Twierdzenie Gaussa-Markowa

Twierdzenie Gaussa-Markowa – twierdzenie statystyki mówiące, że estymator najmniejszych kwadratów jest (o ile jest on stosowalny) najlepszym (tj. mającym najmniejszą wariancję) estymatorem spośród liniowych, nieobciążonych estymatorów liniowego modelu regresji.

Twierdzenie

Niech dany będzie model regresji liniowej, zapisany w notacji macierzowej:

${\underline {y}}=X{\underline {\beta }}+{\underline {\varepsilon }},\quad ({\underline {y}},{\underline {\varepsilon }}\in \mathbb {R} ^{n},{\underline {\beta }}\in \mathbb {R} ^{K},X\in \mathbb {R} ^{n\times K}),$

tj.

$y_{i}=\sum _{j=1}^{K}\beta _{j}X_{ij}+\varepsilon _{i}\quad (i=1,2,\dots ,n),$

gdzie $\beta _{j}$ są współczynnikami modelu, $X_{ij}$ są zmiennymi objaśniającymi natomiast $\varepsilon _{i}$ są zmiennymi losowymi błędu (nazywanymi czasami szumem). W przypadku modelu regresji ze stałą, wprowadza się dodatkowy współczynnik $\beta _{K+1}$ oraz odpowiadającą mu kolumnę jedynek: $X_{i(K+1)}=1$ dla wszelkich $i.$

Założenia twierdzenia Gaussa-Markowa:

• wartość oczekiwana szumu wynosi 0:

${\mathsf {E}}[\varepsilon _{i}]=0$ dla wszelkich $i.$

• homoskedastyczność: wariancje szumu istnieją i są równe:

${\mathsf {Var}}(\varepsilon _{i})=\sigma ^{2}<\infty ,$

• szumy są parami nieskorelowane:

${\mathsf {Cov}}(\varepsilon _{i},\varepsilon _{j})=0,\quad (i\neq j).$

Liniowy estymator $\beta _{j}$ jest po prostu kombinacją liniową $y_{i}{:}$

${\widehat {\beta }}_{j}=c_{1j}y_{1}+\ldots +c_{nj}y_{n},$

w której współczynniki $c_{ij}$ nie zależą od $\beta _{j},$ ale mogą zależeć od $X_{ij}.$ Z definicji, estymator ${\widehat {\beta }}_{j}$ jest nieobciążony, gdy

${\mathsf {E}}\left[{\widehat {\beta }}_{j}\right]=\beta _{j}.$

Niech

$\sum \nolimits _{j=1}^{K}\lambda _{j}\beta _{j}$

będzie kombinacją liniową współczynników. Wówczas błąd średniokwadratowy odpowiadający takiemu oszacowaniu wynosi

${\mathsf {E}}\left[\left(\sum _{j=1}^{K}\lambda _{j}\left({\widehat {\beta }}_{j}-\beta _{j}\right)\right)^{2}\right],$

Z uwagi na to, że rozważane tu estymatory są nieobciążone, błąd średniokwadratowy jest równy wariancji rzeczonej kombinacji liniowej. Najlepszym nieobciążonym estymatorem (ang. BLUE) jest wektor $\beta$ o parametrach $\beta _{j},$ którego błąd średniokwadratowy jest najmniejszy spośród wszystkich wektorów $\lambda$ będących kombinacjami liniowymi parametrów. Równoważnie, macierz

${\mathsf {Var}}\left({\widetilde {\beta }}\right)-{\mathsf {Var}}\left({\widehat {\beta }}\right)$

jest nieujemnie określona dla każdego liniowego, nieobciążonego estymatora ${\widetilde {\beta }}$ (zob. uwagi o dowodzie). Estymator najmniejszych kwadratów (ang. OLS) to funkcja

${\widehat {\beta }}=(X'X)^{-1}X'y$

zależna od $y$ oraz $X$ (gdzie $X'$ oznacza transpozycję macierzy $X$). Funkcja ta minimalizuje sumę kwadratów błędów przypadkowych, tj.

$\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-{\widehat {y}}_{i}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(y_{i}-\sum _{j=1}^{K}{\widehat {\beta }}_{j}X_{ij}\right)^{2}.$

Twierdzenie Gaussa-Markowa orzeka, że

estymator średniokwadraowy (OLS) jest najlepszym nieobciążonym liniowym estymatorem (BLUE).

Dowód

Niech ${\tilde {\beta }}=Cy$ będzie dowolnym liniowym etymatorem $\beta ,$ gdzie $C=(X'X)^{-1}X'+D$ a $D$ jest $K\times n$ niezerową macierzą. Zakładając nieobciążoność, najlepszy estymator nieobciążony to estymator o minimalnej wariancji. By zakończyć dowód należy wykazać, że wariancja ${\tilde {\beta }}=Cy$ nie jest mniejsza od wariancji ${\widehat {\beta }},$ tj. estymatora najmniejszych kwadratów.

${\begin{aligned}{\mathsf {E}}\left[{\tilde {\beta }}\right]&={\mathsf {E}}[Cy]\\&={\mathsf {E}}\left[\left((X'X)^{-1}X'+D\right)(X\beta +\varepsilon )\right]\\&=\left((X'X)^{-1}X'+D\right)X\beta +\left((X'X)^{-1}X'+D\right){\mathsf {E}}[\varepsilon ]\\&=\left((X'X)^{-1}X'+D\right)X\beta &&{\mathsf {E}}[\varepsilon ]=0\\&=(X'X)^{-1}X'X\beta +DX\beta \\&=(I_{K}+DX)\beta .\end{aligned}}$

Oznacza to, że estymator ${\tilde {\beta }}$ jest nieobciążony wtedy i tylko wtedy, gdy $DX=0.$ W tym wypadku:

${\begin{aligned}{\mathsf {Var}}\left({\tilde {\beta }}\right)&={\mathsf {Var}}(Cy)\\&=C{\mathsf {Var}}(y)C'\\&=\sigma ^{2}CC'\\&=\sigma ^{2}\left((X'X)^{-1}X'+D\right)\left(X(X'X)^{-1}+D'\right)\\&=\sigma ^{2}\left((X'X)^{-1}X'X(X'X)^{-1}+(X'X)^{-1}X'D'+DX(X'X)^{-1}+DD'\right)\\&=\sigma ^{2}(X'X)^{-1}+\sigma ^{2}(X'X)^{-1}(DX)'+\sigma ^{2}DX(X'X)^{-1}+\sigma ^{2}DD'\\&=\sigma ^{2}(X'X)^{-1}+\sigma ^{2}DD'&&DX=0\\&={\mathsf {Var}}\left({\widehat {\beta }}\right)+\sigma ^{2}DD'&&\sigma ^{2}(X'X)^{-1}={\mathsf {Var}}\left({\widehat {\beta }}\right)\end{aligned}}$

Macierz DD' jest nieujemnie określona, ${\mathsf {Var}}\left({\tilde {\beta }}\right)$ dominuje zatem ${\mathsf {Var}}\left({\widehat {\beta }}\right)$ poprzez macierz nieujemnie określoną (zob. uwagi o dowodzie).

Uwaga o dowodzie

Powyższy dowód opiera się na równoważności warunku

${\mathsf {Var}}\left({\tilde {\beta }}\right)-{\mathsf {Var}}\left({\widehat {\beta }}\right)\geqslant 0$

z tym, że najlepszym (tj. mającym minimalną wariancję) estymatorem $\ell ^{t}\beta$ jest $\ell ^{t}{\widehat {\beta }}.$ Zależność taka istotnie zachodzi. Niech $\ell ^{t}{\tilde {\beta }}$ będzie dowolnym liniowym, nieobciążonym estymatorem $\ell ^{t}\beta .$ Wówczas

${\begin{aligned}{\mathsf {Var}}\left(\ell ^{t}{\tilde {\beta }}\right)&=\ell ^{t}{\mathsf {Var}}\left({\tilde {\beta }}\right)\ell \\&=\sigma ^{2}\ell ^{t}(X'X)^{-1}\ell +\ell ^{t}DD^{t}\ell \\&={\mathsf {Var}}\left(\ell ^{t}{\widehat {\beta }}\right)+(D^{t}\ell )^{t}(D^{t}\ell )&&\sigma ^{2}\ell ^{t}(X'X)^{-1}\ell ={\mathsf {Var}}\left(\ell ^{t}{\widehat {\beta }}\right)\\&=\operatorname {Var} \left(\ell ^{t}{\widehat {\beta }}\right)+\|D^{t}\ell \|\\&\geqslant {\mathsf {Var}}\left(\ell ^{t}{\widehat {\beta }}\right)\end{aligned}}$

W tym wypadku, równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $D^{t}\ell =0.$ Zachodzi wówczas

${\begin{aligned}\ell ^{t}{\tilde {\beta }}&=\ell ^{t}\left(((X'X)^{-1}X'+D)Y\right)&&{\text{ }}\\&=\ell ^{t}(X'X)^{-1}X'Y+\ell ^{t}DY\\&=\ell ^{t}{\widehat {\beta }}+(D^{t}\ell )^{t}Y\\&=\ell ^{t}{\widehat {\beta }}&&D^{t}\ell =0\end{aligned}}$

Oznacza to, że równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy

$\ell ^{t}{\tilde {\beta }}=\ell ^{t}{\widehat {\beta }},$

co implikuje jedyność estymatora najmniejszych kwadratów (OLS) jako estymatora BLUE.

Bibliografia

• N.H. Bingham, J.M. Fry, Regression: Linear Models in Statistics, Springer Undergraduate Mathematics Series, 2010.
• A. Sen, M. Srivastava, Regression Analysis Theory, Methods, and Applications, Springer-Verlag, New York, 1990.