Biegun (analiza zespolona)

Bieguny funkcji Gamma

Biegun funkcji meromorficznej $f(z)$ – taki punkt osobliwy tej funkcji $z=a,$ w którego otoczeniu $f(z)$ nie jest ograniczona, a ponadto:

$\lim \limits _{z\to a}f(z)=\infty .$

Dodatkowo, biegun ten jest rzędu $k$ jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu $a$ składa się z $k$ wyrazów (jeśli jest nieskończona to punkt $a$ jest punktem istotnie osobliwym).

Podstawowe własności

Jeśli punkt $a$ jest biegunem $m$-krotnym funkcji $f(z)$ to funkcja

$g(z)={\frac {1}{f(z)}}$

jest również meromorficzna i w punkcie $a$ posiada zero $m$-krotne. Również odwrotnie: jeśli punkt $a$ jest zerem $m$-krotnym funkcji $f(z)$ to funkcja $g(z)$ w punkcie $a$ posiada biegun $m$-krotny.

Przykłady

• Funkcja

$f(z)={\frac {1}{2-z}}+{\frac {1}{(z-1)^{2}}}$

w punkcie $z=1$ ma biegun rzędu 2, natomiast w punkcie $z=2$ ma biegun jednokrotny.

• Funkcja

$f(z)=\operatorname {tg} (z)$

w punktach $z=\pi (k-{\tfrac {1}{2}})$ ma bieguny rzędu 1.