano somados mais a parte inteira desses dígitos dividido por quatro.)
Conte o número especificado de dias ( $d$ ou o resto de ${\frac {d}{7}}$ ) a partir do dia-âncora para obter o dia-âncora do ano.

{\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor +y{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {y{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {{{\hat {a}}ncora}={\rm {{\hat {a}}ncora\ do\ ano}}}}\end{matrix}}

Para o ano de 1966 do séc. XX, por exemplo:

{\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {66}{12}}\right\rfloor +66{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {66{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}&=&\left(5+6+1\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}\\\ &=&{\rm {segunda-feira}}\end{matrix}}

Conforme descrito no item 4, acima, isso equivale a:

{\begin{matrix}\left({66+\left\lfloor {\frac {66}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}&=&\left(66+16\right){\bmod {7}}+{\rm {quarta-feira}}\\\ &=&{\rm {segunda-feira}}\end{matrix}}

Portanto, o dia-âncora de 1966 é segunda-feira.

De forma parecida, o dia-âncora de 2005 é uma segunda-feira, pois:

\left({\left\lfloor {\frac {5}{12}}\right\rfloor +5{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {5{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}+{\rm {{terca-feira}={\rm {segunda-feira}}}}

Por que funciona

O cálculo do dia-âncora do algoritmo é feito calculando o número de dias entre qualquer data no ano-base 00 do século e a mesma data no ano atual, calculando o módulo 7. Quando ambas as datas vêm após o dia bissexto (se houver), a diferença é de apenas $365 y + y 4$ (arredondando pra baixo). Mas 365 é igual a 52 x 7 + 1, então, após calcular o módulo, o resultado é

\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}.

Isso fornece uma fórmula mais simples, se a pessoa se sentir mais confortável ao dividir grandes valores de $y$ por 4 e 7. Por exemplo, podemos calcular

\left(66+\left\lfloor {\frac {66}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}=(66+16){\bmod {7}}=82{\bmod {7}}=5

que dá a mesma resposta do exemplo acima.

Onde 12 entra é que o padrão de $(y + ⌊ y 4 ⌋) mod 7$ quase se repete a cada 12 anos. Após 12 anos, nós temos $(12 + 124) mod 7 = 15 mod 7 = 1$ . Se substituirmos $y$ por $y{\bmod {12}}$ , nós tiramos este dia extra do cômputo, adicionando novamente por meio de $\left\lfloor {\frac {y}{12}}\right\rfloor$ adiante, essa retirada é compensada, resultando na fórmula final acima.

O método "ímpar + 11"

Um método mais simples para encontrar o dia-âncora do ano foi descoberto em 2010 por Chamberlain Fong e Michael K. Walters,^[10] e descrito em seu artigo submetido ao 7º Congresso Internacional de Matemática Industrial e Aplicada (2011). Chamado de método "ímpar + 11", é equivalente^[11] ao cálculo

\left(y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor \right){\bmod {7}}

.

É adequado para cálculo mental, porque não requer divisão por 4 (ou 12), e o procedimento é fácil de lembrar devido ao uso repetido da regra "ímpar + 11". Além disso, a adição por 11 é fácil de realizar mentalmente na aritmética de base 10.

Estendendo isso para obter o dia-âncora, o procedimento é feito por meio da atualização de uma variável $T$ em seis etapas, como segue:

Seja $T$ os dois últimos dígitos do ano.
Se $T$ for ímpar, adicione 11.
Agora faça $T = T 2$
Se $T$ for ímpar, adicione 11.
Faça $T=7-(T{\bmod {7}})$
Conte $T$ dias a partir do dia-âncora do século para obter o dia-âncora do ano.

Aplicando este método ao ano de 2005, por exemplo, os passos seriam:

$T = 5$
$T = 5 + 11 = 16$ (adicionamos 11 porque $T$ é ímpar)
$T = 162 = 8$
$T = 8$ (não fazer nada, já que $T$ é par)
$T = 7 - (8 mod 7) = 7 - 1 = 6$
Dia-âncora para 2005 = 6 + terça-feira (dia-âncora do século XXI) = segunda-feira

A fórmula explícita para o método ímpar+11 é:

7-\left[{\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}+11\left({\frac {y+11(y\,{\bmod {2}})}{2}}{\bmod {2}}\right)\right]{\bmod {7}}

.

Embora essa expressão pareça assustadora e complicada, na verdade ela é simples^[11] por causa da parte $y + 11(y mod 2) 2$ , que somente precisa ser calculada uma vez.

Sempre que for necessário somar 11, subtrair 17 produz o mesmo resultado. Embora subtrair 17 possa parecer mais difícil de realizar mentalmente do que somar 11, há casos em que subtrair 17 é mais fácil, especialmente quando o número é um número de dois dígitos que termina em 7 (como 17, 27, 37, ..., 77, 87 e 97).

Correspondência com as letras dominicais

O algoritmo do dia do juízo final está relacionado com a letra dominical do ano da seguinte forma.

Dia do juízo final	Letra Dominical
Dia do juízo final	ano comum	Ano bissexto
Domingo	C	CC
Segunda-feira	B	CB
Terça-feira	A	BA
Quarta-feira	G	AG
Quinta-feira	F	GF
Sexta-feira	E	FE
Sábado	D	ED

Procure na tabela abaixo a carta dominical (DL).

Centenas dos anos		DL	Dígitos restantes do ano				#
juliano (r ÷ 7)	gregoriano (r ÷ 4)	DL	Dígitos restantes do ano				#
r5 19	16 20 r0	A	00 06 17 23	28 34 45 51	56 62 73 79	84 90	0
r4 18	15 19 r3	G	01 07 12 18	29 35 40 46	57 63 68 74	85 91 96	1
r3 17	N / D	F	02 13 19 24	30 41 47 52	58 69 75 80	86 97	2
r2 16	18 22 r2	E	03 08 14 25	31 36 42 53	59 64 70 81	87 92 98	3
r1 15	N / D	D	09 15 20 26	37 43 48 54	65 71 76 82	93 99	4
r0 14	17 21 r1	C	04 10 21 27	32 38 49 55	60 66 77 83	88 94	5
r6 13	N / D	B	05 11 16 22	33 39 44 50	61 67 72 78	89 95	6

Por exemplo, para o ano de 2017, a letra dominical é A - 0 = A.

Fórmula computacional para o dia-âncora de um ano

Para uso em computação, as seguintes fórmulas para o dia-âncora de um ano são convenientes.

Para o calendário gregoriano:

{\rm {{dia\ {\hat {a}}ncora}={\rm {{terca-feira}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {y}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {y}{400}}\right\rfloor ={\rm {{terca-feira}+5\times (y{\bmod {4}})+4\times (y{\bmod {1}}00)+6\times (y{\bmod {4}}00)}}}}}}

Por exemplo, o dia-âncora de 2009 é sábado no calendário gregoriano, pois

{\rm {{s{\acute {a}}bado\ (6)}{\bmod {7}}={\rm {{terca-feira\ (2)}+2009+\left\lfloor {\frac {2009}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {2009}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2009}{400}}\right\rfloor }}}}

Outro exemplo, o dia-âncora de 1946 é quinta-feira, já que

{\rm {{quinta-feira\ (5)}{\bmod {7}}={\rm {{terca-feira\ (2)}+1946+\left\lfloor {\frac {1946}{4}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {1946}{100}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {1946}{400}}\right\rfloor }}}}

Para o calendário juliano:

{\rm {{dia\ {\hat {a}}ncora}={\rm {{domingo}+y+\left\lfloor {\frac {y}{4}}\right\rfloor ={\rm {{domingo}+5\times (y{\bmod {4}})+3\times (y{\bmod {7}})}}}}}}

Os cálculos acima também se aplicam ao calendário gregoriano prolético e ao calendário juliano prolético. Elas usam a função parte inteira e a numeração do ano astronômico para os anos AC.

Ciclo de 400 anos de dias-âncora

Séculos Julianos				-1600J -900J -200J 500J 1200J 1900J 2600J 3300J	-1500J -800J -100J 600J 1300J 2000J 2700J 3400J	-1400J -700J 0J 700J 1400J 2100J 2800J 3500J	-1300J -600J 100J 800J 1500J 2200J 2900J 3600J	-1200J -500J 200J 900J 1600J 2300J 3000J 3700J	-1100J -400J 300J 1000J 1700J 2400J 3100J 3800J	-1000J -300J 400J 1100J 1800J 2500J 3200J 3900J
Séc. gregorianos				-1600 -1200 -800 -400 0 400 800 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600		-1500 -1100 -700 -300 100 500 900 1300 1700 2100 2500 2900 3300 3700		-1400 -1000 -600 -200 200 600 1000 1400 1800 2200 2600 3000 3400 3800		-1300 -900 -500 -100 300 700 1100 1500 1900 2300 2700 3100 3500 3900
Anos				Dias-âncora
00	28	56	84	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua
01	29	57	85	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui
02	30	58	86	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex
03	31	59	87	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb
04	32	60	88	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg
05	33	61	89	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter
06	34	62	90	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua
07	35	63	91	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui
08	36	64	92	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb
09	37	65	93	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom
10	38	66	94	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg
11	39	67	95	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter
12	40	68	96	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui
13	41	69	97	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex
14	42	70	98	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb
15	43	71	99	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom
16	44	72		Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter
17	45	73		Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua
18	46	74		Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui
19	47	75		Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex
20	48	76		Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom
21	49	77		Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg
22	50	78		Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter
23	51	79		Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua
24	52	80		Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb	Sex
25	53	81		Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom	Sáb
26	54	82		Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg	Dom
27	55	83		Dom	Sáb	Sex	Qui	Qua	Ter	Seg

Como no calendário gregoriano há 146.097 dias, ou exatamente 20.871 semanas de sete dias, em 400 anos, o ciclo se repete a cada quatro séculos. Por exemplo, o dia-âncora dos 1700s é o mesmo que o dia-âncora dos 2100s, Domingo.

O ciclo completo de 400 anos dos dias do juízo final é dado na tabela. Os séculos são para o calendário gregoriano e gregoriano proléptico, a menos que sejam marcados com um J para juliano. As linhas dos anos bissextos gregorianos são as destacadas na tabela.

Anos negativos usam numeração de ano astronômico. O ano 25 AEC é −24, mostrado na coluna de −100J (juliano proléptico) ou −100 (gregoriano proléptico), na linha 76.

**Frequência do dia-âncora gregoriano no ciclo de 400 anos por dia da semana e tipo de ano**
	Domingo	Segunda-feira	Terça-feira	Quarta-feira	Quinta-feira	Sexta-feira	Sábado	Total
anos não bissextos	43	43	43	43	44	43	44	303
anos bissextos	13	15	13	15	13	14	14	97
Total	56	58	56	58	57	57	58	400

Um ano bissexto com a segunda-feira como dia-âncora significa que o domingo é um dos 97 dias pulados na sequência de 400 anos. Assim, o número total de anos com domingo como dia- âncora é 71 menos o número de anos bissextos com segunda-feira como dia do juízo final, etc. Como a segunda-feira como dia-âncora é pulada em 29 de fevereiro de 2000 e o padrão de dias bissextos é simétrico em relação a esse dia bissexto, as frequências de dias-âncora por dia da semana (adicionando anos comuns e bissextos) são simétricas em relação à segunda-feira. As frequências dos dias-âncora dos anos bissextos por dia da semana são simétricas em relação ao dia-âncora de 2000, terça-feira.

A frequência de uma determinada data em um determinado dia da semana pode ser facilmente derivada do exposto acima (para uma data de 1º de janeiro a 28 de fevereiro, relacione-a com o dia-âncora do ano anterior).

Por exemplo, 28 de fevereiro é um dia após o dia-âncora do ano anterior, então é 58 vezes cada na terça, quinta e domingo, etc. 29 de fevereiro é o dia-âncora de um ano bissexto, então é 15 vezes cada na segunda e quarta etc.

Ciclo de 28 anos

Em relação à frequência dos dias do juízo final em um ciclo juliano de 28 anos, há 1 ano bissexto e 3 anos comuns para cada dia da semana, o último 6, 17 e 23 anos após o primeiro (portanto, com intervalos de 6, 11, 6 e 5 anos; não distribuído uniformemente porque após 12 anos o dia é pulado na sequência dos dias do juízo final). O mesmo ciclo se aplica a qualquer data a partir de 1º de março caindo em um determinado dia da semana.

Para qualquer data até 28 de fevereiro cair em um determinado dia da semana, os 3 anos comuns são 5, 11 e 22 anos após o ano bissexto, portanto, com intervalos de 5, 6, 11 e 6 anos. Assim, o ciclo é o mesmo, mas com o intervalo de 5 anos depois, em vez de antes do ano bissexto.

Assim, para qualquer data, exceto 29 de fevereiro, os intervalos entre os anos comuns que caem em um determinado dia da semana são 6, 11, 11.

Para 29 de fevereiro cair em um determinado dia da semana, só há uma ocorrência disto acada 28 anos e, é claro, em um ano bissexto.

Calendário juliano

O calendário gregoriano está atualmente alinhado com precisão com eventos astronômicos, como solstícios. Em 1582, essa modificação do calendário juliano foi instituída pela primeira vez. Para corrigir o desvio do calendário, 10 dias foram pulados, então o dia do juízo final retrocedeu 10 dias (ou seja, 3 dias): quinta-feira, 4 de outubro (juliano, dia do juízo final é quarta-feira) foi seguido por sexta-feira, 15 de outubro (gregoriano, dia do juízo final é domingo). A tabela inclui os anos do calendário juliano, mas o algoritmo é apenas para o calendário gregoriano e proléptico gregoriano.

Há de se observar que o calendário gregoriano não foi adotado simultaneamente em todos os países; portanto, por muitos séculos, diferentes regiões usaram datas diferentes para o mesmo dia.

Exemplos completos

Exemplo 1 (1985)

Suponha que queremos saber em que dia da semana caiu 18 de setembro de 1985. Começamos com o dia-âncora do século, quarta-feira. Depois desse passo, adicione $a$ , $b$ e $c$ , calculados conforme acima:

$a$ é a parte de inteira de $8512$ , que é 7.
$b$ é igual a $85 mod 12$ , resultando em $1$ .
$c$ é a parte inteira de $b 4$ , sendo igual a 0.

Isso produz $a + b + c = 8$ . Contando 8 dias a partir de quarta-feira, chegamos a quinta-feira, que é o dia-âncora de 1985. (Usando números: na aritmética do módulo 7, 8 é congruente a 1. Como o dia-âncora do século é quarta-feira (índice 4) e 4 + 1 = 5, o dia-âncora de 1985 é quinta-feira (índice 5). ) Agora comparamos 18 de setembro com um dia do juízo final próximo, 5 de setembro. Vemos que o dia 18 é 13 dias após este dia do juízo final, ou seja, duas semanas menos um dia. Portanto, o dia 18 foi uma quarta-feira (dia anterior à quinta-feira). (Usando números: na aritmética do módulo 7, 13 é congruente com 6 ou, mais sucintamente, -1. Assim, tiramos um do dia do juízo final, quinta-feira, para descobrirmos que 18 de setembro de 1985 foi uma quarta-feira.)

Exemplo 2

Suponha que queremos encontrar o dia da semana em que a Guerra Civil Americana se iniciou em Fort Sumter, que foi 12 de abril de 1861. Dessa vez, não vamos usar a tabela de dia-âncora do século, calculando este por meio da fórmula do parágrafo "Calculando dias-âncora". Temos $c=18$ e $r=c{\bmod {4}}=18{\bmod {4}}=2$ . Logo, o dia-âncora do século é $(5\times 2){\bmod {7}}+{\textrm {terca-feira}}={\textrm {sexta-feira}}$ . Os dígitos finais 61 fornecem um deslocamento de seis dias em relação ao dia-âncora do século, pois ${\begin{matrix}\left({\left\lfloor {\frac {61}{12}}\right\rfloor +61{\bmod {1}}2+\left\lfloor {\frac {61{\bmod {1}}2}{4}}\right\rfloor }\right){\bmod {7}}=(5+1+0){\bmod {7}}=6\end{matrix}}$

então o dia-âncora de 1861 é quinta-feira (âncora do século, sexta-feira, mais 6 dias). Logo, 4 de abril foi uma quinta-feira, sendo que 12 de abril, 8 dias depois, foi uma sexta-feira.

Ver também

Computus - Algoritmo de Gauss para cálculo da data da Páscoa
Congruência de Zeller - Um algoritmo (1882) para calcular o dia da semana para qualquer data do calendário juliano ou gregoriano.
Cálculo mental

Referências

↑ John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» (PDF). Eureka. Outubro 1973. p. 28-32
↑ Richard Guy, John Horton Conway, Elwyn Berlekamp : "Winning Ways: For Your Mathematical Plays, Volume. 2: Games in Particular", pages 795–797, Academic Press, London, 1982, ISBN 0-12-091102-7.
↑ Lewis Carroll, "To Find the Day of the Week for Any Given Date", Nature, March 31, 1887. doi:10.1038/035517a0
↑ Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays, pages 24–26, Springer-Verlag, 1996.
↑ «What Day is Doomsday». Mathematics Awareness Month. Abril 2014
↑ Alpert, Mark. "Not Just Fun and Games", Scientific American, April, 1999. doi:10.1038/scientificamerican0499-40
↑ Torrence, Bruce; Torrence, Eve. «John H. Conway - Doomsday, part 1». YouTube. Mathematical Association of America. Consultado em 14 de abril de 2020. Arquivado do original em 21 de dezembro de 2021
↑ Limeback, Rudy (3 de janeiro de 2017). «Doomsday Algorithm». Consultado em 27 de maio de 2017
↑ John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» (PDF). Eureka. Outubro 1973. p. 29-30
↑ Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).
↑ ^a ^b Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).

Ligações externas

Enciclopédia de Cálculo de Dias da Semana por Hans-Christian Solka, 2010
Calculadora do Juízo Final que também "mostra todo o trabalho"
Recordes mundiais para calcular mentalmente o dia da semana no calendário gregoriano
Registros nacionais para encontrar datas do calendário
Ranking Mundial de Datas do Calendário Mental Memoriad (todas as competições combinadas)
Qual é o dia da semana, dada qualquer data?
Algoritmo do Juízo Final
Encontrando o dia da semana
Poem explaining the Doomsday rule no Wayback Machine (arquivado em outubro 18, 2006)

[1] John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» (PDF). Eureka. Outubro 1973. p. 28-32

[2] Richard Guy, John Horton Conway, Elwyn Berlekamp : "Winning Ways: For Your Mathematical Plays, Volume. 2: Games in Particular", pages 795–797, Academic Press, London, 1982, ISBN 0-12-091102-7.

[3] Lewis Carroll, "To Find the Day of the Week for Any Given Date", Nature, March 31, 1887. doi:10.1038/035517a0

[4] Martin Gardner, The Universe in a Handkerchief: Lewis Carroll's Mathematical Recreations, Games, Puzzles, and Word Plays, pages 24–26, Springer-Verlag, 1996.

[5] «What Day is Doomsday». Mathematics Awareness Month. Abril 2014

[6] Alpert, Mark. "Not Just Fun and Games", Scientific American, April, 1999. doi:10.1038/scientificamerican0499-40

[Torrence-7] Torrence, Bruce; Torrence, Eve. «John H. Conway - Doomsday, part 1». YouTube. Mathematical Association of America. Consultado em 14 de abril de 2020. Arquivado do original em 21 de dezembro de 2021

[8] Limeback, Rudy (3 de janeiro de 2017). «Doomsday Algorithm». Consultado em 27 de maio de 2017

[9] John Horton Conway, «Tomorrow is the Day After Doomsday» (PDF). Eureka. Outubro 1973. p. 29-30

[odd11paper-10] Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).

[Odd11paper-11] Chamberlain Fong, Michael K. Walters: "Methods for Accelerating Conway's Doomsday Algorithm (part 2)", 7th International Congress on Industrial and Applied Mathematics (2011).

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