O problema é nosso!: um caminho compartilhado para resolver problemas matemáticos

CAPÍTULO I - RESULTADOS DE PESQUISAS EMPÍRICAS

Neste Capítulo, apresentamos as pesquisas realizadas com foco em resolução de problemas, de forma a compreendermos como os autores percebem esse tópico e que tipo de representações foram utilizadas por estudantes. Além disso, também discorremos a respeito de diferentes abordagens sobre a resolução de problemas e as reflexões feitas sobre processos heurísticos.

Durante a pesquisa e leitura das fontes bibliográficas, foi possível constatar que havia muitas publicações disponíveis a respeito do tópico Resolução de Problemas e, portanto, focamos o estudo somente naquelas que, de alguma forma, também se relacionavam às estratégias que alunos apresentam ao resolver problemas matemáticos, já que nosso objetivo é investigar se a utilização de uma metodologia de resolução de problemas que valoriza a reflexão sobre o processo de resolver um problema pode colaborar para a percepção dos processos heurísticos.

1.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E HABILIDADES HEURÍSTICAS

Várias pesquisas tratam da resolução de problemas relacionada às habilidades heurísticas, entre elas a de Chahon (2006). O autor realizou um levantamento acerca do que se entende por metacognição. A primeira hipótese levanta a ideia de que, caso os alunos reflitam sobre as diferentes estruturas de problemas aditivos, por meio da oralidade, do desenho e da escrita, a problematização desses problemas terá como objetivo colocar os processos cognitivos em jogo, e isso poderá favorecer a aprendizagem dos sujeitos. Concordamos com Chahon, Ibid., quando ele diz que a reflexão sobre as estruturas dos problemas por meio da oralidade, do desenho e da escrita favorece a aprendizagem dos sujeitos. A segunda hipótese aponta que a exploração (metacognitiva) do conhecimento relacional prévio, no que se refere à representação e à resolução de problemas de multiplicação e divisão, pode conduzir a uma melhor aprendizagem mesmo que o indivíduo ainda não domine o conhecimento formal de efetuar um determinado cálculo numérico. Isto quer dizer que, mesmo que o sujeito não domine um procedimento de cálculo numérico, por exemplo de multiplicação, poderá resolver problemas de multiplicação por meio de outros tipos de representação, pois isso envolve o cálculo relacional. Com o objetivo de verificar suas hipóteses de pesquisa, o pesquisador pediu que professoras de 2º a 4º ano do Ensino Fundamental selecionassem 30 crianças entre classes de uma escola pública do Rio de Janeiro para participarem da pesquisa, o que ocorreu no 2º semestre de 2000. No ano seguinte, uma turma de 27 alunos do 3º ano foi escolhida para dar prosseguimento à pesquisa de forma mais prolongada. Já em 2002, duas outras turmas de 3º ano, em um total de 27 alunos, participaram também de forma prolongada na pesquisa.

A investigação preliminar, no segundo semestre de 2000, consistiu na realização de uma prova individual realizada pelas crianças. No ano seguinte, uma turma de 3º ano realizou novas provas, e, a partir dos resultados obtidos com elas, foram emparelhados dois grupos considerados equivalentes, com 10 (dez) crianças cada (as variáveis sexo e idade mantidas em certo equilíbrio entre ambos). Em seguida, um deles (grupo experimental) participou de atividades coletivas de intervenção, ao final das quais todas as crianças dos dois grupos voltaram a realizar provas semelhantes às primeiras.

Um planejamento similar foi reconduzido em 2002, após revisão do instrumental, quando a opção por trabalhar com duas turmas (e, consequentemente, dois grupos experimentais), deveu-se à oportunidade de efetuar observações mais expressivas do ponto de vista qualitativo, e ainda tendo em vista a possibilidade do uso de técnicas estatísticas inferenciais (por exemplo, teste de comparação de médias) ao final do treinamento.

No total foram realizados treze encontros, sendo oito deles voltados à resolução de problemas aditivos e cinco para problemas multiplicativos, sendo que os instrumentos de coleta de dados oferecidos aos alunos foram selecionados de acordo com as diferentes ideias das quatro operações, utilizando para tal as contribuições da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (2009).

A base teórica da pesquisa gira em torno da noção de metacognição visando a aprendizagem matemática para os anos iniciais de escolaridade. Por isso, o autor destaca alguns trabalhos importantes referentes à metacognição. Flavell (1970, apud CHAHON, 2006, p.25) define metacognição como qualquer conhecimento ou atividade cognitiva que toma como seu objeto, ou regula, qualquer aspecto de qualquer iniciativa cognitiva. Ainda afirma que as habilidades metacognitivas infantis, envolvendo a capacidade de uma criança de monitorar (de saber localizar-se em relação à sua meta) e autorregular (planejar e avaliar) o próprio comportamento, desenvolvem-se desde os 7 anos de idade e podem ser ensinadas dentro do currículo escolar. Davidson et al. (1996, apud CHAHON, 2006) destacam quatro processos metacognitivos: identificar e definir o problema; representar mentalmente o problema; planejar como proceder e, por fim, avaliar o próprio desempenho.

Percebemos que a fase de escolaridade dos alunos dos anos iniciais do Ensino Fundamental é bastante propícia para desenvolver atividades nas quais o aluno possa monitorar o próprio aprendizado. Em nossa pesquisa, buscamos desenvolver uma metodologia que aponte fases de resolução de problemas que possam ser úteis para o desenvolvimento desses processos heurísticos, assim como Chahon (2006) apontou para essa necessidade em sua pesquisa.

Os resultados da pesquisa de Chahon (ibid.), apontaram progressos sutis dos grupos experimentais, que permaneceram de forma prolongada na pesquisa em relação aos grupos de comparação, justificando que novas pesquisas precisam ser realizadas a fim de colaborar com os dados obtidos naquele trabalho. Portanto, a partir da limitação da pesquisa de Chahon (ibid.) entendemos que nossa pesquisa deve enfatizar também a capacidade do aluno de tomar para si todo o processo de resolução de problemas.

Um dos pontos destacados no final da pesquisa foi que o recurso de registrar por escrito, individualmente em uma folha de papel, a resolução do problema, empobreceu as produções dos alunos do ponto de vista da criatividade. Em nossa pesquisa, embora os estudantes tenham trabalhado em grupo, o registro da ficha foi individual. Neste caso, poderíamos verificar se ocorreu em nosso trabalho o mesmo que ocorreu na pesquisa de Chahon (ibid.), isto é, gostaríamos de saber se realmente se deu esse empobrecimento dos registros dos alunos, conforme foi citado pelo autor.

Chahon (ibid.) aborda a relação entre a metacognição e a compreensão infantil dos conceitos de adição e subtração e reforça que esta se dá por meio do domínio de um número cada vez maior de situações-problema, o qual deriva da utilização de uma variedade de procedimentos, baseados em invariantes (ou propriedades), diferentes teoremas em ação, e sustentados por múltiplos sistemas de sinais (representações simbólicas). Assim como Chahon (ibid.), entendemos que a compreensão de conceitos envolvidos em situações multiplicativas acontece por meio de variados problemas (situações), nos quais o estudante precisa mobilizar diferentes representações (esquemas). Sendo assim, em nossa pesquisa, destacamos problemas variados de acordo com as categorias de problemas multiplicativos de Vergnaud (2009), e analisamos os invariantes operatórios e as representações apresentadas pelos alunos sujeitos dessa pesquisa.

Alvarenga (2008) apresenta como objetivo de pesquisa analisar as heurísticas por meio das estratégias, isto é, a maneira pela qual jovens do Ensino Médio resolvem situações-problema de Matemática. A questão de pesquisa apresentada pela autora é: quais são as heurísticas envolvidas no processo de resolução de problemas matemáticos pelos alunos do Ensino Médio? (id. Ibid., p.16).

Na pesquisa, clarifica-se a ideia de heurística como sendo, para Bruner (1968, apud ALVARENGA, 2008, p.15), uma abordagem feita por alguém para resolver um problema. Para Polya (1978), o objetivo da heurística é o estudo dos métodos e das regras da descoberta. Em nossa pesquisa, tomaremos como conceito de heurística a ideia de Polya (2006), que será mais bem explicitada no final deste capítulo.

A pesquisa aconteceu em uma escola estadual de São Paulo, com duas turmas de 1° ano, duas turmas de 2° ano e duas turmas de 3° ano, todas do Ensino Médio, no período noturno. Esses alunos foram divididos em dois grupos, sendo um deles o grupo que participou dos testes e o outro um grupo controle. O papel da pesquisadora foi o de observadora-participante. Como fundamentação teórica, foi utilizada a Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky (1988, apud ALVARENGA 2008), aliada às ideias de Polya (1978, apud id. Ibid.).

Inicialmente, foram aplicados oito problemas para os alunos. Os problemas que compuseram os instrumentos de coleta de dados foram retirados do Banco de Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas de 2005, 2006 e 2007, do livro Ler, escrever e resolver problemas, e também foi realizada uma entrevista aberta com os estudantes sobre afinidade com a Matemática. Passado algum tempo do término da aplicação desses instrumentos, foi aplicado outro teste, chamado de Pós Pós-Teste, a fim de verificar os conceitos matemáticos desenvolvidos na pesquisa que permaneceram ou que foram esquecidos pelos alunos.

De acordo com Alvarenga (2008), a análise de dados se deu pela verificação das diferentes maneiras de pensar sobre os problemas e as respectivas justificativas dos alunos, a fim de analisar como chegaram a determinado resultado. A autora cita que, quando se prioriza a maneira de pensar dos estudantes, prioriza-se também o processo heurístico em sua concepção.

A partir da análise do Pós Pós-Teste, observou-se que os alunos não compreendem significativamente os conceitos matemáticos, isto é, os conceitos matemáticos por vezes são apenas decorados, e não são, de fato, assimilados pelos alunos. Por meio das observações a respeito da postura e da interação dos estudantes durante a aplicação da pesquisa, a autora inferiu que eles são marcados por uma visão infantilizada e resistente a respeito da Matemática. De acordo com o trabalho da autora, entendemos que essa visão infantilizada se refere à imaturidade apresentada por alguns estudantes frente aos conhecimentos matemáticos, ao mesmo tempo em que também resistente, pois entendemos que não houve tanta participação e envolvimento dos alunos durante a pesquisa.

Nas conclusões de Alvarenga, ao contrário do que foi evidenciado por Chahon (2006), a criatividade das respostas apresentadas pelos estudantes foi relacionada à perspectiva metodológica de resolução de problemas. Ainda afirma que essa perspectiva favorece a formação de novos conceitos matemáticos pelos alunos e ressalta a importância da análise do caminho percorrido pelo aluno durante a resolução de problemas e não apenas os acertos e os erros.

Justo (2009) realizou uma pesquisa com o objetivo de verificar que influência uma formação continuada para professores, com base em programa de ensino a respeito do campo conceitual aditivo, pode ter no desempenho de alunos ao resolver problemas matemáticos. Para isso, elaborou, em colaboração com professores, um programa de ensino que levou em conta a construção de significados de operações de adição e subtração, a compreensão das relações semânticas encontradas nos problemas matemáticos aditivos, o ensino de procedimentos e de representações e de habilidades metacognitivas, que foi aplicado aos alunos dos professores participantes, e em cujos resultados nos deteremos.

Essa pesquisa aconteceu no ano de 2008, em uma escola pública e em uma particular. Para cada escola e cada série, foram escolhidas uma turma experimental e uma turma- controle. As turmas- controle não participaram do programa de ensino, assim como seus respectivos professores não participaram da formação continuada.

A pesquisa foi dividida em algumas partes. Em todas elas foram os professores participantes que aplicaram o programa. No Pré-Teste, procurou-se investigar o desempenho das crianças em relação aos problemas matemáticos aditivos antes de iniciado o programa de ensino com os professores. No Pós-Teste, ocorrido após a implementação do programa, foram aplicados vinte problemas aditivos às turmas experimentais e controle das duas escolas, com o objetivo de verificar se houve melhora no desempenho dos alunos. Por fim, no Pós-Teste 2, buscou-se verificar a permanência da aprendizagem das crianças. Esse teste foi aplicado seis meses após o término do programa.

Justo (ibid) observou que, nas turmas em que