Macierz przekształcenia liniowego – macierz będąca wygodnym zapisem we współrzędnych przekształcenia liniowego dwóch skończenie wymiarowych przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem z ustalonymi bazami. Dzięki temu, że mnożeniu macierzy oraz mnożeniu wektorów odpowiada składanie przekształceń i obliczanie wartości przekształcenia na wspomnianym wektorze, teoria macierzy(inne języki) staje się wygodnym językiem opisu przekształceń (w tym endomorfizmów) liniowych wyżej opisanych przestrzeni; jeśli nie wskazano żadnych baz, to każdą macierz o elementach z ciała można traktować jako przekształcenie liniowe między dwiema przestrzeniami współrzędnych.
Niech
i
będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem odpowiednio z bazami
oraz
zaś
będzie przekształceniem liniowym. Macierzą przekształcenia
w bazach
nazywa się taką macierz
typu
o współczynnikach z danego ciała, że dla każdego
zachodzi
![{\displaystyle \mathrm {T} (\mathbf {a} _{j})=\sum _{i=1}^{m}t_{ij}\mathbf {b} _{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f43b701f86c483d6876ba961e5cbd0a8844fb6a)
tzn. w
-tej kolumnie macierzy
stoją współrzędne wektora
w bazie
Macierz przekształcenia
w bazach
będzie oznaczana także symbolem
- Uwaga: w dalszej części artykułu wszystkie przestrzenie liniowe oraz macierze są zbudowane nad ustalonym ciałem
![{\displaystyle K.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bb0e178e42abf16ef4e4c0b0f22aa235ad6e6e5)
- Odpowiedniość między przekształceniami liniowymi i ich macierzami
Zobacz też: izomorfizm.
Przyporządkowanie każdemu przekształceniu liniowemu
jego macierzy
zadaje izomorfizm liniowy przestrzeni przekształceń liniowych
oraz przestrzeni macierzy
Liniowość wynika wprost z własności działań na macierzach,
![{\displaystyle \mathrm {M} (\mathrm {S} +\mathrm {T} )_{A}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {S} )_{A}^{B}+\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0118ffc683b93a326b420769e68686c92ae6537)
![{\displaystyle \mathrm {M} (c\mathrm {T} )_{A}^{B}=c\mathrm {M} (\mathrm {T} )_{A}^{B},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a794f28bb1b56408e01dea8742d52f84f15cb5a)
a ponadto każde przekształcenie liniowe
jest zadane jednoznacznie przez podanie wartości na bazie, tzn.
Stąd odwzorowanie przyporządkowujące przekształceniom liniowym ich macierze jest wzajemnie jednoznaczne. Wynika stąd w szczególności, że jeśli
oraz
to
- Mnożenie macierzy a obraz wektora w przekształceniu
Jeśli wektor
ma współrzędne
w bazie
zaś wektor
ma współrzędne
w bazie
przy czym
to
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}t_{11}&\dots &t_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\t_{m1}&\dots &t_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{m}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80344bdae602bec6214878cd9a4d6e4e8f288c42)
co można zapisać
gdzie
są macierzami jednokolumnowymi (tzw. wektorami kolumnowymi) odpowiadającymi wektorom
[a]
- Zamiana współrzędnych i jej macierze
W szczególnym przypadku, jeśli
są bazami przestrzeni
i macierz
gdzie
jest przekształceniem identycznościowym, to jeśli wektor
ma współrzędne
w bazie
zaś
są jego współrzędnymi w bazie
to
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}c_{11}&\dots &c_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&\dots &c_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fc06af9e914c964d99fee8f5dc8d56261733733)
tzn.
gdzie
są macierzami odpowiadającymi wektorom współrzędnych
jw., co oznacza, że mnożenie przez
zamienia współrzędne wektora
w bazie
na współrzędne w bazie
Stąd też macierz
nazywa się macierzą zamiany współrzędnych (bądź macierzą przejścia) od
do
Macierz
zamiany współrzędnych od
do
dana jest jako jej macierz odwrotna
- Mnożenie macierzy a składanie przekształceń
Jeśli
są przestrzeniami liniowymi odpowiednio z bazami
a
i
są przekształceniami liniowymi, to
[b]
Wynika stąd, że jeśli
jest przekształceniem liniowym, układy
są bazami
układy
są bazami
oraz jeśli
i
są macierzami zamiany współrzędnych odpowiednio z
do
i z
do
to
[c]
- Rząd macierzy a rząd przekształcenia
Osobny artykuł: rząd.
Jeśli
jest przekształceniem liniowym, to dla każdej bazy
przestrzeni
i każdej bazy
przestrzeni
zachodzi
![{\displaystyle \mathrm {r} (\mathrm {T} )=\mathrm {r} \left(\mathbf {T} _{A}^{B}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cb8d2527eabb45452e6f5141a3966771219113c)
gdyż jeśli
to przyporządkowanie wektorowi przestrzeni
jego współrzędnych w bazie
zadaje izomorfizm
przy którym
przechodzi na podprzestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy
Niech dane będą przestrzenie liniowe
oraz
(nad ciałem liczb rzeczywistych) oraz przekształcenie liniowe
zadane wzorem
![{\displaystyle \mathrm {T} {\big (}[a,b]{\big )}=[a,2b,a+b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb69c18e63cd37134d777660a579834da9d63a2b)
w bazach standardowych. Macierz
przekształcenia
w bazach
oraz
jest postaci
![{\displaystyle \mathbf {T} _{A}^{B}={\begin{bmatrix}\;\;\,2&\;\;\,3\\-2&\;\;\,3\\\;\;\,2&-6\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c88d08b8c32e86c459074cdc8dd1b778fa95b1b)
gdyż wektory bazowe
przechodzą odpowiednio na wektory
oraz
zaś ich współrzędne w bazie
mają postać
![{\displaystyle [2,0,2]=2[1,1,1]-2[1,1,0]+2[1,0,0]=[2,-2,2]_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f84c5046b68011ffa37e864c49d8434f8bc9aebf)
oraz
![{\displaystyle [0,6,3]=3[1,1,1]+3[1,1,0]-6[1,0,0]=[3,3,-6]_{B}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde59c695e3eb126489b622bcf20cef9b7e4b217)
Wartość
w bazie
na wektorze
który ma w
współrzędne
jest równa
tzn.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}\;\;\,2&\;\;\,3\\-2&\;\;\,3\\\;\;\,2&-6\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3\\0{,}1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\;\;\,6{,}3\\-5{,}7\\\;\;\,5{,}4\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357d5233f6cd2ec035dc137c8848f6d07bda235b)
Przekształcenie liniowe
skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej
nazywa się endomorfizmem (liniowym), jego macierzą w bazie
jest
Wprost z definicji endomorfizmów wynika, że ich macierze są kwadratowe.
Jeśli
są bazami
zaś
oraz
to
![{\displaystyle \mathbf {B} =\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{B}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {id} \circ \mathrm {E} \circ \mathrm {id} )_{B}^{B}=\mathrm {M} (\mathrm {id} _{V})_{A}^{B}\mathrm {M} (\mathrm {E} )_{A}^{A}\mathrm {M} (\mathrm {id} )_{B}^{A}=\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {AC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1320f94e63421458e77f83e140121f022032f975)
gdzie
jest macierzą zamiany współrzędnych z
do
co wynika z ogólnej równości przedstawionej w Mnożenie macierzy a składanie przekształceń. Własność ta jest podstawą następującej definicji: dowolne macierze
dla których istnieje macierz odwracalna
spełniająca równość,
![{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {C} ^{-1}\mathbf {AC} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72a520c357a2eea343bfa21808d8a7e1af08d87)
nazywa się macierzami podobnymi. Macierze te są podobne wtedy i tylko wtedy, gdy są macierzami tego samego endomorfizmu (co najwyżej w różnych bazach).
Do stwierdzenia podobieństwa macierzy można wykorzystać rząd, wyznacznik i ślad, które nie ulegają zmianie przy endomorfizmach – wielkości te zawiera się zwykle w wielomianie charakterystycznym opisującym dany endomorfizm. Postać i rodzaj endomorfizmu można z kolei uzyskać badając jego wektory i wartości własne. Niektóre endomorfizmy mają w pewnych bazach szczególnie prostą postać, jaką jest macierz diagonalna, czyli przyjmująca niezerowe wartości wyłącznie na głównej przekątnej – nazywa się je diagonalizowalnymi, przy czym elementami na przekątnej macierzy są wartości własne tego endomorfizmu.
Choć nie wszystkie macierze kwadratowe są diagonalizowalne, to istnieje szersza od nich klasa macierzy Jordana (czyli macierzy, które dają się sprowadzić do postaci Jordana), dla których orzeczenie, czy dane macierze w postaci Jordana są podobne jest wyjątkowo łatwe. Macierze te, podobnie jak macierze diagonalne, łatwo się potęguje. Twierdzenie Jordana mówi z kolei, że dla każdego endomorfizmu przestrzeni liniowej nad ciałem algebraicznie domkniętymi (np. liczbami zespolonymi) istnieje taka baza, w której macierz tego endomorfizmu ma postać Jordana. Ogólniejsze twierdzenie Frobeniusa umożliwia określenie podobieństwa dowolnych dwóch macierzy kwadratowych za cenę badania pierścienia wielomianów nad ustalonym ciałem, zamiast samego ciała. Wszystkie te twierdzenia są wnioskami z twierdzenia strukturalnego dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych.
Podobne narzędzia wykorzystuje się dla przestrzeni nieskończenie wymiarowych, jednak zamiast zbioru jego wartości własnych (nazywanego widmem punktowym bądź spektrum punktowym) bada się jego pełne widmo (spektrum). Uogólnieniem diagonalizacji są różnorodne twierdzenia spektralne.
- ↑ Z definicji macierzy przekształcenia wynika
- ↑ Przyjmując oznaczenia
oraz
zachodzi
tzn.
skąd wynika teza.
- ↑ Wynika to z równości