Área
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Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.[1]
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.
Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.
Definição formal
[editar | editar código-fonte]Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:
- Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
- Se S e T estão em M então S ∪ T e S ∩ T também estão e, além disso, a(S∪T) = a(S) + a(T) − a(S∩T).
- Se S e T estão em M e S ⊆ T então T − S está em M e a(T−S) = a(T) − a(S).
- Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
- Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
- Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, S ⊆ Q ⊆ T. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.
Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.[3]
Unidades
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Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.
A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.
Conversões
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A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como
é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que
- 1 pé = 144 polegadas quadradas,
sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:
- 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
- 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
- 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
- 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
- 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.
Outras unidades
[editar | editar código-fonte]Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:
- 1 are = 100 metros quadrados.
Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:
- 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.
Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.
O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:
- 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.
Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.
História
[editar | editar código-fonte]Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.
Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.
Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.
O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.
Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.
No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos , onde vale aproximadamente .
Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com , com valendo aproximadamente .
Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.[4]
Fórmulas de cálculo
[editar | editar código-fonte]Retângulo
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A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:
- (área do retângulo)
Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:
- (área do quadrado)
A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.
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Fórmulas por dissecção
[editar | editar código-fonte]A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.
Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/7c/TriangleArea.svg/220px-TriangleArea.svg.png)
- (área do paralelogramo)
O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:
- (área do triângulo)
É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.
Área de outros polígonos
[editar | editar código-fonte]Área do trapézio:
- (B = base maior; b = base menor; h = altura)[5]
Área do losango:
Área de qualquer polígono regular:
- (P = perímetro; a = comprimento do apótema)[carece de fontes]
Círculo
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A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja, Resulta que a área do círculo é ou seja,
(área do círculo; r = raio)[7]
Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.
O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente que corresponde à área do círculo.
Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:
Área de uma superfície
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A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.
O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.
Á área de uma esfera com raio é:
- (área da esfera)
Lista de fórmulas
[editar | editar código-fonte]Figura | Formula | Variáveis |
---|---|---|
Triângulo equilátero | é comprimento de um lado do triângulo. | |
Triângulo | é metade do perímetro, e é o comprimento de cada um dos lados. | |
Triângulo | e são quaisquer dois lados, e é o ângulo entre eles. | |
Triângulo | e são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente. | |
Quadrado | é o comprimento de um dos lados do quadrado. | |
Retângulo | e são o comprimento de cada um dos lados do retângulo. | |
Losango | e são o comprimento de cada uma das diagonais do losango. | |
Paralelogramo | é o comprimento da base e é a altura medida na perpendicular. | |
Trapézio | e são os lados paralelos e a distância (altura) entre os lados paralelos. | |
Hexágono regular | é o comprimento de um dos lados do hexágono. | |
Octógono regular | é o comprimento de um dos lados do octógono | |
Polígono regular | é o comprimento de um dos lados e o número de lados. | |
Polígono regular | é o raio do círculo circunscrevente, o raio do círculo interior, e é o número de lados. | |
Polígono regular | é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e é o perímetro do polígono. | |
Círculo | é o raio e o diâmetro. | |
Setor circular | e são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos). | |
Elipse | e são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente. | |
Área total da superfície do cilindro | e são o raio e altura do cilindro. | |
Superfície lateral do cilindro | e são o raio e altura do cilindro. | |
Superfície total do cone | e são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente. | |
Superfície total da esfera | e são o raio e o diâmetro, respetivamente. | |
Superfície total da pirâmide | é a área da base, o perímetro da base e a distância do vértice aos cantos da base. |
Aplicações
[editar | editar código-fonte]Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.
Notação
[editar | editar código-fonte]Usa-se a escrita para indicar a área de um polígono de vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.
Área de um triângulo
[editar | editar código-fonte]Critério para equivalência de triângulos
[editar | editar código-fonte]Propriedade 1
[editar | editar código-fonte]Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.
Demonstração: Dadas duas retas paralelas e , a uma distância , marcamos sobre a reta , os pontos e , e sobre a reta , marcamos os pontos, e , conforme figura abaixo.
Essa é uma consequência do corolário: Sejam e triângulos tais que . Então .[8]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9e/Triangulo_area.png/300px-Triangulo_area.png)
Analisando as áreas dos triângulos e , temos que:
Assim, como e a distância de a dada por , se e pertencem a reta e pertence a reta , obtendo um ponto qualquer sobre a reta , temos , portanto os dois triângulos e possuem a mesma base e a mesma altura , logo suas áreas são iguais.
Propriedade 2
[editar | editar código-fonte]Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/98/Raz%C3%A3o_entre_%C3%A1rea_de_tri%C3%A2ngulos_de_mesma_altura.png/300px-Raz%C3%A3o_entre_%C3%A1rea_de_tri%C3%A2ngulos_de_mesma_altura.png)
Na triângulo , foi traçada uma ceviana a partir do vértice intersectando o lado no ponto , ficando assim determinados dois triângulos: e , de mesma altura .
Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,
Portanto,
Triângulos semelhantes
[editar | editar código-fonte]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3a/Magnifying_glass_01.svg/17px-Magnifying_glass_01.svg.png)
Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/Semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2ngulos.png/500px-Semelhan%C3%A7a_de_tri%C3%A2ngulos.png)
Sejam e dois triângulos semelhantes, sendo a razão de semelhança entre seus lados:
, então temos
Demonstração: Como e , temos pelas áreas dos triângulos:
Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será .
A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas
[editar | editar código-fonte]Seja um triângulo retângulo no vértice , onde a hipotenusa , e seus catetos e , considerando ainda a altura relativa à hipotenusa , bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e , temos:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/Rela%C3%A7%C3%B5es_m%C3%A9tricas_no_triangulo_retangulo.png/300px-Rela%C3%A7%C3%B5es_m%C3%A9tricas_no_triangulo_retangulo.png)
Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:
- I.
- II. e
- III.
Demonstração I:
I.a) Calculando a área a partir da base e altura :
I.b) Calculando a área a partir da base e altura :
Decorre de I.a) e I.b) temos que .
Logo
Demonstração II:
II.a) Dado o triângulo , retângulo em , constrói-se quadrados sobre a hipotenusa e os catetos e , respectivamente de medidas , e . Depois prolonga-se a altura até interceptar o lado do quadrado no ponto .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/Demonstra%C3%A7%C3%A3o_do_Teorema_de_Pit%C3%A1goras_por_%C3%A1rea.png/300px-Demonstra%C3%A7%C3%A3o_do_Teorema_de_Pit%C3%A1goras_por_%C3%A1rea.png)
Observando os segmentos paralelos e , percebe-se dois triângulos e de mesma área, cujas bases medem e as alturas medem .
Assim,
Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos e são congruentes pelo caso LAL, pois , e . Logo, . E como os segmentos e são paralelos temos que , visto que a base e a altura são comuns aos dois triângulos.
Assim: , então
Daí,
II.b) De maneira análoga, é provado que
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a3/Demonstra%C3%A7%C3%A3o_do_Teorema_de_Pit%C3%A1goras_por_%C3%A1rea_2.png/300px-Demonstra%C3%A7%C3%A3o_do_Teorema_de_Pit%C3%A1goras_por_%C3%A1rea_2.png)
Como , temos nos triângulos e que , pois possuem a mesma base e mesma altura , sendo assim:
Temos ainda que os triângulos e são congruentes pelo caso LAL, pois ; ; . Então, como temos:
Portanto, da congruência e , temos:
Demonstração III:
De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:
e , logo
Como , temos:
Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:
, pelo caso LAL, então . Temos também que e . Daí, .
Logo, .
Por outro lado, da demonstração II. b), onde , pelo caso LAL, então . Temos ainda que e . Daí, .
Logo, .
Portanto, analisando a área do quadrado de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:
Concluindo, , e
Então, (Teorema de Pitágoras)
Área de um trapézio
[editar | editar código-fonte]No trapézio de altura , temos os lados paralelos e , tal que e .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/a9/%C3%81rea_do_trap%C3%A9zio.png/300px-%C3%81rea_do_trap%C3%A9zio.png)
Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que , e traçar pelo vértice um segmento paralelo ao lado de forma que intercepte o lado no ponto . Assim, como e , temos o paralelogramo de altura e base , e temos ainda um triângulo de base , e altura .
Note que:
Portanto,
Área de um losango
[editar | editar código-fonte]De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então .[9]
Demonstração: Dado o losango , cujas diagonais interceptam-se no ponto , simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais e .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Losango_%C3%A1rea.png/300px-Losango_%C3%A1rea.png)
Como , os triângulos determinados pelas diagonais e , são isósceles e como é ponto médio destas diagonais, temos que, , , portanto os triângulos e são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos e , pelo mesmo caso.
Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal .
.
Como , temos:
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ Facco, Sonia Regina. «Conceito de área» (PDF). pucsp.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
- ↑ «Bureau International des Poids et Mesures» (em inglês)
- ↑ Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.
- ↑ Só Matemática. «História da Geometria». Consultado em 17 de junho de 2015
- ↑ «Área do trapézio». colegioweb.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
- ↑ «Cálculo de área». matematicadidatica.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012
- ↑ Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, New York: Barnes & Noble publicado por acordo com St. Martin's Press, p. 17:
"The area of a circle... is "
("A área de um círculo... é ") - ↑ Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 215 páginas
- ↑ Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 219 páginas