Obraz siatki prostokątnej na kwadracie w przekształceniu dyfeomorficznym kwadratu na siebie. Intuicyjnie: przekształcenie to polega na zdeformowaniu siatki prostokątnej bez rozrywania i klejenia. Każda taka deformacja jest homeomorfizmem . Gdy deformacja ta jest funkcją klasy
C
1
{\displaystyle C^{1}}
Dyfeomorfizm – izomorfizm rozmaitości różniczkowych [1] bijektywne pomiędzy rozmaitościami różniczkowymi, które jest różniczkowalne oraz takie, iż odwzorowanie do niego odwrotne jest również różniczkowalne.
Niech
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
przestrzeniami unormowanymi oraz niech
D
{\displaystyle D}
niepustym , otwartym podzbiorem przestrzeni
X
.
{\displaystyle X.}
Przekształcenie
F
:
D
→
Y
{\displaystyle F\colon D\to Y}
dyfeomorfizmem , gdy
obraz
F
(
D
)
{\displaystyle F(D)}
Y
,
{\displaystyle Y,}
F
{\displaystyle F}
bijekcją ,
F
{\displaystyle F}
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
C
1
{\displaystyle C^{1}}
F
−
1
:
F
(
D
)
→
D
{\displaystyle F^{-1}\colon F(D)\to D}
funkcją odwrotną do
F
{\displaystyle F}
Z definicji wynika, że jeśli
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
F
−
1
{\displaystyle F^{-1}}
odwzorowaniami regularnymi .
Gdy
X
=
R
m
,
{\displaystyle X=\mathbb {R} ^{m},}
Y
=
R
k
,
{\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{k},}
zanurzeniami homeomorficznymi klasy
C
1
{\displaystyle C^{1}}
różniczce maksymalnego rzędu , których funkcja odwrotna jest klasy
C
1
{\displaystyle C^{1}}
W niektórych publikacjach od dyfeomorfizmu wymaga się, by był funkcją nieskończenie wiele razy różniczkowalną[2]
Niech
D
{\displaystyle D}
R
m
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}
Φ
=
(
φ
1
,
…
,
φ
m
)
:
D
→
R
m
{\displaystyle \Phi =(\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m})\colon D\to \mathbb {R} ^{m}}
jest przywiedlny , gdy istnieją takie
i
,
j
⩽
m
,
{\displaystyle i,j\leqslant m,}
φ
i
(
x
1
,
…
,
x
m
)
=
x
j
{\displaystyle \varphi _{i}(x_{1},\dots ,x_{m})=x_{j}}
(
x
1
,
…
,
x
m
)
∈
D
.
{\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{m})\in D.}
Dyfeomorfizmy przywiedlne znajdują zastosowanie w dowodzie twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a .
Funkcja
φ
:
(
a
,
b
)
→
(
α
,
β
)
{\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )}
jest dyfeomorfizmem, gdy jest taką bijekcją klasy
C
1
,
{\displaystyle C^{1},}
φ
′
(
t
)
≠
0
{\displaystyle \varphi '(t)\neq 0}
t
∈
(
a
,
b
)
{\displaystyle t\in (a,b)}
(por. definicję dla
X
=
Y
=
R
m
{\displaystyle X=Y=\mathbb {R} ^{m}}
φ
{\displaystyle \varphi }
zachowuje orientację (osi liczbowej ), jeśli
φ
′
>
0
{\displaystyle \varphi '>0}
i zmienia orientację w przeciwnym wypadku, tzn. gdy
φ
′
<
0.
{\displaystyle \varphi '<0.}
Prawdziwe jest następujące twierdzenie teorii hiperpowierzchni dla dyfeomorfizmów zachowujących orientację:
Twierdzenie Niech
G
{\displaystyle G}
R
n
,
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
Γ
:
[
a
,
b
]
→
G
{\displaystyle \Gamma \colon [a,b]\to G}
drogą kawałkami gładką oraz
φ
:
(
a
,
b
)
→
(
α
,
β
)
{\displaystyle \varphi \colon (a,b)\to (\alpha ,\beta )}
formy
Ω
∈
F
0
1
(
G
;
Y
)
{\displaystyle \Omega \in F_{0}^{1}(G;Y)}
∫
Γ
∘
φ
Ω
=
ε
(
φ
)
∫
Γ
Ω
,
{\displaystyle {}\,\int \limits _{\Gamma \circ \varphi }\Omega =\varepsilon (\varphi )\int \limits _{\Gamma }\Omega ,}
gdzie:
ε
(
φ
)
=
+
1
,
{\displaystyle \varepsilon (\varphi )=+1,}
φ
{\displaystyle \varphi }
ε
(
φ
)
=
−
1
,
{\displaystyle \varepsilon (\varphi )=-1,}
φ
{\displaystyle \varphi }
Złożenie dyfeomorfizmów jest dyfeomorfizmem. Automorfizm rozmaitości różniczkowej
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
grupę automorfizmów. Grupę tę oznacza się symbolem
Diff
(
M
)
.
{\displaystyle \operatorname {Diff} (M).}
Dyfeomorfizm biegunowy
Niech
B
=
(
0
,
+
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
⊂
R
2
.
{\displaystyle B=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\subset \mathbb {R} ^{2}.}
b
(
r
,
ϕ
)
=
(
r
⋅
cos
ϕ
,
r
⋅
sin
ϕ
)
{\displaystyle b(r,\phi )=(r\cdot \cos \phi ,r\cdot \sin \phi )}
przeprowadza
B
{\displaystyle B}
obszar
R
2
∖
{
(
x
,
0
)
∈
R
2
:
x
⩾
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\setminus \left\{(x,0)\in \mathbb {R} ^{2}:x\geqslant 0\right\}.}
współrzędne biegunowe . Jakobian tego przekształcenia
J
B
=
r
.
{\displaystyle J_{B}=r.}
Dyfeomorfizm sferyczny
Niech
S
=
(
0
,
+
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
×
(
0
,
π
)
⊂
R
3
.
{\displaystyle S=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times (0,\pi )\subset \mathbb {R} ^{3}.}
s
(
r
,
ϕ
,
θ
)
=
(
r
⋅
cos
ϕ
⋅
sin
θ
,
r
⋅
sin
ϕ
⋅
sin
θ
,
r
⋅
cos
θ
)
{\displaystyle s(r,\phi ,\theta )=\left(r\cdot \cos \phi \cdot \sin \theta ,\,r\cdot \sin \phi \cdot \sin \theta ,r\cdot \cos \theta \right)}
przeprowadza zbiór
S
{\displaystyle S}
R
3
∖
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
⩽
0
,
y
=
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.}
współrzędne sferyczne . Jakobian tego przekształcenia
J
S
=
r
2
sin
θ
.
{\displaystyle J_{S}=r^{2}\sin \theta .}
Dyfeomorfizm walcowy
Niech
W
=
(
0
,
+
∞
)
×
(
0
,
2
π
)
×
R
⊂
R
3
.
{\displaystyle W=(0,+\infty )\times (0,2\pi )\times \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{3}.}
w
(
ρ
,
ϕ
,
z
)
=
(
ρ
⋅
cos
ϕ
,
ρ
⋅
sin
ϕ
,
z
)
{\displaystyle w(\rho ,\phi ,z)=(\rho \cdot \cos \phi ,\rho \cdot \sin \phi ,z)}
przeprowadza
W
{\displaystyle W}
R
3
∖
{
(
x
,
y
,
z
)
∈
R
3
:
x
⩽
0
,
y
=
0
}
.
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\setminus \left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x\leqslant 0,y=0\right\}.}
współrzędne walcowe . Jakobian tego przekształcenia
J
W
=
ρ
.
{\displaystyle J_{W}=\rho .}
Niech
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
przestrzeniami Banacha ,
D
{\displaystyle D}
X
{\displaystyle X}
F
:
D
→
Y
{\displaystyle F\colon D\to Y}
C
1
.
{\displaystyle C^{1}.}
F
{\displaystyle F}
x
0
∈
D
{\displaystyle x_{0}\in D}
X
{\displaystyle X}
Y
,
{\displaystyle Y,}
otoczenie
U
⊆
D
{\displaystyle U\subseteq D}
x
0
,
{\displaystyle x_{0},}
F
|
U
{\displaystyle F|_{U}}
Prostym wnioskiem z twierdzenia o lokalnym dyfeomorfizmie jest fakt, iż odwzorowanie regularne przestrzeni Banacha jest odwzorowaniem otwartym. Twierdzenie to wykorzystywane jest także dla dowodu twierdzenia o funkcji uwikłanej .
![{\displaystyle \Gamma \colon [a,b]\to G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d5acb1993eb0784ac1e03f992518fce7b06bf6)
