Hiperboloida
![]() Hiperboloida jednopowłokowa |
![]() powierzchnia stożkowa pomiędzy |
![]() Hiperboloida dwupowłokowa |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/dc/Ciechanow_water_tower.jpg/220px-Ciechanow_water_tower.jpg)
Hiperboloida – nieograniczona, nierozwijalna powierzchnia drugiego stopnia (kwadryka), powstała przez obrót hiperboli wokół osi symetrii hiperboli rozłącznej z nią (hiperboloida jednopowłokowa) lub osi prostopadłej do poprzedniej, przechodzącej przez oba wierzchołki hiperboli (hiperboloida dwupowłokowa), a także każda otrzymana z takiej przez przekształcenie afiniczne przestrzeni[1]. Każda hiperboloida ma środek symetrii oraz co najmniej trzy osie i trzy płaszczyzny symetrii.
Równania hiperboloidy
[edytuj | edytuj kod]Można ją opisać wzorem
- (hiperboloida jednopowłokowa)
lub
- (hiperboloida dwupowłokowa).
Równanie hiperboloidy można sparametryzować poprzez funkcję daną wzorem:
- (dla hiperboloidy jednopowłokowej)
lub
- (dla hiperboloidy dwupowłokowej).
Obie hiperboloidy są asymptotyczne do powierzchni stożka o równaniu
Szczególne przypadki
[edytuj | edytuj kod]Hiperboloidę obrotową otrzymuje się tylko gdy W przeciwnym razie osie symetrii są jednoznacznie określone (z dokładnością do zamiany osi x z osią y).
Hiperboloida jednopowłokowa zwana też hiperboloidą hiperboliczną ma ujemną krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Implikuje to, że każda powierzchnia styczna do niej zawiera dwie proste, leżące w hiperboloidzie – hiperboloida ta jest więc powierzchnią prostokreślną.
Hiperboloida dwupowłokowa zwana hiperboloidą eliptyczną ma dodatnią krzywiznę Gaussa w każdym punkcie. Dlatego jest powierzchnią wypukłą w tym sensie, że powierzchnia styczna w każdym punkcie przecina tę powierzchnię tylko w punkcie styczności.
Zastosowanie kształtu
[edytuj | edytuj kod]W XIX wieku kształt hiperboloidy obrotowej nadawano panoramom malarskim dla spotęgowania efektu zacierania się granicy między powierzchnią płótna a przestrzenią przed nim. Jednym z przykładów takiego zastosowania jest Panorama Racławicka. Także koła zębate przekładni hipoidalnych mają kształt hiperboloidy dwupowłokowej, a jej nazwa prawdopodobnie powstała ze skrótu: hiperboloidalna > hipoidalna.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ hiperboloida, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-09] .
Linki zewnętrzne
[edytuj | edytuj kod]- Hiperboloidy. arch.designcommunity.com. [zarchiwizowane z tego adresu (2011-07-09)]. (ang.)
- Eric W. Weisstein , Hyperboloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).