Hilbert e os Fundamentos da Matemática: o Sucesso de um Fracasso

1OS CAMINHOS DE HILBERT

Neste primeiro capítulo daremos uma piscadela no que foi a vida e a obra de David Hilbert. Consideramos isto necessário para atingir maior grau de compreensão de seus propósitos como um todo, antes de nos determos de forma mais apurada em seu projeto maior associado à questão dos fundamentos da matemática: o Programa de Hilbert.

1.1. IDAS & VINDAS

David Hilbert nasceu em 23 de janeiro de 1862, em Wehlau, localidade próxima a Königsberg⁶, capital da Prússia Oriental, conhecida pelo histórico problema das Sete Pontes de Königsberg, resolvido por Euler (1736), que deu origem à teoria dos grafos.

Seu pai, Otto Hilbert, era juiz de condado na época de seu nascimento e sua mãe, Maria Therese, filha de um negociante, tinha interesse nas ciências. Sua educação teve por base o aprimoramento das virtudes prussianas de seu pai, como pontualidade, fidelidade ao dever, diligência, disciplina e respeito pelas leis, além da leveza e curiosidade científica de sua mãe.

Parte de sua infância se passou em meio aos conflitos que fizeram parte do processo de unificação da Alemanha com a Prússia, oficialmente realizado em 1871. No ínterim, seu pai assumiu novo cargo de juiz em Königsberg e se mudou com toda a família.

Até a idade de oito anos, Hilbert estudou em casa orientado, supõe-se por sua mãe, e, cresce banhado pelas tradições em torno da figura do filósofo Immanuel Kant, filho da terra, e cujas palavras lhe permeariam a infância.⁷ Para Kant⁸, a matemática era uma forma de conhecimento que só poderia ser adquirida a partir da razão pura e certamente suas ideias exerceram grande influência sobre Hilbert.

Em 1870, entrou oficialmente para a Vorschule da Royal Friedrichskolleg, onde recebeu a educação básica necessária para ingresso no Gymnasium. Até então, a instrução recebida se limitava aos aspectos mais simples de sua língua materna e rudimentos da aritmética básica.

O Friedrichskolleg Gymnasium, onde foi admitido em 1872, era uma conceituada instituição de ensino, tradicional e rígida em seu currículo, centrada no estudo do latim e do grego. Para Hilbert, porém, não existiam ali oportunidades para pensamentos independentes e criativos. O estudo das ciências não era oferecido e a matemática era relegada a segundo plano. Mesmo assim, era a única área pela qual tinha algum destacado interesse.

No seu último ano nesta instituição, 1879, Hilbert foi transferido para o Wilhelm Gymnasium, cujo currículo encorajava a criatividade e era mais voltado para a matemática. Nesse momento então, incentivado por seus professores, demonstrou vivo interesse e compreensão acirrada dos conceitos matemáticos, primeiros sinais de suas extremas habilidades na área.

No inverno de 1880, Hilbert foi admitido na Universidade de Königsberg, uma das mais conceituadas de seu tempo, por onde passaram professores como Jacobi, Richelot e Neumann, este último fundador do primeiro instituto de física teórica de uma universidade alemã. Contrariando a tradição familiar em advocacia, Hilbert se matriculou no curso de matemática, parte integrante da faculdade de filosofia.

Durante os quatro anos seguintes, assistiu a diversos cursos, como os de Weber, colaborador de Dedekind, e de Lindemann, que acabara de provar a transcendência de π (1882). No mesmo período, cursou também um semestre na Universidade de Heidelberg, assistindo aos cursos de equações diferenciais de Fuchs.

Nesse tempo de estudante universitário, Hilbert veio a conhecer seu melhor amigo Minkowski, além de Hurwitz, dois dentre todos aqueles que exerceram grande influência sobre seus trabalhos, e cuja amizade lhe proporcionou intermináveis caminhadas e conversas sobre matemática nos arredores de Königsberg.

Minkowski tinha sido admitido na universidade um semestre antes de Hilbert e seu talento em matemática era reconhecido por todos. Tinha passado um ano em Berlim e em 1883 recebeu, aos 18 anos, o Grand Prix des Sciences Mathématiques da Academia de Ciências de Paris ao resolver um problema proposto em 1881 – o cálculo do número de decomposições distintas de um número inteiro como soma de cinco quadrados - que serviu de base para sua tese de doutorado, defendida em 1885.

Na primavera de 1884, foi a vez de Hurwitz, aos 25 anos, se estabelecer em Königsberg como professor Extraordinarius⁹.

A convivência com esses amigos proporcionou a Hilbert ampla visão da matemática contemporânea e das diversas escolas existentes na Alemanha naquele momento, como os estudos em geometria de Klein e a algébrico-analítica em Berlim, com professores do porte de Weierstrass, Kummer e Kronecker.

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Completados os quatro anos necessários para a finalização do doutorado, Hilbert acata a sugestão de Lindemann, seu orientador, e se dedica a resolver um problema em aberto da teoria dos invariantes algébricos¹⁰, tema de muito interesse nos círculos matemáticos da época, tendo pleno sucesso. Em 11 de dezembro de 1884, Hilbert é aprovado no exame oral e se torna apto para o processo de defesa pública¹¹ com questões de caráter científico, realizado em 7 de fevereiro de 1885.

O título de Doutor foi apenas o começo de uma bem-sucedida carreira acadêmica. Para exercer a docência na universidade seria necessário ainda ser aprovado no Habilitation¹², apresentando um segundo trabalho original, de maior alcance que sua tese de doutorado. Desta forma, obteria o título denominado venia legendi¹³ e poderia aceder ao Privatdozent. Nesse meio tempo, Hilbert foi aprovado em maio de 1885 no exame estatal para professor de escola secundária, o Staatlich Prüfung.

Sua preparação para o Habilitation incluía ampliar seu campo de interesses e se aprofundar em teoria dos invariantes. Sendo assim, Hilbert aceita uma sugestão de Hurwitz e resolve passar um semestre em Leipzig, onde se encontravam outros pesquisadores desta área, além de Klein, figura já lendária no meio matemático.

Aos 23 anos, este tinha obtido uma cadeira na Universidade de Erlangen e em sua aula inaugural apresentou um programa de unificação de todas as geometrias existentes (Programa de Erlangen), por meio de grupos de transformações. Hilbert assistiu a seus cursos e teve participação brilhante nos seminários, o que chamou a atenção de Klein, a ponto de lhe sugerir que fosse passar um semestre em Paris, então um centro de excelência em matemática, antes de seu retorno a Königsberg. Além do contato com vários matemáticos franceses de renome como Jordan, Hadamard, Picard e Poincaré, dentre outros, o maior proveito de Hilbert nesta viagem, foram os encontros com Hermite, cujas conversas giravam em torno da teoria dos invariantes.

Hermite o aconselhou a tratar de duas questões específicas: a generalização das leis de reciprocidade para formas ternárias e a solução do problema mais importante dessa teoria: a busca de uma base de invariantes para polinômios de três ou mais variáveis, o Problema de Gordan. Encorajado por tais conselhos, Hilbert deixou Paris com novo ânimo, passando por Göttingen para visitar Klein, recém-admitido, e Berlin, onde manteve contato com Kronecker.

De volta a Königsberg, Hilbert termina de escrever seu trabalho para o Habilitation, ainda envolvendo a teoria dos invariantes, e o apresenta em julho de 1886; aprovado, consegue se estabelecer como Privatdozent. Observe-se que Klein teria desejado que o trabalho fosse apresentado numa universidade de maior destaque, onde Hilbert pudesse interagir mais fortemente com outros especialistas e tivesse acesso a melhores oportunidades de docência e pesquisa. Este, porém, preferiu se manter em sua zona de conforto com a proximidade de Lindemann e o estímulo de amigos como Hurwitz. O isolamento de Königsberg seria superado com visitas frequentes a outras universidades alemãs que lhe proporcionaram ampla familiaridade com as diversas correntes e controvérsias em discussões com influentes matemáticos da época. Vista como um todo, sua obra foi construída a partir desse conhecimento, adquirido com base teórica formada por métodos investigativos inovadores e muitas vezes surpreendentes.

Em seu primeiro ano como Privatdozent, Hilbert lecionaria sobre diferentes assuntos, o que o auxiliaria a completar também sua própria formação docente, se dedicando assim a seguir os conselhos de Hermite.

TEORIA DOS INVARIANTES

No início de 1888, Hilbert reassume seu projeto de viagens e tem como primeira escala a Universidade de Erlangen - Nuremberg, onde se encontraria com Gordan, que vinte anos antes havia conseguido provar a existência de uma base finita de invariantes para o caso de formas binárias de qualquer grau. O resultado foi então estendido para a existência de uma base finita de invariantes algébricos simultâneos para qualquer sistema finito de formas binárias. A demonstração utilizava métodos construtivos complexos, o que envolvia muitos cálculos, necessários para a exibição da base procurada.

Porém, para o caso de formas ternárias, o problema se encontrava em aberto e era seu principal objeto de estudo: obter um resultado semelhante para polinômios de três ou mais variáveis, conhecido como o Problema de Gordan. As conversas e reuniões entre eles marcaram a direção tomada por Hilbert que, a partir de então, passou a se dedicar de forma intensa na resolução do problema.

Pouco tempo depois, Hilbert escreveu a Klein [...] com a ajuda estimulante do professor Gordan, uma sequência infinita de inspirações nasceu em mim e me veio uma demonstração maravilhosamente curta e precisa da finitude dos sistemas de formas binárias.¹⁴ Sua demonstração não construtiva, era mais simples e original que a de Gordan que, ao tomar conhecimento e averiguar o método de demonstração empregado, a classificou como teologia¹⁵.

A partir deste momento se definiria sua predileção pelo método axiomático, o que permearia toda a sua obra. Em 1890, ele apresentou a resolução final do Problema de Gordan, o resultado tão esperado para polinômios de três ou mais variáveis, demonstrando o Teorema Fundamental da Teoria dos Invariantes:

A álgebra A dos invariantes associados a qualquer família finita de formas n - árias é sempre finitamente gerada, ou seja, para qualquer g∈ A, existe uma família finita de invariantes f1 , f2 , f3 ,…, fr e um polinômio P com r variáveis, tal que g pode ser escrito na forma g = P ( f1 , f2 , f3 ,…, fr).

Na resolução do problema, Hilbert o reduz a uma série de resultados gerais que impulsionariam muitos outros em áreas como a geometria algébrica, a teoria dos números e a álgebra comutativa. Em particular, foi preciso provar dois importantes resultados:

I. uma generalização do Teorema Fundamental da Álgebra, importante resultado em geometria algébrica, que relaciona variedades e ideais¹⁶ em anéis de polinômios sobre corpos algebricamente fechados, o chamado Nullstellensatz¹⁷ (teorema dos zeros de Hilbert).

II. o Teorema da Base de Hilbert¹⁸, de vital importância para o posterior desenvolvimento da álgebra comutativa em geral e da geometria algébrica em particular.

É importante assinalar que a demonstração de Hilbert ultrapassa os limites do que se queria de fato acrescentar à teoria dos invariantes algébricos, ao apresentar técnicas inovadoras importantes e considerar o conjunto dos invariantes como uma estrutura algébrica¹⁹, um ideal, objeto de estudo de Kronecker e Dedekind, que utilizavam o conceito para descrever sistemas de números ou funções. O problema é assim recolocado numa perspectiva abstrata absoluta e, como consequência, estabelece novos caminhos para o estudo das estruturas algébricas tendo em vista a sua aplicação em níveis subjacentes dos objetos estudados. Esta visão será retomada na década de vinte por Emily Noether e sua escola.

Àquela altura, a novidade da técnica impressionou, fruto da necessidade de introduzir novos conceitos e métodos para avançar no estudo de alguns problemas clássicos. Porém, a demonstração não era construtiva. Tratava-se de um teorema geral de existência, um método indireto de demonstração, adotado por Hilbert em caráter mais geral.

[...] The value of pure existence proof consists precisely in that the individual construction is eliminated by them, and many different constructions are subsumed under one fundamental idea so that only what is essential to the proof stands out clearly; brevity and economy of thought are the raisons d’être of existence proofs. […] To prohibit existence statements […] is tantamount to relinquishing the science of mathematics altogether.²⁰

Os métodos diretos de demonstração têm uma vantagem evidente por nos dar uma resposta explícita do que procuramos e que pode servir em outros contextos. Trata-se de, com recursos algébricos, fazer uma manipulação rotineira de símbolos. Porém, quando o problema é desconhecido e não sabemos com certeza se tem solução, essa forma de fazer matemática pode ser frustrante e demorada, sendo preciso uma inspiração única para encontrar o caminho que leva à solução desejada.

Já os indiretos, como as provas de existência ou as demonstrações por recorrência ou indução, tem por objetivo fundamental provar que algo existe ou não. Em geral, no caminho que se percorre, surgem conceitos novos e resultados auxiliares. As demonstrações assim direcionadas deixam muitas vezes pistas para determinar um procedimento de cálculo para o que se acaba de mostrar a existência.

Porém, muitos especialistas não aceitavam esse tipo de demonstração e os argumentos envolvidos. Ao enviar seu trabalho para publicação no prestigiado Mathematische Annalen²¹, Klein, então editor-chefe, pediu que Gordan fizesse a revisão. Em resposta, Gordan não contestou a importância e validade do resultado, mas sim, a validade e clareza da etapa indutiva da demonstração. Hilbert, no entanto, se recusou a fazer quaisquer alterações no seu trabalho que já havia sido revisto e aprovado por outros especialistas na área. Klein passou então uma semana com Gordan para acalmar os ânimos e, a seguir, decidiu aprovar a publicação.

Restava ainda silenciar opositores, como Kronecker, de grande influência no pensamento matemático e política científica alemã da época, e que tinha concepções diferentes sobre métodos indiretos como o utilizado por Hilbert. A seu ver, demonstrações de existência deveriam passar forçosamente pela construção e exibição do objeto cuja existência se desejava provar. Ver para crer! Sua forma de trabalho priorizava os procedimentos algoritmos explícitos, identificado como um finitista ferrenho que não aceitava a existência de números transcendentes e quiçá dos números algébricos mesmo sob certas condições.

Kronecker defendia um formato comum para tratar de todos os problemas da matemática, por meio das propriedades de polinômios com um número finito de variáveis sobre o corpo dos racionais ou corpos cujos elementos fossem definidos como quocientes de tais polinômios²². Sua visão da matemática a colocava como um domínio que incluía toda a teoria dos números algébricos e a geometria algébrica que deveriam ser concebidas como duas metades do mesmo sujeito. Os elementos básicos seriam, de um lado, os inteiros e racionais; de outro, as variáveis. Estes elementos poderiam se combinar de acordo com as quatro operações da aritmética básica e a extração de raízes era substituída pela equação correspondente. Por exemplo, a consideração de √5 seria substituída pela da variával x na equação x² – 5 = 0. Seu programa de trabalho era aceito por alguns matemáticos e ele o justificava de forma pragmática ao considerar que seria mais fácil estudar problemas teóricos da álgebra considerando uma equação e todas as suas raízes do que apenas uma solução particular. Sobre os números algébricos, Kronecker dizia ser contraproducente considerá-los separadamente, isolados e sem ligação com as equações que os definiam.

Hilbert assumia posição contrária. Para ele, os procedimentos construtivos necessários para desenvolver um algoritmo se constituíam muitas vezes em obstáculos para a resolução de problemas. No entanto, para responder às críticas, decidiu abordar o assunto de forma construtiva, reduzindo os cálculos a certas questões envolvendo anéis e que tinham sido previamente estudadas por Kronecker e seus seguidores, conhecedores de métodos construtivos de resolução; uma estratégia talvez, para evitar o enfrentamento. Ao longo do trabalho, utilizou uma série de ideias e técnicas que iriam revolucionar a geometria algébrica. O trabalho foi publicado por Klein em 1893. Mas a partir daí, Hilbert passou a ser conhecedor e adversário dos pontos de vista de Kronecker, aos quais se referia apenas para refutá-los.

Para os matemáticos no entorno, a partir de então ficaram evidentes e, até certo ponto assustadores, esses aspectos do conceito de demonstração em matemática para Hilbert, e que viriam a ser adotados por ele na maioria de seus trabalhos posteriores.

[...]A characteristic feature of Hilbert’s method is a peculiarly direct attack on problems, unfettered by algorithms; He always goes back to the questions in their original simplicity. […] His strength, equally disdainful of the convulsion of the Herculean efforts and of surprising tricks and ruses, is combined with an uncompromising purity.²³

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Os anos seguintes foram de muitas mudanças. Hilbert se casa com uma prima em 1892, Käthe Jerosh. Em 1893, nasce seu único filho, Franz Hilbert e, no mesmo ano, Hurwitz aceita uma posição no Instituto de Tecnologia de Zurique e indica Hilbert para ser professor Extraordinarius em Königsberg. Pouco depois, Lindemann assume o cargo de Ordinarius na Universidade de Munique, sendo substituído por Hilbert que, por sua vez, em 1894, indica Minkowski para seu cargo anterior vago.

Em dezembro, Hilbert foi convidado por Klein a assumir o cargo de Ordinarius em Göttingen. Aceito o convite, lá chegou na primavera de 1895. Esta pequena cidade, consagrada ao estudo da matemática, seria o seu porto seguro até o fim de sua carreira. A influência de Hilbert na ciência do séc. XX se deveria não apenas ao sucesso de suas pesquisas e resultados, mas também aos seus estudantes e à vida matemática de Göttingen.

TEORIA DOS NÚMEROS

Nesse meio tempo, Minkowski explorava a aritmética das formas quadráticas em n variáveis, e suas pesquisas sobre esse tópico o levavam a considerar certas propriedades geométricas em um espaço com n dimensões. Suas pesquisas nesse campo culminaram na apresentação de um método geométrico que viria a resolver inúmeros problemas de teoria dos números, a geometria algébrica²⁴. Por conta disso, o tema mais recorrente das conversas com o amigo Hilbert era a teoria dos números.

Tratava-se de uma área cuja tradição alemã havia começado com Gauss, o grande nome da matemática durante a primeira metade do séc. XIX, para o qual, a aritmética tinha um profundo significado e a colocava no patamar de rainha da matemática. Porém, não havia unanimidade quanto a isso. Para muitos, mesmo com problemas importantes, o tema não passava da manipulação de resultados menores sem levar a lugar algum.

Hilbert, por sua vez, considerava que muitos matemáticos brilhantes tinham pesquisas na área e ainda o faziam por conta de sua importância em outros domínios da matemática de relevância inquestionável. Antes mesmo de abandonar a teoria dos invariantes, no início de 1891, ele já apresentava novas provas da transcendência do número π e do neperiano, mais simples e diretas do que as de Hermite e Lindemann. Hilbert volta-se então para a teoria dos números algébricos²⁵, ramo em ascensão na segunda metade do séc. XIX, por conta da evidência dos trabalhos de Kummer, Dedekind e Kronecker.

O ramo teve sua origem quando Gauss levou a teoria dos números para além dos inteiros e racionais e considerou o anel dos inteiros algébricos²⁶, Z[i]= {a+bi;a,b ∈Z}. Em seus trabalhos sobre resíduos quadráticos, ele mostra que neste anel, a fatoração em elementos primos existe e é única, a menos da ordem dos fatores. Retomando a questão, Kummer, por conta de investigações acerca do último Teorema de Fermat, abordou o problema da fatoração de elementos irredutíveis²⁷ em um anel qualquer de inteiros algébricos. Como em tais anéis, em geral, não vale a propriedade da fatoração única em números primos, Kummer foi levado a criar o conceito de número ideal²⁸, para os quais provou um teorema de fatoração única. Procedendo assim, abordou e resolveu muitos casos particulares relativos ao Último Teorema de Fermat. Mais tarde, Dedekind introduziu a noção atual de ideal de um anel e obteve resultados estruturais importantes. Em especial, ambos, de forma independente e por métodos diferenciados, provaram um resultado análogo do teorema fatoração única de um inteiro, desta vez para ideais: Todo ideal não vazio de um anel de números inteiros de um corpo pode ser decomposto de forma única como um produto de ideais primos²⁹ do mesmo anel.

Pois bem, Hilbert apresenta uma nova demonstração deste resultado, na qual, pela primeira vez, utiliza sistematicamente conjuntos infinitos. O que não era de se estranhar já que a formulação de Dedekind para a teoria dos ideais dependia essencialmente de seu uso, porém apenas dos finitamente gerados.

A prova foi exibida na reunião anual da Deutsche Mathematiker-Vereinigung³⁰ - DMV, realizada em Munique, em setembro de 1893.

Por conta de tal sucesso, é provável que o prestígio dos amigos tenha sido a motivação para que, a seguir, a DMV os convidasse a preparar um relatório sobre o estado das pesquisas desenvolvidas e resultados já consolidados em teoria dos números. Foi decidido que Hilbert pesquisaria sobre a teoria dos números algébricos e Minkowski trabalharia nos aspectos geométricos da teoria dos números. Este último se retirou do projeto que ficou inteiramente a cargo de Hilbert, responsável pelos resultados mais avançados.

Em 1897, a obra estava concluída com 350 páginas: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper³¹ (conhecida por Zahlbericht); rigorosa, sistematizada e colocando em ordem a enorme quantidade de resultados dispersos existentes à época, uma brilhante síntese dos trabalhos de Kummer, Kronecker e Dedekind. Mas não apenas isso. O texto também continha as próprias ideias de Hilbert que utilizava muitas das técnicas que havia desenvolvido em teoria dos invariantes, com extrema manipulação dos procedimentos da álgebra abstrata.

[...] Thus we see how far arithmetic, the Queen of mathematics, has conquered broad areas of algebra and function theory to become their leader. […] Nowadays the erratic progress characteristic of the earliest stages of development of a subject has been replaced by steady and continuous progress through the systematic construction of the theory of algebraic number fields. The conclusion, if I am not mistaken, is that above all the modern development of pure mathematics takes place under the banner of number: the definitions given by Dedekind and Kronecker of the concept of number lead to an arithmetization of function theory and serve to realize the principle that, even in function theory, a fact can be regarded as proven only when in the last instance it has been reduced to relations between rational integers.³²

É preciso destacar a importância que Hilbert relega então às técnicas da teoria dos conjuntos, não apenas no que diz respeito aos desenvolvimentos de Cantor, mas principalmente até então, aos trabalhos de Dedekind que revolucionaram a álgebra.

Sobre este último, pouco se estranha já que Hilbert, quando universitário, fora aluno de um de seus colaboradores, Weber, primeiro a utilizar a teoria dos conjuntos num livro de álgebra. Quanto a Cantor, tratava-se de uma esplêndida novidade, trazida por Minkowski que, ao ministrar um curso sobre o infinito em 1895, lhe escreveu:

[...] The "actual infinite’is an expression that I took from a paper by Cantor, and for the most part I included in my lectures theorems of Cantor which have a general interest. Only a few did not want to believe in them. The actual infinite in nature, about which I mainly spoke … was the positions of points in space … On this occasion I perceived anew that Cantor is one of the most ingenious living mathematicians. His purely abstract definitions of the power [cardinal number] of points