Minor

Minor – wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład

Niech dana będzie macierz

$A={\begin{bmatrix}1&3&4&2\\0&3&1&1\\7&1&3&4\end{bmatrix}}$

typu $3\times 4$ nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru $I=\{1,3\}$ oraz kolumn o indeksach ze zbioru $J=\{1,4\}$ otrzymuje się minor równy

${\begin{vmatrix}1&\Box &\Box &2\\\Box &\Box &\Box &\Box \\7&\Box &\Box &4\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2\\7&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 7=4-14=-10.$

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ $I\neq J.$ Minorem głównym macierzy $A$ jest na przykład minor

${\begin{vmatrix}3&1\\1&3\end{vmatrix}}=8$

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach $2$ oraz $3.$

Wiodącymi minorami głównymi macierzy $A$ są (w rosnącym porządku stopni):

${\begin{vmatrix}1\end{vmatrix}}=1,\quad {\begin{vmatrix}1&3\\0&3\end{vmatrix}}=3,\quad {\begin{vmatrix}1&3&4\\0&3&1\\7&1&3\end{vmatrix}}=-55.$

Definicja

Dla danej macierzy $A$ typu $m\times n$ minorem stopnia $k,$ gdzie $k\leqslant \min(m,n)$ nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia $k$ otrzymanej z macierzy $A$ poprzez wykreślenie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów $I$ wierszy o długości $k$ oraz podciągu indeksów $J$ kolumn o długości $k$ z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego $\{1,\dots ,m\}\times \{1,\dots ,n\}.$ Tak wybrany zbiór indeksów $I=\{i_{1},\dots ,i_{k}\}\times \{j_{1},\dots ,j_{k}\}$ służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy $A(I\times J).$

Jeżeli $I=J$ mają po $k$ elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich $k$ w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia $k.$ Minor główny stopnia $k,$ z którego wykreślono ostatnie $m-k$ wierszy i $n-k$ kolumn, a więc tak, by $I=J=\{1,2,\dots ,k\},$ nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia $k.$

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się: $(A_{i}),$ $(A^{a}),$ $(A_{i}A_{j})=-(A_{j}A_{i}),$ $(A^{a}A^{b})=-(A^{b}A^{a}),$ $(A_{i}A_{j}A_{k}),$ $(A^{a}A^{b}A^{c}),$ itd., gdzie $(A_{i})$ są kolumnami, $(A^{a})$ wierszami macierzy $(A_{i}^{a}),$ a $(A_{i}A_{j})$ jest iloczynem mieszanym.

Własności

• Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie $1,1.$
• Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu $r>0$ nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia $r,$ zaś każdy minor stopnia wyższego od $r$ tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
• Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) $A$ jest
  • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
  • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
• Dla danej macierzy $m\times n$ można wybrać ${\tbinom {n}{k}}{\tbinom {m}{k}}$ minorów stopnia $k$ (gdzie ${\tbinom {\cdot }{\cdot }}$ oznacza symbol Newtona).
• Macierz typu $m\times n$ ma $\min(m,n)$ wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia $n$ ma ich dokładnie $n.$

Zobacz też

• dopełnienie algebraiczne
• rozwinięcie Laplace’a