Wahadło

Wahadło rzeczywiste, którego ruch można opisać za pomocą modelu wahadła matematycznego (Katedra Metropolitalna, miasto Meksyk).

Wahadło – ciało zawieszone w jednorodnym polu grawitacyjnym w taki sposób, że może wykonywać drgania wokół poziomej osi nieprzechodzącej przez środek ciężkości zawieszonego ciała.

W mechanice wyróżnia się dwa podstawowe modele fizyczne wahadeł:

• matematyczne (proste) – opisujące wahadło jako punkt materialny, zawieszony na nieważkiej nici,
• fizyczne – opisujące wahadło jako bryłę sztywną.

Ważną cechą wahadeł fizycznego i matematycznego jest niemal pełna niezależność ich okresu drgań od amplitudy, przy założeniu że amplituda drgań jest mała. Własność ta, zwana izochronizmem drgań, została odkryta około 1602 roku przez Galileusza, który używał wahadła do pomiaru czasu. Zainspirowany tą zasadą Christiaan Huygens zbudował w 1656 roku pierwszy zegar wahadłowy. Zegary wahadłowe były najdokładniejszymi urządzeniami do pomiaru czasu aż do skonstruowania w latach 30. XX wieku zegarów kwarcowych.

Ogólnie wahadło jest oscylatorem anharmonicznym, jego okres drgań i inne parametry zależą od amplitudy. Rozwiązanie ogólnego równania ruchu wahadła jest dość złożone, ale założenia upraszczające przyjmowane dla małej amplitudy drgań pozwalają rozwiązać to równanie w sposób analityczny. Efektywne rozwiązanie równania drgań wahadła metodami numerycznymi omówiono pod koniec artykułu.

Historia

W XVII w. Galileusz w czasach swej młodości odkrył izochronizm wahadła, oraz że okres drgań zależy jako pierwiastek kwadratowy długości wahadła. Wykorzystywał wahadło do odmierzania czasu. W 1644 Marin Mersenne wyznaczył długość wahadła sekundowego (o okresie 2 sekund). Współczesny mu Stanisław Pudłowski proponował oprzeć miarę długości na zjawisku wahadła. W 1657 Huygens przedstawił i opatentował zegar wahadłowy; wynalazek szybko rozprzestrzenia się. W 1673 Huygens przedstawił teorię wahadła, w tym zależność okresu drgań wahadła od miejsca zawieszenia wahadła fizycznego (p. Jean Richer). W 1687 Isaac Newton w pracy Principia zauważył, że przyspieszenie ziemskie można wyrazić jako długość wahadła sekundowego. W 1737 Pierre Bouguer wykonał pomiary przyspieszenia ziemskiego między innymi w Andach. Zauważył, że do pomiaru przyspieszenia ziemskiego wygodniej jest określanie okresu wahania, a nie długości wahadła sekundowego (ta wcześniejszą metoda wymagała zmieniania długości wahadła tak, by otrzymać okres drgań równy 1 s). Używając wahadeł, porównał gęstość Ziemi z gęstością Kordylierów. Od 1735 Charles Marie de La Condamine prowadził eksperymenty z wahadłami, dopracowując i wykonując pomiary przyspieszenia ziemskiego w różnych miejscach. W 1792 we Francji długość wahadła sekundowego była proponowana jako jednostka długości. Pomysł nie został przyjęty w metrycznym systemie miar. W latach 1825/27 Bessel udoskonalił układ pomiarowy oraz wprowadził układ optyczny do obserwacji ruchu wahadła. W 1817 Henry Kater skonstruował wahadło rewersyjne, dając impuls do dokładnych i bezwzględnych pomiarów przyspieszenia ziemskiego. W latach 1827–1840 Francis Baily skonstruował różne wahadła, w tym wahadło poruszające się w próżni.

Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne, rozkład siły grawitacji na składowe w układzie biegunowym.

Definicja. Założenia

Wahadłem matematycznym nazywa się punkt materialny poruszający się po okręgu w płaszczyźnie pionowej w jednorodnym polu grawitacyjnym. Wahadło rzeczywiste, złożone z ciała zawieszonego na nici, może być traktowane jako wahadło matematyczne, jeżeli spełnione są następujące założenia:

• rozmiary ciała są niewielkie w porównaniu z długością nici,
• nić jest nieważka,
• nić jest nierozciągliwa,
• wahadłu nadano prędkość początkową tak, że drga w płaszczyźnie pionowej (a nie np. porusza się w płaszczyźnie poziomej po elipsie),
• na ciało działają jedynie siła ciężkości oraz siła reakcji nici (pomijalne są inne siły, np. siła oporów ruchu ze strony powietrza).

Wahadło matematyczne stanowi szczególny przypadek wahadła fizycznego (patrz niżej).

Równanie ruchu wahadła matematycznego

Równanie ruchu wahadła określa wzór:

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)=0,$

gdzie:

$\theta (t)$ – kąt odchylenia wahadła od pionu w chwili $t,$ przy czym kąt ten przyjmują wartości dodatnie np. dla odchyleń w prawo, a ujemne dla odchyleń w lewo,

$g$ – przyspieszenie ziemskie,

$\ell$ – długość nici.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła przez analizę sił

Wahadło jest odchylone od pionu o kąt θ. Na ciało działa siła ciężkości oraz siła naprężenia nici. Zawieszenie wahadła wymusza ruch po łuku w płaszczyźnie pionowej. Siłę ciężkości wahadła rozkłada się na styczną do kierunku ruchu i prostopadłą do niego. Składowa prostopadła do kierunku ruchu nie wpływa na wartość prędkości, zmienia jedynie jej kierunek. Składowa równoległa nadaje ciału przyspieszenie:

$F=-mg\sin \theta =ma$

$F=ma$

$a=-g\sin \theta$

Przyspieszenie to powoduje przebycie drogi, która jest długością łuku:

$s=\ell \theta$

$v={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}}$

$a={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$

$\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta$

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0$

Wyprowadzenie wzoru na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów

Związki geometryczne dla wahadła matematycznego.

Wzór na okres drgań wahadła dla dowolnych kątów można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Jeżeli ciało porusza się w dół od stanu spoczynku, to nabywa energię kinetyczną kosztem utraty energii potencjalnej grawitacji. Jeżeli nie ma strat energii, to powyższe dwie wielkości są sobie równe, czyli

${\frac {1}{2}}mv^{2}=mgh.$

Stąd prędkość wahadła wynosi:

$v={\sqrt {2gh}}.$

Ponieważ $v=\ell {\frac {d\theta }{dt}},$ to z powyższych wzorów otrzymuje się prędkość kątową wahadła

${\frac {d\theta }{dt}}={\frac {1}{\ell }}{\sqrt {2gh}}.$

Wysokość na jakiej znajduje się wahadło:

$y=\ell \cos \theta .$

Zmiana wysokości jest różnicą wysokości dwóch położeń, to

$h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).$

Ostatecznie otrzymuje się

${\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$

albo

$dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.$

Okres wahań T otrzymuje się całkując powyższe równanie w granicach od 0 do $\theta _{o}$ i mnożąc całkę przez 4 (wahadło wraca do początku ruchu po 4 takich ruchach):

$T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.$

Całka występująca w powyższym wzorze jest całką eliptyczną. Aby przepisać ją do postaci Lagendre’a, której wartości są stablicowane, wyraża się θ w zależności od u, dokonując przekształceń, oraz podstawienia $\sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}},$ prowadzi do wzoru na okres drgań wahadła

$T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,{\text{K}}\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),$

gdzie K jest zupełną całką eliptyczną pierwszego rodzaju zdefiniowaną jako

${\text{K}}(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,du$

gdzie:

$k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.$

Całkę tę można rozwinąć w szereg

${\text{K}}(k)={\frac {\pi }{2}}\left\{1+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot k^{2n}\right]\right\},$

co prowadzi do wzoru na okres drgań wyrażony przez szereg, podany wyżej.

Wyprowadzenie równania ruchu wahadła z zasady zachowania energii

Zostanie tutaj wyprowadzone równanie ruchu wahadła w oparciu o zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna wahadła jest zachowana, gdyż zakłada się tutaj, że na układ działają jedynie siły zachowawcze, a pomija się opory ruchu. W ogólności zachowanie energii mechanicznej pozwala na wyprowadzenie równania ruchu dowolnego układu bez potrzeby odwoływania się do konkretnej postaci działających sił, co zazwyczaj prowadzi do prostszych obliczeń.

Różniczkując względem czasu wyprowadzone wyżej równanie ${\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$ (z użyciem reguły łańcuchowej), otrzyma się przyspieszenie kątowe

${\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}$

czyli

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-(2g/\ell )\sin \theta }{\sqrt {(2g/\ell )\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-(2g/\ell )\sin \theta }{\sqrt {(2g/\ell )\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta .\end{aligned}}$

Stąd:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,$

co jest tym samym równaniem które zostało wyprowadzone wcześniej z analizy sił.

Przybliżenie I równania ruchu wahadła - założenie małej amplitudy drgań

Równanie ruchu wahadła jest równaniem różniczkowym drugiego stopnia, nieliniowym. Dokładne rozwiązanie takiego równania jest niełatwe. Tu podano pierwszy sposób znalezienia rozwiązania przybliżonego, przy założeniu że wahadło wykonuje drgania o niewielkiej amplitudzie kątowej. Przy takim założeniu funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem (wzór Maclaurina):

$\sin \theta \approx \theta ,$

wówczas ogólne równanie ruchu wahadła upraszcza się do postaci

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta (t)=0.$

Powyższe równanie jest równaniem drgań harmonicznych. Rozwiązanie określa zależność kąta wahań od czasu i może być określone wzorem:

$\theta (t)=\theta _{0}\sin(\omega t+\varphi ),$

gdzie:

$\theta _{0}$ – amplituda drgań,

$\omega ={\sqrt {\frac {g}{\ell }}}$ – częstość kołowa drgań,

$\varphi$ – faza początkowa drgań.

Okres drgań jest związany z częstością wzorem

$T={\frac {2\pi }{\omega }},$

okres drgań wynosi

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.$

Wynika stąd, że:

Gdy wahadło wykonuje małe drgania, to:

(1) zależność kata wychylenia wahadła od czasu jest funkcją harmoniczną

(2) okres drgań nie zależy od amplitudy, a jedynie od długości wahadła i przyspieszenia grawitacyjnego.

Jak wspomniano we wstępie, izochronizm wahadła odkrył już Galileusz w XVI w. Widać, że własność ta jest słuszna przy założeniu małych drgań. Niżej pokazano, że w ogólnym przypadku nie jest to słuszne - okres drgań zależy od amplitudy.

Okres drgań o dowolnej amplitudzie

Zależność okresu drgań wahadła T od amplitudy drgań $\theta _{o}.$

Dla dużych amplitud wahań okres drgań zależy od amplitudy $\theta _{0}$ i rośnie wraz z jej wzrostem. Zależność okresu od amplitudy opisuje wzór:

$T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),$

gdzie K jest całką eliptyczną zupełną pierwszego rodzaju. Całki te są stablicowane.

Rozwinięcie wzoru na okres drgań o dowolnej amplitudzie w szereg

(1) Całkę eliptyczną w powyższym wzorze można rozwinąć w bazie wielomianów Legendre’a, co prowadzi do wzoru${\begin{aligned}T(\theta _{0})&=2\pi {\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left[\left({\tfrac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}\left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right]\\&=2\pi {\sqrt {\tfrac {\ell }{g}}}\left[1+\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\tfrac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\cdot \sin ^{4}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\left({\tfrac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\cdot \sin ^{6}\left({\tfrac {\theta _{0}}{2}}\right)+\ldots \right]\end{aligned}}$

(2) Rozwijając w szereg Maclaurina otrzymuje się wzór:

$T(\theta _{0})=2\pi {\sqrt {\tfrac {l}{g}}}\left(1+{\tfrac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\tfrac {11}{3\ 072}}\theta _{0}^{4}+{\tfrac {173}{737\ 280}}\theta _{0}^{6}+{\tfrac {22\ 931}{1\ 321\ 205\ 760}}\theta _{0}^{8}+\ldots \right).$

Gdy w powyższym wzorze pominie się wyrazy sumy poza pierwszym wyrazem, równym 1, to otrzyma się wzór na okres małych drgań wahadła (patrz wyżej). Kąt graniczny izochronizmu zależy od przyjętej dokładności; dla kąta 6° okres drgań jest o około 0,07% większy od minimalnego.

Przybliżenie II równania ruchu wahadła - dwa wyrazy szeregu Maclaurina

Zagadnienie ruchu wahadła można rozwiązać dla dużych amplitud drgań w sposób przybliżony, przybliżając funkcję sinus do dwóch początkowych wyrazów szeregu Maclaurina: $\sin \theta \approx \theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}$ (tu nie ogranicza się ruchu wahadła do małych drgań, jak to pokazano wyżej, przyjmując przybliżenie $\sin \theta \approx \theta$). Wówczas równanie ruchu wahadła przyjmuje postać:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\left(\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}\right)=0.$

Rozwiązanie tego równania ma w przybliżeniu postać (z dokładnością do wyrazów 3-go rzędu)

$\theta (t)=\theta _{0}\cos \omega t+\theta _{3}\cos(3\omega t),$

gdzie:

$\theta _{0}$ – amplituda drgań o częstotliwości $\omega ,$

$\theta _{3}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\theta _{0}}{4}}\right)^{3}$ – amplituda drgań o częstotliwości $3\omega ,$

$\omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{l}}},$

$\omega =\omega _{0}\left(1-{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right)<\omega _{0}$ - częstotliwość drgań wahadła o dużej amplitudzie

Rozwiązanie powyższe wskazuje, iż wahadło matematyczne dla amplitud dostatecznie dużych nie jest oscylatorem harmonicznym, lecz:

• ruch wahadła jest złożeniem dwóch drgań harmonicznych mających częstotliwości $\omega$ oraz $3\omega$ i amplitudy odpowiednio równe $\theta _{0}$ oraz $\theta _{3}$
• częstotliwość drgań $\omega$ zależy od $\theta _{0}$ (czyli nie występuje izochronizm drgań charakterystyczny dla małych amplitud)
• częstotliwość drgań jest mniejsza niż dla drgań o małej amplitudzie; częstotliwość ta maleje wraz ze wzrostem amplitudy
• amplituda $\theta _{3}$ wyższej harmonicznej zależy w trzeciej potędze od amplitudy $\theta _{0}.$

Z drugiej strony, dla dostatecznie małych wartości $\theta _{0}$ częstotliwość drgań $\omega$ zbliża się do wartości $\omega _{0},$ zaś amplituda wyższej harmonicznej staje się pomijalnie mała – otrzymuje się drganie harmoniczne o amplitudzie $\theta _{0}$ i częstotliwości $\omega _{0},$ która nie zależy od amplitudy.

Rozwiązanie ogólne równania ruchu wahadła

Zależność czasu od kąta wychylenia wahadła

Dokładne rozwiązanie ruchu wahadła dla dowolnej amplitudy można podać w postaci uwikłanej:

$dt={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {d\theta }{(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.$

Wykonując całkowanie w zakresie od 0 do $\theta$ przy stałym kącie maksymalnego wychylenia $\theta _{0},$ otrzymuje się zależność czasu t od kąta wychylenia wahadła:

$t(\theta )={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta }{\frac {d\theta }{(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.$

Całka w powyższym wzorze jest całką eliptyczną niezupełną pierwszego rodzaju. Przyjmując w tym wzorze wartość kąta $\theta =\theta _{0}$ w granicy górnej całki i mnożąc go przez 4 otrzyma się wyżej podany wzór na okres drgań wahadła o dowolnej amplitudzie drgań.

Zależność kąta wychylenia wahadła od czasu

Jawną zależności kąta wychylenia wahadła od czasu $\theta (t)$ dla dowolnie dużych amplitud drgań $\theta _{0}$ uzyskuje się np. za pomocą funkcji amplitudy Jakobiego, która jest funkcją odwrotną do funkcji $t(\theta )$. Zależność tę użyto do numerycznego obliczenia wykresów drgań wahadła, pokazanych na rysunku.

Rozwiązania nieliniowego równania wahadła dla różnych amplitud kątowych za pomocą funkcji amplitudy Jakobiego. Dla amplitudy 11 ° okres drgań wahadła niewiele odbiega od okresu dla małych drgań. Jednak ze wzrostem amplitudy okres drgań wzrasta. Dla amplitudy 179.999° wahadło wykazuje ruch pełzający - okres drgań zmierza do nieskończoności.

Szereg Fouriera i wyższe harmoniczne w ruchu wahadła

Znając zależność kąta wychylenia od czasu $\theta (t)$ można rozwinąć ją w szereg Fouriera:

$\theta (t)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos(n\omega t)+b_{n}\sin(n\omega t)),$

gdzie:

$a_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\theta (t)\cos \left(\omega \,nt\right)dt,\quad n=0,1,2,3,\dots ,$

$b_{n}={\frac {2}{T}}\int \limits _{-T/2}^{T/2}\theta (t)\sin \left(\omega \,nt\right)dt,\quad n=1,2,3,\dots$

$T$ - okres drgań wahadła (dla dowolnej amplitudy drgań),

$\omega ={\tfrac {2\pi }{T}}$ - podstawowa częstotliwość kołowa w rozwinięciu funkcji w szereg Fouriera

W szczególności dla wahadła symetrycznego rozpoczynającego ruch w chwili t= 0 od maksymalnego wychylenia kątowego, zależność kąta odchylenia wahadła od pionu jest symetryczną funkcją czasu, tj. $\theta (t)=\theta (-t).$ Wtedy współczynniki przed funkcją sinus w szeregu Fouriera są równe zero. Stąd otrzymuje się:

$\theta (t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(n\,\omega t)$

Ponadto, parzyste harmoniczne składowej cosinus są równe zero, w tym składowa $a_{0}$. Wynika stąd, że w widmie Fouriera takiego ruchu wahadła występują składowe harmoniczne $\cos n\omega$ o częstotliwościach $n=1,3,5,\ldots$ razy większych od częstotliwości podstawowej $\omega$.

A także: Dla dużych amplitud drgań częstotliwość podstawowa $\omega$ jest mniejsza niż dla małych drgań, gdyż rośnie okres drgań $T$ ze wzrostem amplitudy, więc częstotliwość maleje.

Wnioski:

Z analizy tej wynika, że dokładny opis ruchu wahadła zawiera nie jedną harmoniczną (jaką otrzymuje się w przybliżeniu funkcji sinus jednym wyrazem szeregu Maclaurina, tj. przyjmując $\sin \theta \approx \theta$ - przy założeniu małych drgań), nie dwie harmoniczne (co otrzymuje się w rozwinięciu Maclaurina dwoma wyrazami, tj. przyjmując $\sin \theta \approx \theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}$), ale w ogólności składowych harmonicznych jest nieskończenie wiele. Amplitudy wyższych harmonicznych są określone przez współczynniki szeregu Fouriera. Wyższe harmoniczne mają coraz mniejsze amplitudy.

Całkowita energia mechaniczna wahadła. Punkty zwrotne. Krzywe fazowe

a) Wykres energii potencjalnej wahadła prostego w zależności od kąta wychylenia (u góry)
b) krzywe fazowe, tj. krzywe zależności współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia (u dołu).

W opisie ruchu wahadła zamiast kąta maksymalnego wychylenia $\theta _{0},$ jako stały parametr ruchu można przyjąć całkowitą energię mechaniczną wahadła $E_{calkowita}$. Energia ta determinuje punkty zwrotne ruchu wahadła, które charakteryzują kąty maksymalnego odchylenia.

Krzywe fazowe wahadła są to krzywe prezentujące zależność współrzędnej prędkości kątowej wahadła od kąta odchylenia wahadła od pionu. Niech $E_{min}=2mgh$ oznacza energię potrzebną do odchylenia wahadła z położenia równowagi do pionu, tj. odchylenia o kąt $180^{0}.$ Na podstawie wykresów fazowych można odróżnić poszczególne przypadki ruchu (por. wykres obok): 1) gdy $E_{calkowita}<E_{min},$ to krzywe fazowe są krzywymi zamkniętymi; 2) gdy $E_{calkowita}=E_{min},$ to krzywe fazowe tworzą przecinające się linie; 3) gdy $E_{calkowita}>E_{min},$ to krzywe fazowe są liniami otwartymi.

Poniżej zestawiono animacje pokazujące sposoby (mody) oscylacji wahadła matematycznego w zależności od jego energii całkowitej. Animacje pokazują, że okres drgań zależy od amplitudy. Małe wykresy powyżej wahadeł są wykresami fazowymi ruchu wahadeł.

• 
  Kąt początkowy 0°, równowaga trwała.
• 
  Kąt początkowy 45°
• 
  Kąt początkowy 90°
• 
  Kąt początkowy 135°
• 
  Kąt początkowy 170°
• 
  Kąt początkowy 180°, równowaga nietrwała.
• 
  Wahadło o energii nieco większej niż potrzebna na pełny obrót.
• 
  Wahadło o energii znacznie większej niż minimalna potrzebnej na pełny obrót.

Uniwersalność wzoru opisującego ruch wahadła. Co oznacza g?

Równanie ruchu wahadła jest uniwersalne - jest słuszne nie tylko dla drgań na Ziemi, ale dla drgań na dowolnym ciele niebieskim (jeśli takie wahadło można by tam zainstalować); np. na Księżycu, gdzie przyspieszenie grawitacyjne jest około 6 razy mniejsze niż na Ziemi, identyczne wahadło miałoby ${\sqrt {6}}$ razy dłuższy okres drgań.

Jest też słuszne np. w windzie, spadającej z przyspieszeniem w kierunku Ziemi. Gdyby winda poruszała się z przyspieszeniem ziemskim, to przedmioty znajdujące się w niej byłyby w stanie nieważkości. Wyjaśnienie tego jest następujące: do opisu ruchu wahadła w układzie odniesienia związanym z windą, który z racji ruchu przyspieszonego względem Ziemi jest układem nieinercjalnym, trzeba wprowadzić oprócz siły grawitacji siłę bezwładności - jeżeli winda poruszałaby się z przyspieszeniem ziemskim, to siła ciężkości ciała byłaby równoważona przez siłę bezwładności, działającej na to ciało - ciało byłoby się w stanie nieważkości. W zależności od warunków początkowych ciało wahadła spoczywałoby (było w równowadze trwałej) albo poruszało się ruchem jednostajnym po okręgu.

W równaniu ruchu wahadła współczynnik $g$ należy więc rozumieć jako przyspieszenie ciał swobodnie spadających, mierzone w układzie nieruchomym względem punktu zamocowania nici wahadła. Łatwo pokazać zgodność powyższych efektów (obserwowanych np. w stacjach krążących wokół Ziemi) z opisem matematycznym: Z równania ogólnego ruchu wahadła dla $g=0$ otrzymamy proste równanie różniczkowe

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}=0,$

z którego natychmiast wynika rozwiązanie:

$\theta (t)=\omega _{0}t+\theta _{0}$,

gdzie: $\theta _{0}$ - położenie kątowe początkowe wahadła, $\omega _{0}$ - początkowa prędkość kątowa, nadana wahadłu.

Gdy $\omega _{0}=0$, to wahadło będzie w pozycji nieruchomej; w przeciwnym razie będzie wykonywać ruch jednostajny po okręgu.

Opis ruchu wahadła w ramach mechaniki Lagrange'a

Z definicji wahadła prostego, jego ruch jest ograniczony przez więzy do ruchu po okręgu. Suma składowych sił działających na ciało prostopadłe do toru ruchu jest siłą dośrodkową, jej wartość określa wzór

$F_{r}=-{\frac {mv}{\ell }}^{2},$

przy czym znak „minus” jest dlatego, że siła działa w stronę środka okręgu, przeciwnie do zwrotu współrzędnej układu współrzędnych biegunowych. Zależność tej siły od kąta $\theta$ można określić wyznaczając prędkość wahadła z zasady zachowania energii, co daje.

$v^{2}=2g\ell (\cos \theta -\cos \theta _{0}),$

gdzie $\theta _{0}$ – kąt maksymalnego odchylenia wahadła.

Siłę napięcia nici określa wzór

$T(\theta )=F_{r}-mg\cos \theta =-mg(3\cos \theta -2\cos \theta _{0}).$

W przyjętym tu układzie współrzędnych biegunowych, który jest zgodny z więzami, wyznaczenie siły reakcji więzów jest niepotrzebne do opisu ruchu wahadła. Wyznaczenie tej siły byłoby konieczne, gdyby siły opisywać w układzie współrzędnych kartezjańskich. Dobór układu współrzędnych zgodnych z więzami stanowi podstawę sformułowania mechaniki klasycznej w ujęciu mechaniki Lagrange’a.

W ramach mechaniki Lagrange'a wyprowadza się równanie ruchu wahadła matematycznego (pomijamy to tutaj). Jednak metoda Lagrange'a, która zrodziła się w rozwiazywaniu problemów klasycznej fizyki, znajduje znacznie poważniejsze zastosowania we współczesnej teorii pola (w fizyce cząstek elementarnych), gdzie równania ruchu cząstek wyprowadza się poprzez konstrukcję odpowiedniego Lagranżjanu.

Wahadło matematyczne – tabela okresów drgań dla dowolnie dużych amplitud

Okresy drgań $T(\theta _{0})$ wahadła matematycznego w zależności od amplitudy $\theta _{0},$ dzielone przez okres małych drgań $T_{0}$

$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$	$\theta _{0}$	$T/T_{0}$
2°	1.0001	22°	1.0093	42°	1.0347	62°	1.0785	82°	1.1454	102°	1.2439	122°	1.3905	142°	1.6238	162°	2.0724
4°	1.0003	24°	1.0111	44°	1.0382	64°	1.0841	84°	1.1537	104°	1.2560	124°	1.4090	144°	1.6551	164°	2.1453
6°	1.0007	26°	1.0130	46°	1.0418	66°	1.0898	86°	1.1622	106°	1.2686	126°	1.4283	146°	1.6884	166°	2.2284
8°	1.0012	28°	1.0151	48°	1.0457	68°	1.0959	88°	1.1711	108°	1.2817	128°	1.4485	148°	1.7240	168°	2.3248
10°	1.0019	30°	1.0174	50°	1.0498	70°	1.1021	90°	1.1803	110°	1.2953	130°	1.4698	150°	1.7622	170°	2.4394
12°	1.0027	32°	1.0199	52°	1.0540	72°	1.1087	92°	1.1899	112°	1.3096	132°	1.4922	152°	1.8033	172°	2.5801
14°	1.0037	34°	1.0225	54°	1.0585	74°	1.1155	94°	1.1999	114°	1.3244	134°	1.5157	154°	1.8478	174°	2.7621
16°	1.0049	36°	1.0252	56°	1.0632	76°	1.1225	96°	1.2103	116°	1.3399	136°	1.5405	156°	1.8962	176°	3.0193
18°	1.0062	38°	1.0282	58°	1.0681	78°	1.1299	98°	1.2210	118°	1.3560	138°	1.5667	158°	1.9492	178°	3.4600
20°	1.0077	40°	1.0313	60°	1.0732	80°	1.1375	100°	1.2322	120°	1.3729	140°	1.5944	160°	2.0075	180°	$\infty$

Okresy drgań wahadła matematycznego nietłumionego w zależność od amplitudy, zamieszczone w tabeli, obliczono korzystając ze wzoru:

$T(\theta _{0})=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,\cdot K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right).$

Dla $\theta _{0}=0$ mamy $T_{0}\equiv T(0)=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\,K(0).$ Dzieląc stronami oba wzory otrzyma się formułę, z której łatwo wyznaczyć szukane wielkości:

$T(\theta _{0})/T_{0}=K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)/K(0)$

Wartości całek eliptycznych zupełnych pierwszego rodzaju $K\left(\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right),K(0)$ są stabelaryzowane (patrz tu – należy odszukać kąt $\alpha =\theta _{0}/2$ i odczytać wartość całki $K$).

Na podstawie tabeli można wyznaczyć okres drgań wahadła o zadanej długości $\ell$ mnożąc wartość odczytaną z tabeli przez $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.$

Tabela może służyć też do testowania algorytmów obliczania złożonych ruchów, co omówiono poniżej.

Drgania tłumione i wymuszone wahadła matematycznego

W omówionych tu zagadnieniach opisane były drgania swobodne wahadła matematycznego i fizycznego, tj. drgania odbywające się jedynie pod wpływem siły ciężkości oraz siły reakcji nici czy podpory. Siły grawitacji są siłami zachowawczymi. Podobnie zachowawcze są rozważane tu siły reakcji, gdy punkt zaczepienia nici jest nieruchomy (siła reakcji nie zależy wtedy jawnie od czasu i działa prostopadle do chwilowego kierunku ruchu wahadła; w konsekwencji taka siła reakcji nie wykonuje pracy). Energia mechaniczna wahadła poddanego działaniu tylko tych sił byłaby zachowana i w konsekwencji powodowałaby jego nieustanny ruch.

Rzeczywiste układy drgające wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzymują się pod wpływem oporów ruchu (np. oporów powietrza), chyba że działa na nie siła wymuszająca ruch, jak to jest w przypadku wahadeł zegarów. Uwzględnienie sił oporów ruchu lub sił wymuszających ruch prowadzi do równań wahadła tłumionego lub wymuszonego (por. Ruch harmoniczny tłumiony oraz Oscylator harmoniczny wymuszony). Rozwiązanie tych równań w ogólnym przypadku jest niezwykle złożone. Z pomocą przychodzą metody numeryczne, niżej omówione.

Całkowanie numeryczne równań ruchu wahadła matematycznego

Wahadło nietłumione

Zależności kąta wychylenia od czasu dla wahadeł o tej samej długości, mających różne amplitudy kątowe drgań: 0,25π =45° (szary) oraz 0,99π =178° (czarny), wyprowadzone z ogólnego równania ruchu wahadła

Równanie ogólne drgań wahadła matematycznego, podane na początku artykułu, jest równaniem różniczkowym zwyczajnym drugiego rzędu. Jest to ponadto równanie nieliniowe – nie da się go rozwiązać analitycznie. Można jednak rozwiązać je efektywnie metodami numerycznymi, np. stosując metody Rungego-Kutty. Metoda polega na tym, że wprowadzając nową zmienną $\omega =\theta (t)'$ (która de facto ma sens prędkości kątowej wahadła) równanie to sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t),\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-{\frac {g}{\ell }}\cdot \sin \theta ,\end{cases}}$

a następnie układ tych równań rozwiązuje się iteracyjnie, znajdując np. zależność kata odchylenia wahadła $\theta (t_{n})$ w zależności od dyskretnych chwil czasu $t_{n}$ czy też okres drgań $T(\theta _{0}).$ (Przykład kodu programu w C++ podano tutaj)

Wahadło tłumione, z siłą wymuszającą

Znalezienie rozwiązania analitycznego równania ruchu złożonych układów fizycznych jest w ogólnym przypadku niemożliwe. Jednak metody numeryczne pozwalają efektywnie rozwiązywać te równania ruchu. Np. równanie ruchu wahadła z tłumieniem i z siłą wymuszającą ma postać

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+2\beta {\frac {d\theta (t)}{dt}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)=F(t)$

gdzie:

$\beta$ – współczynnik tłumienia,

$F(t)$ – siła wymuszająca, zależna dowolnie od czasu.

Wprowadzając nową zmienną $\omega =\theta (t)'$ powyższe równanie sprowadza się do układu dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu

${\begin{cases}{\frac {d\theta (t)}{dt}}=\omega (t)\\{\frac {d\omega (t)}{dt}}=-2\beta \omega (t)-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta (t)+F(t)\end{cases}}$

Układ ten rozwiązuje się iteracyjnie, np. metodą Rungego-Kutty, co prowadzi do znalezienia dyskretnych wartości $\theta (t_{n}),\omega (t_{n})$ w zależności od dyskretnych chwil czasu $t_{n}$ w zadanym przedziale całkowania równań. (Przykład kodu programu w języku python, wraz z generowaniem wykresów drgań, podano tutaj).

Wahadło fizyczne

Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna zawieszona na stałej osi poziomej w jednorodnym polu grawitacyjnym, która wykonuje drgania polegające na obrotach wokół tej osi raz w jedną, raz w drugą stronę. Na wychylone z położenia równowagi wahadło działa moment siły:

$M=mgd\sin \theta .$

Stąd, korzystając z II zasady dynamiki ruchu obrotowego, otrzymuje się równanie ruchu wahadła fizycznego

${\frac {d^{2}\theta (t)}{dt^{2}}}+{\frac {mgd}{I}}\sin \theta (t)=0.$

gdzie:

• $d$ – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości bryły,
• $g$ – przyspieszenie ziemskie,
• $I$ – moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
• $m$ – masa wahadła.

Podstawiając do powyższego równania tzw. długość zredukowaną

$\ell _{f}={\frac {I}{md}}$

równanie ruchu wahadła fizycznego przyjmie identyczną postać jak równanie ruchu wahadła matematycznego. Oznacza to, że wszystkie wnioski dotyczące ruchu wahadła fizycznego są identyczne z wnioskami dotyczącymi wahadła matematycznego. Przykładowo okres drgań wahadła fizycznego dany jest wzorem:

$T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgd}}}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell _{f}}{g}}}$

czyli wzorem, jakie miałoby wahadło matematyczne o długości równej długości zredukowanej wahadła fizycznego.

Wahadło matematyczne jako szczególne wahadło fizyczne

Z drugiej strony wahadło matematyczne, które jest masą punktową zawieszoną na nieważkiej nici, może być traktowane jako szczególna bryła sztywna, ma bowiem ściele określony moment bezwładności i odległość od środka obrotu do środka masy, danych oczywistymi wzorami:

$I=m\ell ^{2},$

$d=\ell .$

Zastosowania wahadła fizycznego

Wahadło fizyczne stosuje się jako przyrząd do dokładnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego. Przykładem wahadła do pomiaru przyspieszenia ziemskiego (oraz jako przyrządu dydaktycznego) jest wahadło rewersyjne.

Inne rodzaje wahadeł

W fizyce rozważa się kilka modeli wahadeł, które nie spełniają założeń wahadła matematycznego lub fizycznego. Przykładami są:

• wahadło sferyczne – ciało na nierozciągliwej nici, ale jego ruch nie jest ograniczony do płaszczyzny,

• 

  Ruch ciał po tautochronie.

  wahadło stożkowe – ciało na nierozciągliwej nici, a ciało porusza się po okręgu,
• wahadło podwójne – ciało wahadła jest punktem zawieszenia kolejnego wahadła, może być rozważane jako płaskie i sferyczne, matematyczne i fizyczne,

Ruch podwójnego wahadła matematycznego

• wahadło z rozciągliwą nicią,
• tautochrona (wahadło cykloidalne) – wahadło o okresie niezależnym od amplitudy drgań (niżej omówione),
• wahadło Foucaulta (niżej omówione)

Konstrukcja wahadła cykloidalnego o okresie niezależnym od amplitudy.

Inne układy drgające:

• wahadło torsyjne
• wahadło sprężynowe

Wahadło o okresie niezależnym od amplitudy

Wahadło Foucaulta w Muzeum Sztuk i Rzemiosł w Paryżu; w miarę obrotu wahadło przewraca ustawione wokoło klocki.

Problemem konstruowania dokładnych zegarów wahadłowych, których szybkość chodu nie zależy od amplitudy drgań, zajmował się Christiaan Huygens, wykazał, że niezależność szybkości chodu zapewni zmniejszanie długość nici wahadła wraz z wychyleniem; następnie wykazał, że zrealizuje to wahadło cykloidalne, tj. wahadło, w którym nić lub elastyczny element zawieszenia, będzie owijać się na cykloidzie o poziomej osi i promieniu równym ćwierci długości wahadła. W ten sposób skonstruował wahadło o okresie niezależnym od amplitudy.

Problem wahadła o okresie niezależnym od amplitudy sprowadza się do wyznaczenia takiej krzywej, że ciało poruszając pod działaniem stałej siły grawitacji po niej w takim samym czasie przemieści się od punktu ruszenia do jej najniższego punktu. Krzywa zwana jest tautochroną i jest cykloidą.

Wahadło Foucaulta

Animacja ruchu wahadła Foucaulta w Paryżu widziana ze Słońca. Niebieska linia – trajektoria ciężarka. W środku umieszczono słupek, który rzuca cień Słońca. Zielona linia – rzut trajektorii ciężarka na obracającą się Ziemię (obrót dobowy Ziemi został wyolbrzymiony 1 obrót w 110 s).

Płaszczyzna drgań wahadła znajdującego się na Ziemi poza równikiem powoli obraca się względem Ziemi. Zjawisko to można wyjaśnić jako efekt działania siły Coriolisa wywołanej ruchem wahadła na obracającej się Ziemi. Wahadło umożliwiające obserwację tego efektu, jest nazywane wahadłem Foucaulta.

Okres obrotu płaszczyzny wahadła w dla obserwatora znajdującego się na obracającej się Ziemi opisuje wzór:

$T={\frac {24\operatorname {h} }{\sin \varphi }},$

gdzie $\varphi$ – szerokość geograficzna, na której znajduje się wahadło. Np. dla szerokości geograficznej 52° (okolice Warszawy) okres wahadła Foucaulta wynosi około 30 h 27 min i maleje ze wzrostem szerokości geograficznej. Na biegunach okres ten wynosi 24 h.

Zobacz też

Przyrządy będące wahadłami

• wahadło balistyczne
• wahadło Newtona
• wahadło Oberbecka
• wahadło radiestezyjne
• wahadło rewersyjne
• wahadło zegarowe

Oscylatory

• oscylator anharmoniczny
• oscylator harmoniczny
• oscylator harmoniczny kwantowy

Inne

• grawimetr

Bibliografia

• M. Jeżewski, Fizyka, PWN, Warszawa 1966.
• C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman: Mechanika. Warszawa: PWN, 1993.
• W. Królikowski, W. Rubinowicz: Mechanika teoretyczna. Warszawa: PWN, 2012.
• Lew Dawidowicz Landau, E.M. Lifszyc: Mechanika. Warszawa: PWN, 2011.
• Robert Resnick, David Halliday: Fizyka. Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-09323-4.
• A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski: Wstęp do fizyki. T. 1. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzne

• Ćwiczenie Pomiar natężenia pola grawitacyjnego w Siedlcach przy pomocy modelu wahadła matematycznego. kf.imif.uph.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2015-04-13)]. – w ramach zestawu ćwiczeń do fizyki na Wydziale Nauk Ścisłych Uniwersytetu Przyrodniczo-Humanistycznego w Siedlcach
• Wahadło fizyczne (ang.)