Parkietaż

Parkietaż, kafelkowanie lub tesselacja^[1] – pokrycie płaszczyzny wielokątami przylegającymi i nie zachodzącymi na siebie^[2]. Można rozpatrywać parkietaże części płaszczyzny oraz powierzchni, które nie są płaskie (np. parkietaże sfery^[3], np. kopuła geodezyjna). Można także badać parkietaże przestrzeni trójwymiarowej i przestrzeni wymiarów wyższych. Nie jest konieczne ograniczanie się do przestrzeni euklidesowych^[4]. W praktyce (parkietaż chodnika na zdjęciu) elementy parkietażu nie muszą być wielokątami.

Parkietaże często pojawiają się w architekturze (np. Alhambra) i twórczości plastycznej (np. Maurits Cornelis Escher).

Typy parkietaży płaszczyzny

Parkietaż okresowy: Istnieje dla niego grupa przekształceń płaszczyzny przeprowadzająca jego elementy na siebie.
Parkietaż foremny: Składa się z przystających wielokątów foremnych.
Parkietaż regularny: Parkietaż, w którego każdym wierzchołku spotyka się taka sama grupa figur (z dokładnością do obrotu).

Cechą dobrze charakteryzującą parkietaż regularny jest liczba i rodzaj wielokątów stykających się w danym wierzchołku. Jeśli w wierzchołkach spotykają się: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny i kwadrat, to taki parkietaż jest typu (3, 4, 6, 4). Kolejność liczb odczytuje się zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Skrócenie zapisu osiąga się przez zapis potęgowy: jeśli liczba $k$ wystąpi $n$ razy po kolei, to zapisuje się to symbolem $k^{n}.$

Rodzaje parkietaży

Okresowe parkietaże foremne regularne (platońskie): Istnieją tylko trzy takie parkietaże: $6^{3},\,4^{4},\,3^{6}.$

Parkietaż $3^{6}$
Parkietaż $4^{4}$
Parkietaż $6^{3}$

Okresowe parkietaże półforemne regularne (archimedesowskie, półforemne): Istnieje tylko osiem takich parkietaży: $(3^{4},6),\ (3^{3},4^{2}),\ (4,8^{2}),\ (4,6,12),\ (3,4,6,4),\ (3^{2},4,3,4),\ (3,12^{2}),\ (3,6,3,6).$ Z tych samych wielokątów można budować różne parkietaże.

Parkietaż $(3^{4},6)$
Parkietaż $(3^{3},4^{2})$
Parkietaż $(4,8^{2})$
Parkietaż $(4,6,12)$
Parkietaż $(3,4,6,4)$
Parkietaż $(3^{2},4,3,4)$
Parkietaż $(3,12^{2})$
Parkietaż $(3,6,3,6)$

Okresowe parkietaże półforemne nieregularne: Przykładem jest parkietaż Johnsona, który ma dwa rodzaje wierzchołków: $3^{6}$ oraz $(3^{2},4,12).$

Parkietaż o wierzchołkach typu $3^{6}$ oraz $(3^{2},4,12)$

Okresowe parkietaże nieregularne

Przykładem może być parkietaż złożony z tylko jednego pięciokąta (potocznie zwanego „sfinksem”). Wielokąt ten jest na razie jedynym znanym pięciokątem, który można podzielić na 4 pięciokąty wzajemnie przystające do siebie i zarazem podobne do pięciokąta wyjściowego.

Parkietaże nieokresowe

Przykładem jest parkietaż Pearsona zbudowany z dwóch typów złotych deltoidów: wypukłego (kąty: 72°, 72°, 72°, 144°) oraz wklęsłego (kąty: 36°, 36°, 72°, 216°). Parkietażami tego typu są także parkietaże Penrose’a.

Przykład parkietażu Penrose'a

Zobacz też

Teselacja (w grafice komputerowej)
Diagram Woronoja
Złożenie Miura

Przypisy

↑ Za ang. tessellation, z późnołac. tessellatus: od tessellare, wykładać tesserami; z łac. tessella, zdr. od tessera.
↑ Coxeter, op. cit., s. 69
↑ Berger, op. cit., tłum. ros. 1984, s. 38-47
↑ Wilhelm Magnus, op. cit.

Bibliografia

Coxeter H. S. M.: Wstęp do geometrii dawnej i nowej. Warszawa: PWN, 1967.
Marcel Berger: Géométrie. Cz. 1. Paris: Nathan, 1977.
Grünbaum B., Shephard G. C.: Tilings and Patterns. New York: W. H. Freeman & Co., 1987. ISBN 0-7167-1193-1.
IV : Tessellations and Honeycombs. W: Coxeter H. S. M.: Regular Polytopes. Dover: 1973. ISBN 0-486-61480-8.
Wilhelm Magnus: Noneuclidean tesselations and their groups. Dover: Academic Press, 1974. ISBN 978-0-12465450-1.
Никулин В. В., Шафаревич И. Р.: Геометрия и группы. Москва: Наука, 1983.
Jacek Świątkowski: O bryłach i parkietażach platońskich. msn.uph.edu.pl/smp/. [dostęp 2016-04-21]. [zarchiwizowane z tego adresu (2016-04-21)]. (pol.).

Linki zewnętrzne

Roger Penrose: A is for Aperiodic Tiles. Oxford University Mathematical Institute, 2022-08-20. [dostęp 2023-05-29]. (ang.).

[1] Za ang. tessellation, z późnołac. tessellatus: od tessellare, wykładać tesserami; z łac. tessella, zdr. od tessera.

[2] Coxeter, op. cit., s. 69

[3] Berger, op. cit., tłum. ros. 1984, s. 38-47

[4] Wilhelm Magnus, op. cit.

[1]

[2]

[3]

[4]