Baza Schaudera

Baza Schaudera – ciąg $(x_{n})$ elementów przestrzeni Banacha $X$ o tej własności, że dla każdego elementu $x$ przestrzeni $X$ istnieje dokładnie jeden taki ciąg skalarów $(a_{n}),$ że

x=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n},

przy czym powyższy szereg zbieżny jest w sensie normy przestrzeni $X$ (mocna zbieżność). Nie każda przestrzeń Banacha ma bazę Schaudera – Per Enflo podał przykład ośrodkowej przestrzeni Banacha, która nie ma bazy Schaudera^[1]. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska polskiego matematyka, Juliusza Schaudera, który podał konstrukcję bazy przestrzeni $C[0,1]$ funkcji ciągłych na przedziale jednostkowym.

Własności

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_{n})_{n=1,2,3,\dots }.$ Jeżeli $x=\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n},$ to funkcjonał

\||x\||=\sup \left\{\sum _{k=1}^{n}\|a_{k}x_{k}\|:n\in \mathbb {N} \right\}

jest normą oraz $\|x\|\leqslant |\!\|x|\!\|.$ Można udowodnić, że norma ta jest zupełna oraz, na mocy twierdzenia o odwzorowaniu otwartym, równoważna wyjściowej normie przestrzeni $X.$

Kryterium Grünbauma

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha. Ciąg $(x_{n})_{n=1,2,3,\dots }$ punktów p. $X$ jest bazą Schaudera wtedy i tylko wtedy, gdy

$x_{n}\neq 0,\,n\in \mathbb {N} ,$
${\overline {\mbox{lin}}}\{x_{n}:n\in \mathbb {N} \}=X,$
istnieje taka liczba $K>0,$ że dla każdego ciągu skalarów $(a_{n})_{n=1,2,3,\dots }$ oraz dla każdych takich liczb naturalnych $n$ i $m,$ że $n<m$ spełniona jest nierówność

\left\|\sum _{k=1}^{n}a_{k}x_{k}\right\|\leqslant K\left\|\sum _{k=1}^{m}a_{k}x_{k}\right\|.

Przykłady

Ciąg $(e_{n})_{n=1,2,3,\dots },$ gdzie $e_{n}(n)=1$ oraz $e_{n}(m)=0$ dla $m\neq n$ jest bazą Schaudera (nazywaną często bazą kanoniczną) dla przestrzeni c₀, ℓ_p oraz przestrzeni Jamesa $J_{p}$ przy $1\leqslant p<\infty$ (przestrzeń $J_{p}$ jest izomorficzna z $\ell _{p}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $p=1$ ). Ciąg $(e_{n})_{n=0,1,2,\dots },$ gdzie $e_{0}=(1,1,1,\dots ),$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni c.
Jeżeli $X$ jest ośrodkową przestrzenią Hilberta, to jej baza ortonormalna jest również jej bazą Schaudera.
Twierdzenie Schaudera: układ Haara jest bazą Schaudera przestrzeni L_p dla $1\leqslant p<\infty .$
Twierdzenie Schaudera: układ Schaudera w przedziale $[a,b]$ stanowi bazę Schaudera przestrzeni $C[a,b].$

Rodzaje baz Schaudera

Bazy Schaudera mogą mieć dodatkowe własności, które w pewnym stopniu opisują geometrię rozważanej przestrzeni Banacha. Niech $(e_{n})$ będzie bazą Schaudera przestrzeni Banacha $E.$ Baza ta jest nazywana

ściągającą (ang. shrinking), gdy układ funkcjonałów $(e_{n}^{*})$ stowarzyszonych z tą bazą jest bazą Schaudera przestrzeni sprzężonej $E^{*};$
ograniczenie zupełną (ang. boundedly complete), gdy dla każdego ciągu skalarów $(a_{n}),$ dla którego istnieje taka stała $M>0,$ iż $\|\textstyle \sum _{k=1}^{n}a_{n}{\big \|}<M$ dla każdej liczby naturalnej $n$ szereg $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}$ jest zbieżny w $E;$
bezwarunkową (ang. unconditional), gdy każdy szereg zbieżny $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}e_{n}$ jest bezwarunkowo zbieżny.

Każda przestrzeń Banacha mająca bazę ograniczenie zupełną jest izomorficzna z przestrzenią sprzężoną pewnej przestrzeni Banacha. Przykładami baz bezwarunkowych są kanoniczne bazy $(e_{n})$ przestrzeni $c_{0}$ i $\ell _{p}(1\leqslant p<\infty ).$ Jeżeli $K$ jest taką zwartą przestrzenią metryczną, że $C(K)$ nie jest izomorficzne z $c_{0},$ to $C(K)$ nie ma bazy bezwarunkowej.

Każda przestrzeń Banacha z bazą Schaudera jest ośrodkowa, przy czym ośrodkiem jest zbiór wszystkich kombinacji liniowych elementów bazy Schaudera o współczynnikach wymiernych.

W.B. Johnson i H.P. Rosenthal udowodnili, że każda ośrodkowa przestrzeń Banacha $X$ zawiera taką podprzestrzeń $Y,$ że przestrzeń ilorazowa $X/Y$ ma bazę Schaudera^[2].

Układy biortogonalne

Niech $X$ będzie przestrzenią Banacha z bazą Schaudera $(x_{n}).$ Dla każdej liczby naturalnej $n,$ funkcjonał liniowy $x_{n}^{*}$ określony wzorem

\left\langle x_{n}^{*},\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}\right\rangle =a_{n}

jest ograniczony (ciągły). Dokładniej, funkcjonały $x_{n}^{*}$ spełniają warunek

\langle x_{n}^{*},x_{m}\rangle =\delta _{nm}

(zob. symbol Kroneckera). Ciąg funkcjonałów tej postaci, tzn. ciąg $(x_{n}^{*})$ nazywany jest ciągiem biortogonalnym (stowarzyszonym z bazą $(x_{n})$ ). Układ $(x_{n},x_{n}^{*})$ jest układem biortogonalnym w przestrzeni $X.$ Układy tego rodzaju znajdują szerokie zastosowanie głównie w teorii nieośrodkowych przestrzeni Banacha.

Przypisy

↑ P. Enflo, A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, „Acta Mathematica” 130 (1973), s. 309–317.
↑ W.B. Johnson and H.P. Rosenthal, On w*-basic sequences and their applications to the study of Banach spaces, „Studia Math.” 43 (1972), s. 77–92.

Bibliografia

M.M. Day, Normed linear spaces, Springer-Verlag, 1962.
JoramJ. Lindenstrauss JoramJ., LiorL. Tzafriri LiorL., Classical Banach Spaces I and II: Sequence Spaces; Function Spaces, Berlin [etc.]: Springer, 1996, ISBN 3-540-60628-9, OCLC 835840252 .
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, PWN, Warszawa 1989, s. 125–131.

[1] P. Enflo, A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, „Acta Mathematica” 130 (1973), s. 309–317.

[2] W.B. Johnson and H.P. Rosenthal, On w*-basic sequences and their applications to the study of Banach spaces, „Studia Math.” 43 (1972), s. 77–92.

[1]

[2]