Deus é matemático?

Tradução de

JESUS DE PAULA ASSIS

Revisão técnica de

DIEGO VAZ BEVILAQUA

5ª edição

2021

CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO

SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ

L762d

Livio, Mário

Deus é matemático? [recurso eletrônico] / Mário Livio; tradução Jesus de Paula Assis; revisão técnica Diego Vaz Bevilaqua. – 1. ed. – Rio de Janeiro: Record, 2021.

recurso digital

Tradução de: Is god a mathematician?

Formato: epub

Requisitos do sistema: adobe digital editions

Modo de acesso: world wide web

ISBN 978-65-5587-411-2 (recurso eletrônico)

1. Matemática – Filosofia. 2. Lógica simbólica e matemática. 3. Matemáticos – Psicologia. 4. Descobertas científicas. 5. Livros eletrônicos. I. Assis, Jesus de Paula. II. Bevilaqua, Diego Vaz. III. Título.

21-74158

CDD: 510

CDU: 510.21

Leandra Felix da Cruz Candido – Bibliotecária – CRB-7/6135

Título original em inglês:

IS GOD A MATHEMATICIAN?

Copyright © 2009 by Mario Livio

Todos os direitos reservados. Proibida a reprodução, armazenamento ou transmissão de partes deste livro através de quaisquer meios, sem prévia autorização por escrito. Proibida a venda desta edição em Portugal e resto da Europa.

Texto revisado segundo o novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa.

Direitos exclusivos de publicação em língua portuguesa para o Brasil adquiridos pela

EDITORA RECORD LTDA.

Rua Argentina 171 – Rio de Janeiro, RJ – 20921-380 – Tel.: 2585-2000 que se reserva a propriedade literária desta tradução

Produzido no Brasil

ISBN 978-65-5587-411-2

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Para Sofie

Sumário

Prefácio

1. Um mistério

2. Mística: o numerologista e o filósofo

3. Mágicos: o mestre e o herege

4. Mágicos: o cético e o gigante

5. Estatísticos e probabilistas: a ciência da incerteza

6. Geômetras: o choque do futuro

7. Lógicos: pensando sobre raciocínio

8. Inexplicável efetividade?

9. Sobre a mente humana, matemática e o universo

Notas

Bibliografia

Índice remissivo

Créditos

Prefácio

Quando você trabalha em cosmologia — o estudo do cosmo em geral — um dos fatos da vida passa a ser a carta, o email ou o fax semanal de alguém que quer lhe descrever a teoria que ele próprio tem do universo (sim, são invariavelmente homens). O maior erro que você pode cometer é responder educadamente que gostaria de saber mais a respeito. Isso resulta imediatamente em uma interminável investida de mensagens. Como, então, podemos evitar o ataque? Uma tática que descobri ser bem efetiva (que está bem perto da descortesia de não responder de forma alguma) é destacar o fato verdadeiro de que, enquanto a teoria não estiver formulada com precisão na linguagem da matemática, é impossível avaliar sua relevância. A resposta paralisa a maioria dos cosmólogos amadores. A realidade é que, sem matemática, os cosmólogos de hoje não poderiam ter progredido sequer um passo na tentativa de entender as leis da natureza. Matemática fornece o andaime sólido que mantém coesa qualquer teoria do universo. Isso pode não parecer tão surpreendente até que você se dê conta de que a natureza da própria matemática não é inteiramente clara. Como expressou certa vez o filósofo britânico Sir Michael Dummett: As duas mais abstratas dentre as disciplinas intelectuais, filosofia e matemática, dão origem à mesma perplexidade: do que tratam? A perplexidade não se origina unicamente da ignorância: mesmo os profissionais desses assuntos podem achar difícil responder à pergunta.

Neste livro, tento humildemente elucidar tanto alguns aspectos da essência da matemática quanto, em particular, a natureza da relação entre matemática e o mundo que observamos. O livro não tem absolutamente a intenção de representar uma história completa da matemática. Pelo contrário, sigo cronologicamente a evolução de alguns conceitos que têm implicações diretas no entendimento do papel da matemática no nosso conhecimento do cosmo.

Muitas pessoas contribuíram, direta e indiretamente, durante um longo de período de tempo, para as ideias apresentadas neste livro. Gostaria de agradecer a Sir Michael Atiyah, Gia Dvali, Freeman Dyson, Hillel Gauchman, David Gross, Sir Roger Penrose, lorde Martin Rees, Raman Sundrum, Max Tegmark, Steven Weinberg e Stephen Wolfram pelas trocas de proveitosas ideias. Sou grato a Dorothy Morgenstern Thomas, por permitir o uso do texto completo do relato feito por Oscar Morgenstern sobre a experiência de Kurt Gödel com o Serviço de Imigração e Naturalização dos Estados Unidos. William Christens-Barry, Keith Knox, Roger Easton e, em particular, Will Noel fizeram a gentileza de me fornecer explicações detalhadas de seus esforços para decifrar o Palimpsesto de Arquimedes. Agradecimentos especiais a Laura Garbolino, por me fornecer materiais cruciais e arquivos raros referentes à história da matemática. Também agradeço aos departamentos de coleções especiais da Universidade Johns Hopkins, a Universidade de Chicago e à Bibliothèque Nationale de France, Paris, por encontrar alguns manuscritos raros para mim.

Sou grato a Stefano Casertano, pela ajuda com as difíceis traduções do latim, e a Elizabeth Fraser e Jill Lagerstrom, pelo inestimável apoio bibliográfico e linguístico (sempre com um sorriso).

Devo agradecimentos especiais a Sharon Toolan, pela ajuda profissional na preparação do manuscrito para publicação; e a Ann Feild, Krista Wildt e Stacey Benn, pelo desenho de algumas figuras.

Todo autor ou autora deve se considerar uma pessoa de sorte de receber do cônjuge o tipo de apoio e paciência contínuos que recebi de minha mulher, Sofie, durante o longo período que gastei escrevendo este livro.

Finalmente, gostaria de agradecer à minha agente, Susan Rabiner, sem cujo estímulo este livro nunca teria acontecido. Tenho também uma grande dívida com meu editor, Bob Bender, pela leitura atenta do manuscrito e pelos comentários argutos; Johanna Li, pelo inestimável apoio na produção do livro; Loretta Denner e Amy Ryan, pelo copidesque; Victoria Meyer e Katie Grinch, pela promoção do livro; e com toda a equipe de produção e marketing da Simon & Schuster, por seu árduo trabalho.

CAPÍTULO 1

UM MISTÉRIO

Há alguns anos, eu estava dando uma palestra na Universidade Cornell. Um dos meus slides de PowerPoint dizia: Seria Deus um matemático? Assim que o slide foi mostrado, ouvi um estudante na primeira fila deixar escapar: Oh Deus, espero que não!

Minha pergunta retórica não era uma tentativa filosófica de definir Deus para o meu público, nem uma maquinação astuciosa para intimidar os fóbicos pela matemática. Pelo contrário, estava simplesmente apresentando um mistério com o qual algumas das mentes mais criativas se debateram por séculos — a aparente onipresença e onipotência da matemática. Tais características são do tipo que normalmente associamos apenas a uma deidade. Como disse certa vez o físico britânico James Jeans (1877-1946): O universo parece ter sido desenhado por um matemático puro. A matemática parece ser quase efetiva demais em descrever e explicar não somente o cosmo em geral, mas até alguns dos empreendimentos humanos mais caóticos.

Não importa se são físicos tentando formular teorias do universo, analistas de bolsa de valores coçando a cabeça para prever a próxima quebra do mercado, neurobiólogos construindo modelos da função cerebral ou estatísticos do serviço secreto militar tentando otimizar a alocação de recursos; todos eles estão usando matemática. Além do mais, mesmo que possam aplicar formalismos desenvolvidos em diferentes ramos da matemática, ainda estarão se referindo à mesma matemática global, coerente. O que dá à matemática esses poderes incríveis? Ou, como Einstein certa vez se perguntou: "Como é possível que a matemática, um produto do pensamento humano que é independente da experiência [grifo meu], se encaixe tão excepcionalmente aos objetos de realidade física?"

Esse senso de total perplexidade não é novo. Alguns dos filósofos da antiga Grécia, Pitágoras e Platão em particular, já se mostravam admirados com a aparente capacidade de a matemática moldar e guiar o universo, embora existindo, ao que parecia, acima dos poderes dos seres humanos de alterá-la, direcioná-la ou influenciá-la. O filósofo político inglês Thomas Hobbes (1588-1679) tampouco ocultava sua admiração. Em Leviatã, a impressionante exposição de Hobbes daquilo que ele considerava o alicerce da sociedade e governo, ele destacou a geometria como o paradigma do argumento racional:

Vendo então que verdade consiste na ordenação certa de nomes em nossas afirmações, um homem que busca verdade precisa teria necessidade de lembrar o que cada nome que ele usa representa e posicioná-lo devidamente; ou, então, ele se verá emaranhado em palavras, como um pássaro em galhos viscosos; quanto mais se esforça, mais preso fica ao visgo. Logo, em geometria (que até agora é a única ciência que aprouve a Deus conceder à humanidade), os homens começam chegando a um acordo sobre significados de suas palavras; aos significados acordados, eles dão o nome de definições e os colocam no início de seus cálculos.

Milênios de impressionante pesquisa matemática e de especulação filosófica erudita fizeram relativamente pouco para lançar luz sobre o enigma do poder da matemática. No máximo, em alguns aspectos, o mistério até se aprofundou. O renomado físico matemático de Oxford, Roger Penrose, por exemplo, agora percebe não um único mistério, mas um mistério triplo. Penrose identifica três diferentes mundos: o mundo de nossas percepções conscientes, o mundo físico e o mundo platônico de formas matemáticas. O primeiro mundo é o lar de todas as nossas imagens mentais — como percebemos os rostos de nossos filhos, como nos deliciamos com um pôr do sol de tirar o fôlego ou como reagimos a horripilantes imagens de guerra. É também este o mundo que contém amor, inveja e preconceitos, bem como nossa percepção de música, dos cheiros de comida e de medo. O segundo mundo é aquele ao qual normalmente nos referimos como realidade física. Flores, comprimidos de aspirina, nuvens brancas e aviões a jato reais residem nesse mundo, como também as galáxias, planetas, átomos, corações de babuíno e cérebros humanos. O mundo platônico das formas matemáticas, que para Penrose tem uma realidade efetiva comparável àquela dos mundos físico e mental, é a terra natal da matemática. É aqui que encontraremos os números naturais 1, 2, 3, 4,..., todas as formas e teoremas da geometria euclidiana, leis do movimento de Newton, teoria das cordas, teoria das catástrofes e modelos matemáticos de comportamento do mercado de valores. E aqui, observa Penrose, entram os três mistérios. Primeiro, o mundo da realidade física parece obedecer a leis que realmente residem no mundo das formas matemáticas. Foi esse o enigma que deixou Einstein perplexo. O ganhador do Prêmio Nobel de física Eugene Wigner (1902-95) se mostrava igualmente atônito:

O milagre da adequação da linguagem da matemática à formulação das leis da física é uma dádiva maravilhosa que não entendemos nem merecemos. Deveríamos ser gratos por ela e esperar que permaneça válida em pesquisas futuras e que se estenda, por bem ou por mal, para nosso prazer, mesmo que talvez também para nossa frustração, a vastos ramos do aprendizado.

Segundo, as próprias mentes perceptivas — a habitação de nossas percepções conscientes — de alguma forma conseguiram emergir do mundo físico. Como a mente literalmente nasceu a partir da matéria? Teríamos algum dia sido capazes de formular uma teoria do funcionamento da consciência que fosse tão coerente e tão convincente quanto, digamos, nossa atual teoria do eletromagnetismo? Finalmente, o círculo é misteriosamente fechado. Aquelas mentes perceptivas foram miraculosamente capazes de obter acesso ao mundo matemático por meio da descoberta ou da criação e articulação de um tesouro de conceitos e formas matemáticas abstratas.

Penrose não oferece uma explicação para nenhum dos três mistérios. Pelo contrário, ele conclui laconicamente: "Sem dúvida, não existem três mundos, mas um único, do qual no presente não temos um vislumbre sequer de sua verdadeira natureza." É uma confissão bem mais humilde que a resposta do professor secundário na peça Forty Years On (escrita pelo inglês Alan Bennett) a uma pergunta um pouco parecida:

Foster: Ainda estou um pouco confuso sobre a Trindade, professor.

Professor: Três em um, um em três, perfeitamente simples e direto. Qualquer dúvida a respeito, fale com seu professor de matemática.

O enigma é ainda mais emaranhado do que acabei de mostrar. Na verdade, existem dois lados do sucesso da matemática em explicar o mundo que nos cerca (sucesso este que Wigner apelidou a inexplicável efetividade da matemática), um mais assombroso que o outro. Primeiro, existe um aspecto que poderia ser chamado ativo. Quando físicos vagueiam pelo labirinto da natureza, eles iluminam o caminho com a matemática — as ferramentas que usam e desenvolvem, os modelos que constroem e as explicações que apresentam são todas matemáticas, por natureza. Isso, obviamente, é por si só um milagre. Newton observou uma maçã caindo, a Lua e as marés nas praias (sequer tenho certeza de que algum dia ele as viu!), não equações matemáticas. Contudo, ele foi de alguma forma capaz de extrair de todos esses fenômenos naturais leis matemáticas claras, concisas e inacreditavelmente precisas da natureza. Da mesma forma, quando o físico escocês James Clerk Maxwell (1831-79) estendeu a estrutura da física clássica para incluir todos os fenômenos elétricos e magnéticos conhecidos nos anos 1860, ele o fez por meio de apenas quatro equações matemáticas. Pensemos nisso por um momento. A explicação de uma coleção de resultados experimentais em eletromagnetismo e luz, que antes teriam exigido volumes para descrever, foi reduzida a quatro equações sucintas. A relatividade geral de Einstein foi ainda mais assombrosa — é um perfeito exemplo de uma teoria matemática extraordinariamente precisa, autoconsistente, de algo tão fundamental quanto a estrutura do espaço e tempo.

Mas existe também um lado passivo da misteriosa efetividade da matemática e é tão surpreendente que o aspecto ativo empalidece por comparação. Conceitos e relações explorados por matemáticos apenas por razões puras — sem absolutamente nenhuma aplicação na mente — revelam-se décadas (ou às vezes séculos) mais tarde soluções inesperadas para problemas fundamentados na realidade física! Como isso é possível? Consideremos, por exemplo, o caso um tanto divertido do excêntrico matemático britânico Godfrey Harold Hardy (1877-1947). Hardy tinha tanto orgulho do fato de seu trabalho consistir em nada além da matemática pura que declarou enfaticamente: Nenhuma descoberta minha fez, nem é provável que venha a fazer, direta ou indiretamente, para o bem ou para o mal, a menor diferença para o bem-estar do mundo. Adivinhe — ele estava errado. Um de seus trabalhos reencarnou como a lei de Hardy-Weinberg (nome recebido em homenagem a Hardy e ao médico alemão Wilhelm Weinberg [1862-1937]), um princípio fundamental usado por geneticistas para estudar a evolução de populações. Dito de uma maneira simples, a lei de Hardy-Weinberg afirma que se uma população grande estiver se acasalando totalmente ao acaso (e não ocorrerem migração, mutação e seleção), então a constituição genética permanecerá constante de uma geração para a seguinte. Mesmo o trabalho aparentemente abstrato de Hardy sobre teoria dos números — o estudo das propriedades dos números naturais — encontrou aplicações inesperadas. Em 1973, o matemático britânico Clifford Cocks utilizou a teoria dos números para criar um avanço revolucionário em criptografia — o desenvolvimento de códigos. A descoberta de Cocks tornou obsoleta outra declaração de Hardy. No famoso livro Em defesa de um matemático, publicado em 1940, Hardy decretou: Ninguém ainda descobriu alguma finalidade belicosa qualquer que seja servida pela teoria dos números. Evidentemente, Hardy estava mais uma vez errado. Códigos foram categoricamente essenciais para comunicações militares. Assim, mesmo Hardy, um dos críticos mais eloquentes da matemática aplicada, foi tragado (provavelmente aos chutes e aos berros, se estivesse vivo) pela produção de teorias matemáticas proveitosas.

Mas isso é apenas a ponta do iceberg. Kepler e Newton descobriram que os planetas do nosso sistema solar seguem órbitas na forma de elipses — as próprias curvas estudadas pelo matemático grego Menecmo (c. 350 a.C.) dois milênios antes. Os novos tipos de geometrias descritos por Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-66) numa clássica palestra em 1854 acabaram sendo precisamente as ferramentas de que Einstein precisava para explicar o tecido cósmico. Uma linguagem matemática chamada teoria de grupos, desenvolvida pelo jovem prodígio Évariste Galois (1811-32) simplesmente para determinar a resolubilidade das equações algébricas, tornou-se hoje a linguagem empregada por físicos, engenheiros, linguistas e até antropólogos para descrever todas as simetrias do mundo. Além do mais, o conceito de padrões de simetria matemática virou, em certo sentido, todo o processo científico de ponta-cabeça. Durante séculos, a rota para entender o funcionamento do cosmo começava com uma coleta de fatos experimentais ou observacionais, a partir dos quais, por tentativa e erro, os cientistas buscavam formular leis gerais da natureza. O esquema deveria começar com observações locais e construir o quebra-cabeça peça por peça. Com o reconhecimento no século XX de que projetos matemáticos bem definidos fundamentam a estrutura do mundo subatômico, os físicos dos tempos modernos começaram a fazer exatamente o oposto. Colocam os princípios de simetria matemática em primeiro lugar, insistindo em que as leis da natureza e, de fato, os componentes básicos da matéria, devem seguir alguns padrões e deduzem as leis gerais a partir desses requisitos. Como a natureza sabe como obedecer a essas abstratas simetrias matemáticas?

Em 1975, Mitch Feigenbaum, então um jovem físico matemático do Laboratório Nacional de Los Álamos, estava brincando com sua calculadora de bolso HP-65. Examinava o comportamento de uma equação simples. Ele percebeu que uma sequência de números que aparecia nos cálculos estava se aproximando cada vez mais de um determinado número: 4,669... Para sua surpresa, ao examinar outras equações, o mesmo número curioso voltou a aparecer. Feigenbaum logo concluiu que sua descoberta representava algo universal, que de alguma forma marcava a transição da ordem para o caos, embora ele não tivesse nenhuma explicação para isso. Não surpreende que, no início, os físicos se mostrassem bem céticos. Afinal, por que o mesmo número deveria caracterizar o comportamento do que pareciam ser sistemas bem diferentes? Depois de passar seis meses pelo escrutínio de pareceristas profissionais, o primeiro artigo de Feigenbaum sobre o assunto foi rejeitado. Não muito depois, contudo, experimentos mostraram que, ao ser aquecido a partir de uma temperatura baixa, hélio líquido se comporta precisamente como previsto pela solução universal de Feigenbaum. E não foi este o único sistema em que foi constatada essa maneira de agir. O assombroso número de Feigenbaum apareceu na transição do fluxo disciplinado de um fluido para a turbulência e até no comportamento da água pingando de uma torneira.

A lista de tais previsões que os matemáticos fizeram de necessidades de várias disciplinas em gerações posteriores continua a crescer sem parar. Um dos exemplos mais fascinantes da misteriosa e inesperada interação entre a matemática e o mundo real (físico) é fornecido pela história da teoria dos nós — o estudo matemático dos nós. Um nó matemático se assemelha a um nó comum em uma corda, com as pontas da corda emendadas uma na outra. Ou seja, um nó matemático é uma curva fechada sem pontas soltas. Estranhamente, o principal ímpeto ao desenvolvimento da teoria matemática dos nós surgiu de um modelo incorreto do átomo que foi desenvolvido no século XIX. Depois que aquele modelo foi abandonado — apenas duas décadas depois de sua concepção — a teoria dos nós continuou a evoluir como um ramo relativamente obscuro da matemática pura. Surpreendentemente, esse empreendimento abstrato subitamente encontrou extensas aplicações modernas em temas que vão desde a estrutura molecular do DNA até a teoria das cordas — a tentativa de unificar o mundo subatômico com a gravidade. Voltarei a essa incrível história no capítulo 8, porque talvez sua história circular seja a melhor demonstração de como ramos da matemática podem emergir de tentativas de explicar realidade física, depois como perambulam dentro do reino abstrato da matemática, apenas para eventualmente acabar voltando inesperadamente às suas origens ancestrais.

Descoberta ou inventada?

Mesmo a breve descrição que apresentei até agora fornece evidências esmagadoras de um universo que ou é governado pela matemática ou, no mínimo, é suscetível à análise por meio da matemática. Como mostrará este livro, boa parte da iniciativa humana, talvez toda ela, também parece emergir de uma capacidade basal da matemática, mesmo onde menos se espera. Examinemos, por exemplo, um caso ilustrativo do mundo das finanças — a fórmula Black-Scholes de precificação de opções (1973). O modelo Black-Scholes conquistou aos seus criadores (Myron Scholes e Robert Carhart Merton; Fischer Black faleceu antes da concessão do prêmio) o Prêmio Nobel de Economia. A equação central do modelo possibilita o entendimento da precificação de opção de ações (opções são instrumentos financeiros que permitem que licitantes comprem ou vendam ações em um ponto futuro no tempo, a preços acordados). Aqui, contudo, aparece um fato surpreendente. No coração deste modelo situa-se um fenômeno que tinha sido estudado pelos físicos há décadas — o movimento browniano, o estado de movimento agitado exibido por diminutas partículas, como pólen suspenso em água ou partículas de fumaça no ar. Então, como se não bastasse, a mesma equação também se aplica ao movimento de centenas de milhares de estrelas dos aglomerados estelares. Não seria, na linguagem de Alice no País das Maravilhas, cada vez mais curioso? Afinal, o que quer que o cosmo possa estar fazendo, negócios e finanças são indiscutivelmente mundos criados pela mente humana.

Ou consideremos um problema comum encontrado por fabricantes de placas eletrônicas e projetistas de computadores. Eles empregam furadeiras a laser para a fabricação de dezenas de milhares de buracos em suas placas. Para minimizar o custo, os projetistas de computadores não querem que os buracos se comportem como turistas acidentais. Pelo contrário, o problema é encontrar a excursão mais curta entre os buracos, que visite a posição de cada um deles exatamente uma vez. Ocorreu que os matemáticos investigam exatamente este problema, conhecido como o problema do caixeiro-viajante, desde os anos 1920. Basicamente, se um vendedor ou um político em campanha precisa viajar da maneira mais econômica para um dado número de cidades e se o custo de viagem entre cada par de cidades for conhecido, então o viajante deverá de alguma forma determinar a maneira mais barata de visitar todas as cidades e voltar ao seu ponto de partida. O problema do caixeiro-viajante foi resolvido nos Estados Unidos para 49 cidades, em 1954. Em 2004, na Suécia, para 24.978 cidades. Em outras palavras, a indústria de eletrônicos, empresas de roteamento de caminhões para coleta de encomendas e até fabricantes japoneses de máquinas patchinco do tipo pinball (que precisam fixar milhares de pregos) têm de contar com a matemática para algo simples como furar, programar ou criar o desenho físico dos computadores.

A matemática se infiltrou até mesmo em áreas tradicionalmente não associadas às ciências exatas. Por exemplo, existe uma revista chamada Journal of Mathematical Sociology (que, em 2006, estava no seu trigésimo volume) orientada para um entendimento matemático de complexas estruturas sociais, organizações e grupos informais. Os artigos desse periódico abordam temas que vão desde um modelo matemático para previsão de opinião pública até um que prevê interação em grupos sociais.

Indo em outra direção — da matemática para as ciências humanas — o campo da linguística computacional, que originalmente envolvia somente cientistas da computação, agora se transformou em um esforço de pesquisa interdisciplinar que reúne linguistas, psicólogos cognitivos, lógicos e especialistas em inteligência artificial, para estudar as complexidades das linguagens que evoluíram naturalmente.

Seria esta uma peça travessa que alguém nos pregou, tal que todos os esforços humanos para apreender e compreender acabam levando à revelação de campos cada vez mais sutis da matemática pelos quais o universo e nós, suas complexas criaturas, fomos todos criados? Seria a matemática, como gostam de dizer os educadores, o livro didático edição do professor — aquele que o professor usa para ensinar — enquanto oferece aos alunos uma versão bem menor, para que ele pareça ainda mais inteligente? Ou, para usar a metáfora bíblica, seria a matemática, em certo sentido, o fruto supremo da árvore do conhecimento?

Como mencionei rapidamente no início deste capítulo, a inexplicável efetividade da matemática cria muitos enigmas intrigantes: teria a matemática uma existência inteiramente independente da mente humana? Em outras palavras, estaríamos meramente descobrindo as verdades matemáticas, assim como os astrônomos descobrem galáxias antes desconhecidas? Ou seria a matemática nada mais que uma invenção humana? Se a matemática de fato existe em algum reino encantado abstrato, qual a relação entre esse mundo místico e a realidade física? De que forma o cérebro humano, com suas conhecidas limitações, obtém acesso a um mundo tão imutável, fora do espaço e do tempo? Por outro lado, se matemática for meramente uma invenção humana e não tiver existência fora de nossas mentes, como explicar o fato de a invenção de tantas verdades matemáticas ter milagrosamente prenunciado perguntas sobre o cosmos e a vida humana só formuladas muitos séculos depois? Não são perguntas fáceis. Como mostrarei muitas vezes neste livro, mesmo os matemáticos, cientistas cognitivos e filósofos dos tempos modernos não chegam a um acordo sobre as respostas. Em 1989, o matemático francês Alain Connes, ganhador de dois dos prêmios de maior prestígio em matemática, a Medalha Fields (1982) e o Prêmio Crafoord (2001), expressou suas opiniões com grande clareza:

Tomemos os números primos [aqueles divisíveis apenas por um e por eles mesmos], por exemplo, que, tanto quanto sei, constituem uma realidade mais estável que a realidade material que nos cerca. O matemático em ação pode ser comparado a um explorador que se põe a trabalhar com a intenção de descobrir o mundo. Descobrimos fatos básicos por experiência. Ao fazermos cálculos simples, por exemplo, percebemos que a série de números primos parece continuar sem fim. O trabalho do matemático, então, é demonstrar que existe uma infinidade de números primos. Este, obviamente, é um resultado antigo, que devemos a Euclides. Uma das consequências mais interessantes dessa demonstração é que, se alguém algum dia alegar ter encontrado o maior entre todos os números primos, será fácil mostrar que ele está errado. O mesmo é verdadeiro para qualquer demonstração. Ficamos, portanto, frente a frente com uma realidade, cada pedacinho dela tão incontestável quanto a realidade física.

Martin Gardner, o famoso escritor de vários textos de matemática recreativa, também se coloca ao lado daqueles que defendem a matemática como uma descoberta. Para ele, não há nenhuma dúvida de que números e matemática têm sua própria existência, não importando se os seres humanos saibam sobre eles ou não. Certa vez, ele comentou espirituosamente: Se dois dinossauros se juntassem a outros dois dinossauros numa clareira, haveria quatro lá, mesmo que seres humanos não estivessem lá para observar e se as feras fossem estúpidas demais para saber. Como enfatizou Connes, defensores da perspectiva matemática como uma descoberta (que, como veremos, está de acordo com a visão platônica) salientam que, uma vez que qualquer dado conceito matemático tenha sido compreendido, digamos os números naturais 1, 2, 3, 4,..., então estaremos diante de fatos inegáveis, tais como 3² + 4² = 5², independentemente do que pensemos sobre essas relações. Isso dá no mínimo a impressão de que estamos em contato com uma realidade existente.

Outros discordam. Quando estudava um livro em que Connes apresentava suas ideias, o matemático britânico Sir Michael Atiyah (que ganhou a Medalha Fields em 1966 e o Prêmio Abel em 2004) comentou:

Todo matemático deve simpatizar com Connes. Todos nós sentimos que os inteiros ou círculos realmente existem em algum sentido abstrato e que a visão platônica [que será descrita em detalhe no capítulo 2] é extremamente sedutora. Mas podemos realmente defendê-la? Tivesse o universo sido unidimensional ou mesmo discreto (descontínuo), é difícil ver como a geometria poderia ter evoluído. Poderia parecer que, com os inteiros, estamos em terra mais firme e que contar é realmente uma noção primordial. Mas imaginemos que a inteligência tivesse residido não na espécie humana, mas em alguma enorme água-viva solitária e isolada, enterrada bem no fundo das profundezas do Oceano Pacífico. Ela não teria nenhuma experiência de objetos individuais, somente com a água circundante. Movimento, temperatura e pressão proporcionariam os dados sensoriais básicos. Em um continuum tão puro, o discreto não teria se originado e nada existiria para contar.

Atiyah, portanto, acredita que o homem criou [grifo meu] a matemática por idealização e abstração dos elementos do mundo físico". O linguista George Lakoff e o psicólogo Rafael Núñez concordam. Em seu livro Where Mathematics Comes From [De onde vem a matemática], eles concluem: Matemática é uma parte natural do ser humano. Origina-se dos nossos corpos, nossos cérebros e nossas experiências cotidianas no mundo.

O ponto de vista de Atiyah, Lakoff e Núñez levanta outra questão interessante. Se matemática for inteiramente uma invenção humana, será verdadeiramente universal? Em outras palavras, se existirem civilizações inteligentes extraterrestres, inventariam a mesma matemática? Carl Sagan (1934-96) costumava achar que a resposta à última pergunta era afirmativa. Em seu livro Cosmos, quando discutia que tipo de sinal uma civilização inteligente transmitiria ao espaço, ele disse: É extremamente improvável que qualquer processo físico natural conseguisse transmitir mensagens de rádio contendo apenas números primos. Se recebêssemos tal mensagem, deduziríamos uma civilização lá fora que, no mínimo, gostasse de números primos. Mas com que grau de certeza? Em seu livro recente A New Kind of Science [Um novo tipo de ciência], o físico matemático Stephen Wolfram argumentou que aquilo que chamamos nossa matemática pode representar apenas uma possibilidade dentre uma rica variedade de sabores da matemática. Por exemplo, em lugar de empregar regras baseadas em equações matemáticas para descrever a natureza, poderíamos utilizar diferentes tipos de regras, incorporadas em simples programas de computador. Além do mais, alguns cosmólogos discutiram recentemente até a possibilidade de nosso universo não ser nada além de um membro de um multiverso — um gigantesco conjunto de universos. Se tal multiverso realmente existe, iríamos realmente esperar que outros universos tivessem a mesma matemática?

Biólogos moleculares e cientistas cognitivos contribuem com outra perspectiva, baseada em estudos das faculdades do cérebro. Para alguns desses pesquisadores, matemática não é muito diferente de linguagem. Em outras palavras, no cenário cognitivo, depois de eternidades nas quais os seres humanos olharam fixamente para duas mãos, dois olhos e dois seios, emergiu uma definição abstrata do número 2, de uma maneira bem parecida como a palavra pássaro veio a representar muitos animais