Graf

	Vos an lenga piemontèisa
	Për amprende a dovré 'l sistema dle parlà locaj ch'a varda sì.

Un graf G=(V,E) a l'é na strutura algébrica ch'a consist ëd n'ansem nen veuid V e d'un sot-ansem $E\subseteq [V]^{2}$ , anté che $[V]^{2}$ a l'é la famija dij sot-ansem ëd V ëd doi element.

J'element ëd V a son ciamà ij vértes ëd G; j'element d'E a son soe bande.

Ël concet ëd graf a l'ha un përfond d'aplicassion. A l'é dovrà, për esempi, ant la modelisassion dj'anterassion sossiaj e biològiche, l'organisassion dj'orari, le rej ëd comunicassion, l'anàlisi dij cost, ij sistema ëd difèisa compless.

Chèiche definission

Si $e=\{u,v\}\in E$ , ij vértes u,v a son dit adiacent (l'un l'àutr) e ancident a e (e e a l'é dita ancidenta an v). Doe bande a son adiacente s'a l'han giusta un vértes comun.

Dàit $v\in V$ , ël nùmer $d_{G}(v)$ dle bande ëd G ancidente an v a l'é ciamà ël gré ëd v. Si $d_{G}(v)=1$ , v a l'é dit vértes terminal. Si r a l'é 'n nùmer natural e $d_{G}(v)=r$ për minca $v\in V$ , antlora ël graf a l'é dit r-regolar.

Un sot-graf ëd G=(V,E) a l'é un graf H=(W,F) con $W\subseteq V,F\subseteq E$ . Si W=V as dis che H a génera G.

Na caminà ëd longheur k ant ël graf a l'é na sequensa ëd vértes $(u_{0},\ldots ,u_{k})$ anté che $\{u_{i},u_{i+1}\}\in E$ për minca valor dl'ìndes i.

Esempi

Un senté $P_{n}$ a consist d' $n\geq 2$ vértes $p_{1},\ldots ,p_{n}$ e d'n-1 bande $\{p_{i},p_{i+1}\}$ . Donca, un senté a l'é na caminà anté che tuti ij vértes a son diferent antra 'd lor; ël nùmer n a l'é la longheur dël senté.
Na stèila $S_{n}$ a consist d' $n\geq 2$ vértes e d'n-1 bande, con un vértes ëd gré n-1 e tuti j'àutri vértes ëd gré 1.
Un sicl $C_{n}$ a consist d' $n\geq 3$ vértes $c_{1},\ldots ,c_{n}$ e d'n bande $\{c_{1},c_{2}\},\ldots ,\{c_{n-1},c_{n}\},\{c_{n},c_{1}\}$ . Ël nùmer n a l'é la longheur dël sicl. Donca un sicl a l'é na caminà anté che mach ël prim e ël darié vértes a coincido.
Ël graf complet ansima a n'ansem V ëd vértes a l'é ël graf anté che tuti ij vértes antra 'd lor diferent a son adiacent.
Dàit G=(V,E), ël graf complementar ëd G a l'é ël graf $H=(V,[V]^{2}-E)$ ; visadì H a l'é otnù dai midem vértes ëd G, ma an butand na banda anté ch'a-i era nen e an gavandla anté ch'a-i era.
Ël graf ëd Petersen.
Ël graf dl'aperitiv.

Chèich arzultà elementar

Ël prim teorema sì-dapress a l'é ëdcò dit ël prim teorema dla teorìa dij graf.

Teorema. Ch'as consìdera un graf finì G=(V,E), anté che $V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ e E a l'ha m element. Antlora

\sum _{i=1}^{n}d_{G}(v_{i})=2m

.

Dimostrassion. An fasend l'adission dij gré dij vértes, minca banda a l'é contà doe vire.

Teorema. Ant un graf finì a-i son almanch doi vértes ch'a l'ha ël midem gré.

Dimostrassion. Ciamoma k ël nùmer dij vértes dël graf. S'a-i é dij vértes ëd gré 0 a-i peul nen essie ëd vértes ëd gré n-1 e ij gré possìbij a son 0,1,...,n-2. Si, nompà, gnun vértes a l'ha gré 0, ij gré possìbij a son 1,2,...,n-1. An tuti doi ij cas, a-i son pì 'd vértes che gré possìbij, donca almanch doi vértes a devo avèj ël midem gré.

Isomorfism

Ij graf $G_{1}=(V_{1},E_{1}),G_{2}=(V_{2},E_{2})$ as diso isomorf s'a-i é na bijession $f:V_{1}\to V_{2}$ tal che $\{u,v\}\in E_{1}\Leftrightarrow \{f(u),f(v)\}\in E_{2}$ .
Na fonsion f parèj a l'é ciamà isomorfism antra $G_{1}$ e $G_{2}$ . N'isomorfism antra 'n graf e chiel-midem a l'é dit automorfism.

Donca doi graf a son isomorf cand, gavà për la natura dij sò vértes, a son an efet l'istess graf.

Graf tacà

Ch'as consìdera un graf G=(V,E) e ch'as pijo doi vértes diferent $u,v\in V$ . Un senté ch'a gionz u a v a l'é minca sequensa $(v_{0},\ldots ,v_{r})$ ëd vértes tuti diferent tal che $v_{0}=u,v_{r}=v$ e $\{v_{i},v_{i+1}\}\in E$ per tuti j'i.

La relassion $\equiv$ , definìa an butand $u\equiv v$ si e mach si u=v opura u e v a son gionzù da chèich senté, a l'é na relassion d'equivalensa ansima a G. Le class d'equivalensa as ciamo componente (o componente tacà) ëd G. Ël graf as dis tacà s'a-i é mach na componenta, visadì si minca cobia d'element diferent a l'é gionzùa da chèich senté; dësnò ël graf a l'é dëstacà.

Ant un graf tacà G as peul definisse na distansa antra minca cobia ëd vértes u,v, an butandla 0 si u=v, dësnò ugual a la longheur dël senté pì curt ch'a gionz u e v. An sa manera, G a ven në spassi métrich.

Matris d'adiacensa

Ch'as consìdera un graf finì G=(V,E) e n'enumerassion dij sò vértes $V=\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ . La matris d'adiacensa corëspondenta a l'é la matris quadrà $A(G)=(a_{ij})$ d'órdin n definìa an butand $a_{ij}=1$ si $\{v_{i},v_{j}\}\in E$ e $a_{ij}=0$ si $\{v_{i},v_{j}\}\notin E$ . As agiss donca ëd na matris simétrica dont la diagonal prinsipal a l'é tuta 0 e ch'a dipend da l'enumerassion dij vértes.

Ël teorema sì-dapress a fa vëdde che doi graf finì a son isomorf si e mach si soe matris d'adiacensa a son përmutassion-sìmij.

Teorema. Ij graf finì $G_{1}=(V_{1},E_{1}),G_{2}=(V_{2},E_{2})$ a son isomorf si e mach si, fissà n'enumerassion dij sò vértes, a-i é na matris ëd permutassion P tal che $A(G_{1})=P^{-1}A(G_{2})P$ .

Dimostrassion. Si $G_{1},G_{2}$ a l'han nen ël midem nùmer ëd vértes, a peulo nì esse isomorf, nì avèj matris d'adiacensa sìmile. As peul donca ipotisé che $V_{1}=V_{2}=\{1,\ldots ,n\}$ . Ch'as denòto $A(G_{1})=(a_{ij}),B(G_{2})=(b_{ij})$ .

Butoma che $G_{1},G_{2}$ a sio isomorf e pijoma n'isomorfism $f:\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ . A-i na ven che $\{i,j\}\in E_{1}\Leftrightarrow \{f(i),f(j)\}\in E_{2}$ , visadì $a_{ij}=b_{f(i)f(j)}$ . Definioma $P=(\delta _{if(j)})$ . Antlora l'element ëd pòst (i,j) an $P^{-1}A(G_{2})P$ a l'é

\sum _{s,t=1}^{n}(P^{-1})_{is}(A(G_{2}))_{st}P_{tj}=\sum _{s,t=1}^{n}\delta _{sf(i)}b_{st}\delta _{tf(j)}=b_{f(i)f(j)}=a_{ij}

,

visadì $P^{-1}A(G_{2})P=A(G_{1})$ . A l'anvers, si P a l'é na matris ëd përmutassion tal che $A(G_{1})=P^{-1}A(G_{2})P$ , ch'as definissa na bijession $f:\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$ an butand f(j) ugual al pòst ëd la riga dl'ùnich 1 ch'a-i compariss ant la colòna j. Donca

\{i,j\}\in E_{1}\Leftrightarrow a_{ij}=1\Leftrightarrow 1=(P^{-1}A(G_{2})P)_{ij}=b_{f(i)f(j)}\Leftrightarrow

\Leftrightarrow \{f(i),f(j)\}\in E(G_{2})

,

ch'a veul dì che f a l'é n'isomorfism antra $G_{1}$ e $G_{2}$ .

An particolar, si $G_{1},G_{2}$ a son isomorf, soe matris d'adiacensa a son sìmile e donca a l'han ël midem polinòmi caraterìstich, visadì

det(A(G_{1})-xI)=det(A(G_{2})-xI)

,

anté che I a l'é la matris dl'identità.

Colorassion

Na colorassion d'un graf G=(V,E) a l'é na fonsion f da V an n'ansem C, dit ansem dij color. Si C a l'ha r element, antlora f as ciama n'r-colorassion. La colorassion f a l'é pròpia si vértes adiacent a l'han color diferent, visadì si $\{u,v\}\in E\Rightarrow f(u)\neq f(v).$

Ël nùmer cromàtich χ(G) ëd G a l'é la mìnima cardinalità ëd n'ansem ëd color C tal ch'a-i sia na colorassion pròpia $f:V\to C$ . La determinassion ëd χ(G) a l'é un dij problema NP-complet clàssich.

Për conté vàire r-colorassion pròpie a-i son d'un graf a peul ven-e a taj ël teorema sì-dapress. Ch'as denòta p(G,r) ël nùmer d'r-colorassion pròpie ëd G.

Teorema d'ardussion cromàtica. A val la relassion $p(G,r)=p(G_{1},r)-p(G_{2},r)$ , anté che $G_{1}$ a l'é otnù da G an gavand na banda {u,v} e $G_{2}$ a l'é otnù da $G_{1}$ an identificand ij vértes u,v.

Ës teorema a përmet d'arporté ël cont ëd p(G,r) a col për graf ch'a l'han viaman men ëd bande e ëd vértes. A-i na ven che f(r)=p(G,r) a l'é un polinòmi a coefissient antregh, dit polinòmi cromàtich ëd G.
Dagià che f(0)=f(1)=...=f(χ(G)-1)=0 e che $f(m)\neq 0$ për tut $m\geq \chi (G)$ , a-i son d'esponent antregh positiv $e_{0},e_{1},\ldots ,e_{\chi (G)-1}$ e un polinòmi q(r) taj che

f(r)=r^{e_{0}}(r-1)^{e_{1}}\cdot \ldots \cdot (r-\chi (G)+1)^{e_{\chi (G)-1}}

andoa q a l'ha gnun-e rèis antreghe positive.

Graf bipartì

Si $\chi (G)\leq 2$ , antlora G as dis un graf bipartì. Si χ(G)=1, antlora G a l'é n'ansem indipendent; si χ(G)=2, antlora G a l'é l'union ëd doi ansem indipendent disgionzù.

Esempi.

Un graf bipartì complet $K_{nm}$ ansima a (n,m) element a l'é l'union ëd doi ansem indipendent disgionzù $V_{1},V_{2}$ , ël prim con n element, lë scond con m element, anté che tuti ij vértes ëd $V_{1}$ a son adiacent a tuti ij vértes ëd $V_{2}$ .
Na stèila $S_{n}$ a l'é un graf bipartì complet ansima a (1,n-1) element.

Teorema. Un graf a l'é bipartì si e mach si a l'ha gnun sicl ëd longheur dëscobia.

Dimostrassion. Un graf ch'a conten un sicl ëd longheur dëscobia a peul nen esse bipartì, dagià ch'a-i van almanch tre color për colorelo.
A l'anvers, suponoma che G a l'abia n vértes e a conten-a gnun sicl ëd longheur dëscobia. Si $n\leq 2$ , antlora G a l'é bipartì. Dësnò, a basta fé vëdde che minca component tacà ëd G a l'é bipartìa e donca as peul fé cont che G a sia tacà. Fissà un vértes u, për minca vértes w ch'as colora w con 0 si u=w opura la distansa antra u e w a l'é cobia; dësnò ch'as colora w con 1. A venta fé vëdde che costa a l'é na colorassion pròpia. S'a fussa pa parèj, a vorërìa dì ch'a-i son doi vértes adiacent $w_{1},w_{2}$ con ël midem color; donca soa distansa da u a dev esse l'istessa, disoma r. Ch'as pijo donca doi senté $(x_{0},\ldots ,x_{r}),(y_{0},\ldots ,y_{r})$ , ël prim da $w_{1}$ a u, lë scond da $w_{2}$ a u. Ch'as denòta k ël prim valor tal che $x_{k}=y_{k}$ . Antlora $\{x_{0},\ldots ,x_{k},y_{k-1},\ldots ,y_{0}\}$ a sarìa un sicl ëd longheur dëscobia 2k-1, e sòn a l'é na contradission.

Criche e ansem indipendent

Na crica ant un graf G a l'é un sot-ansem dij vértes ch'a son tuti, doi a doi, adiacent antra 'd lor. N'ansem indipendent a l'é 'n sot-ansem dij vértes ch'a son tuti, doi a doi, nen adiacent antra 'd lor.
Për un graf finì G, ël nùmer ëd crica ω(G) a l'é la cardinalità dla crica pì gròssa ëd G; ël nùmer d'indipendensa α(G) a l'é la cardinalità dël pì gròss ansem indipendent.

Erbo

Un graf sensa sicl as ciama foresta. Na foresta tacà as ciama erbo. Da la definission, a-i ven che minca erbo a l'é 'n graf bipartì.
An n'erbo, minca cobia ëd vértes distint u,v a l'é gionzùa da 'n senté ùnich: an efet, un senté a dev ess-ie, dagià che n'erbo a l'é tacà; s'a-i na fusso doi diferent, as otenrìa un sicl.

Proposission. An n'erbo T finì con pì che n'element a-i son almanch doi vértes terminaj.

Dimostrassion. Ch'as consìdero doi vértes u,v ëd T dont la distansa a sia ugual al diàmeter; ciamoma w ël penùltim vértes ëd l'ùnich senté ch'a gionz u a v. Donca v,w a son adiacent. Si v a l'èissa n'àutr vértes adiacent, ciamomlo t, l'ùnich senté ch'a gionzrìa u a t a sarìa col ch'a passa për w e v. Ma antlora la distansa antra u e t a sarìa pì gròssa dël diàmeter e sòn a l'é na contradission.
Ant l'istessa manera as fa vëdde che u a l'ha mach un vértes adiacent.

Teorema. Ël polinòmi cromàtich ëd n'erbo T con n vértes a l'é $p(T,x)=x(x-1)^{n-1}$ .

Dimostrassion. Për andussion ansima a n. Si n=1, antlora p(T,x)=x. Si n>1, ch'as consìdera un vértes terminal u e ch'as consìdera l'ùnica banda {u,w} ancidenta an u. Ch'as denòta T' l'erbo otnù da T an gavandje la banda {u,w} e $T''$ col otnù an identificand ij vértes u,w. An armarcand che T' a l'ha doe componente, dont un-a formà mach dal vértes u e l'àutra isomorfa a $T''$ , për ël teorema d'ardussion cromàtica i otnoma

p(T,x)=p(T',x)-p(T'',x)=

=xp(T'',x)-p(T'',x)=

=(x-1)p(T'',x)=(x-1)x(x-1)^{n-2}

,

anté che al darié passage i l'oma dovrà l'ipòtesi andutiva.

Multi-graf

Ël concet ëd graf as peul generalisesse a col ëd multi-graf, an lassand che doi vértes a sio gionzù da pì che un-a banda. Na formalisassion possìbila për un multi-graf M a l'é donca ëd n'ansem ëd vértes $V_{M}$ , dotà ëd na fonsion $f_{M}:[V_{M}]^{2}\to \mathbb {N}$ ch'a conta vàire bande a-i son antra minca cobia ëd vértes. Tanme cas particolar, si la plancia d'f a l'é contnùa an {0,1} i l'oma torna un graf.

N'isomorfism antra doi multi-graf M,N a l'é antlora na bijession $\varphi :V_{M}\to V_{N}$ tal che $f_{M}(\{a,b\})=f_{N}(\{\varphi (a),\varphi (b)\})$ për minca $a,b\in V_{M}$ .