Funkcja półciągła
Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d2/Lower_semi.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f0/Upper_semi.png)
Definicja formalna
[edytuj | edytuj kod]Niech będzie przestrzenią metryczną, oraz niech dana będzie funkcja
Funkcja jest:
- półciągła z dołu w punkcie gdy
- półciągła z góry w punkcie gdy
Funkcja jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru
Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi
a zatem ciągłości funkcji w punkcie Z własności granic wynika, że jest półciągła z góry w wtedy i tylko wtedy, gdy jest półciągła z dołu w
Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.
Warunki równoważne
[edytuj | edytuj kod]Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji w punkcie Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.
- jeśli oraz to
- jeśli to
- jeśli jest punktem skupienia przestrzeni to
- dla każdego istnieje takie że
Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.
Niech będzie przestrzenią topologiczną oraz Funkcja
jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie gdy dla każdego istnieje takie otoczenie otwarte punktu że (odpowiednio: ) dla każedgo
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
- Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
- Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
- Twierdzenie Baire’a[1]: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Funkcja dana wzorem
- jest półciągła z góry w
- Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
- Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
- Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.
Przypisy
[edytuj | edytuj kod]Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 58–63.