Przejdź do zawartości

Symetria środkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Obraz figury F w symetrii środkowej S o środku w punkcie O: F1 = SO(F)

Symetria środkowa o środku P (symetria względem punktu P) – odwzorowanie geometryczne SP prostej, płaszczyzny lub przestrzeni takie, że SP(Q) = R wtedy i tylko wtedy, gdy punkt P, nazywany środkiem symetrii środkowej, jest środkiem odcinka QR. Punkty Q i R nazywa się punktami symetrycznymi względem środka symetrii P.
W prostokątnym układzie współrzędnych symetrię środkową można opisać wzorem analitycznym[1]:

Środek symetrii figury geometrycznej

[edytuj | edytuj kod]

Figurę geometryczną F, która jest swoim obrazem w symetrii środkowej SP (SP(F) = F) nazywa się figurą geometryczną środkowo symetryczną (lub mówi się, że figura F ma środek symetrii). Punkt P jest środkiem symetrii figury F[2]. Figura geometryczna ograniczona ma co najwyżej jeden środek symetrii.

Własności

[edytuj | edytuj kod]
  • Jedynym punktem stałym symetrii środkowej jest jej środek.
  • Na płaszczyźnie symetrie środkowe pokrywają się z obrotami dookoła punktu o kąt półpełny.
  • Symetrie środkowe pokrywają się także z jednokładnościami o skali równej -1[3].
  • Symetria środkowa na płaszczyźnie jest złożeniem dwóch symetrii osiowych o osiach przecinających się w środku symetrii pod kątem prostym
  • W przestrzeni, symetria środkowa jest złożeniem trzech symetrii płaszczyznowych, których płaszczyzny przechodzą przez środek symetrii i są wzajemnie prostopadłe
  • Każda symetria środkowa na płaszczyźnie jest izometrią parzystą, zaś w przestrzeni izometrią nieparzystą
  • Symetria środkowa jest inwolucją tzn. jest identyczna z odwzorowaniem odwrotnym do niej
  • Złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją.
  • Złożenie trzech symetrii środkowych jest symetrią środkową.
  • Niezmienniki symetrii środkowej: kierunek wektora, długość wektora, orientacja płaszczyzny

Zobacz też

[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. P.S. Modienow, A.S. Parchomienko: Przekształcenia geometryczne. 1967, s. 50.
  2. środek symetrii, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-12].
  3. symetria środkowa, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2022-03-12].