Funkcja Liouville’a

Funkcja Liouville’a jest całkowicie multiplikatywną funkcją arytmetyczną wykorzystywaną w teorii liczb. Swoją nazwę nosi od nazwiska francuskiego matematyka, Josepha Liouville’a. Przyjmuje ona wartość $1,$ gdy jej argument ma parzyście wiele dzielników pierwszych (licząc z wielokrotnościami), a $-1,$ gdy ma nieparzyście wiele.

Definicja

Funkcja Liouville’a $\lambda \colon \mathbb {N} \to \{-1,1\}$ dla $n$ o rozkładzie na czynniki pierwsze $p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\cdot \ldots \cdot p_{k}^{e_{k}}$ jest zadana przez

$\lambda (n)=(-1)^{e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{k}}.$

Równoważnie, z wykorzystaniem funkcji pierwszej omega, możemy zdefiniować

$\lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.$

Wykorzystanie

Za pomocą funkcji Liouville’a można opisać równanie funkcyjne dla funkcji zeta Riemanna,

${\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},$

dla $\Re (s)>1,$ a także dla funkcji L Dirichleta,

${\frac {L(2s,\chi ^{2})}{L(s,\chi )}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)\chi (n)}{n^{s}}}$

na tym samym zbiorze.

Definiując funkcję sumującą Liouville’a $L(x)=\sum _{n\leqslant x}\lambda (n),$ z jej pomocą możemy zapisać równoważnie twierdzenie o liczbach pierwszych jako

$\lim _{x\to \infty }{\frac {L(x)}{x}}=0.$