Proces stochastyczny

Proces stochastyczny, proces losowy (gr. στοχαστικός (stochastikós) 'będący wynikiem domysłu') – rodzina zmiennych losowych, określonych na pewnej przestrzeni probabilistycznej o wartościach w pewnej przestrzeni mierzalnej. Ogólnie procesem stochastycznym nazywa się funkcję zależną od czasu, której wartości w każdym momencie czasowym są zmiennymi losowymi[1][2]. Najprostszym przykładem procesu stochastycznego jest wielokrotny rzut monetą: dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych (liczba rzutów), natomiast wartością funkcji dla danej liczby jest jeden z dwóch możliwych stanów losowania (zdarzenie), orzeł lub reszka. Nie należy mylić procesu losowego, którego wartości są zdarzeniami losowymi, z funkcją, która zdarzeniom przypisuje wartość prawdopodobieństwa ich wystąpienia (mamy wówczas do czynienia z rozkładem gęstości prawdopodobieństwa).

W praktyce dziedziną, na której zdefiniowana jest funkcja, jest najczęściej przedział czasowy (taki proces stochastyczny nazywany jest szeregiem czasowym) lub obszar przestrzeni (wtedy nazywany jest polem losowym). Jako przykłady szeregów czasowych można podać: fluktuacje giełdowe, sygnały, takie jak mowa, dźwięk i wideo, dane medyczne takie jak EKG i EEG, ciśnienie krwi i temperatura ciała, losowe ruchy takie jak ruchy Browna. Przykładami pól losowych są statyczne obrazy, losowe krajobrazy i układ składników w niejednorodnych materiałach.

Definicja

edytuj

Niech   będzie niepustym zbiorem, który będziemy dalej nazywać zbiorem indeksów,   będzie przestrzenią probabilistyczną oraz   będzie przestrzenią mierzalną. Rodzinę zmiennych losowych

 

to znaczy rodzinę funkcji  -mierzalnych nazywamy procesem stochastycznym. Przestrzeń   nazywamy przestrzenią fazową albo przestrzenią stanów procesu  

Często za zbiór   przyjmuje się przedział   lub zbiór liczb naturalnych, za   zbiór liczb rzeczywistych, a za   rodzinę borelowskich podzbiorów prostej.

Procesy stochastyczne, których zbiór indeksów jest przeliczalny nazywamy łańcuchami (zob. łańcuch Markowa).

Modyfikacje procesów stochastycznych

edytuj

Procesy stochastyczne   i   nazywamy (wzajemnymi) modyfikacjami, gdy dla każdego  

 

Modyfikację   procesu   nazywamy ciągłą, gdy dla każdego   trajektoria

 

jest ciągła.

Związek z wielowymiarową zmienną losową

edytuj

Oczywiście matematyczna definicja funkcji dopuszcza przypadek „funkcja ze zbioru   w   jest wektorem w  ”, więc wielowymiarowa zmienna losowa ma tę samą definicję, co proces stochastyczny. W praktyce jednak odróżnia się te terminy, rezerwując nazwę „proces stochastyczny” dla modeli zjawisk rozciągających się w czasie, gdzie każdy z elementów wektora opisuje jedną chwilę lub przedział czasowy. O wielowymiarowej zmiennej losowej mówi się natomiast częściej wtedy, gdy wszystkie elementy wektora opisują różne parametry w tej samej chwili czasowej.

Interesujące przypadki specjalne

edytuj

Przykłady

edytuj

Procesy stacjonarne

edytuj
Osobny artykuł: Proces stacjonarny.

Proces stochastyczny X(t) nazywamy procesem stacjonarnym (w wąskim sensie) jeżeli dla każdego   łączny rozkład   nie zależy od   Innymi słowy, właściwości takiego procesu nie zmieniają się przy przesunięciu osi czasu.

Proces stochastyczny X(t) nazywamy procesem stacjonarnym w szerszym sensie, jeżeli:

  1.  
  2.   jest stałe,
  3.   zależy tylko od różnicy t-s[3].

Konstruowanie procesów stochastycznych

edytuj

W aksjomatyzacji teorii prawdopodobieństwa środkami teorii miary, podstawowym zadaniem jest konstrukcja sigma-algebry zbiorów mierzalnych w przestrzeni wszystkich funkcji i zbudowanie na niej skończonej miary. W tym celu tradycyjnie używa się metody zwanej rozszerzeniem Kołmogorowa.

Rozszerzenie Kołmogorowa

edytuj

Rozszerzenie Kołmogorowa przebiega według następującego schematu: zakładając, że miara prawdopodobieństwa na przestrzeni wszystkich funkcji   istnieje, może być ona użyta do zdefiniowania rozkładu prawdopodobieństwa dla skończenie-wymiarowych zmiennych losowych   Teraz, z tego  -wymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa możemy uzyskać  -wymiarowe rozkład brzegowy dla   Istnieje oczywisty warunek zastosowania metody, mianowicie taki, że ten rozkład brzegowy musi być taki sam jak ten uzyskany z w pełni rozwiniętego procesu stochastycznego. Kiedy wyrazimy ten warunek w kategoriach gęstości rozkładów, rezultatem będzie równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego.

Twierdzenie o rozszerzeniu Kołmogorowa gwarantuje istnienie procesu stochastycznego z daną rodziną skończenie-wymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa spełniających warunek Chapmana-Kołmogorowa.

Czego rozszerzenie Kołmogorowa nie obejmuje

edytuj

W aksjomatyzacji Kołmogorowa, zbiory mierzalne są zbiorami, które mają prawdopodobieństwo, innymi słowy, zbiorami dla których pytania tak/nie mają probabilistyczną odpowiedź.

Rozszerzenie Kołmogorowa zaczyna się deklaracją, że mierzalne są wszystkie zbiory funkcji, gdzie skończenie wiele współrzędnych   leży w mierzalnych podzbiorach   Innymi słowy, jeśli na pytania tak/nie o   można uzyskać odpowiedź, biorąc co najwyżej skończoną liczbę współrzędnych, wtedy pytanie ma probabilistyczną odpowiedź.

W teorii miary, jeśli mamy przeliczalną rodzinę mierzalnych zbiorów, wtedy suma i przecięcia wszystkich tych zbiorów jest zbiorem mierzalnym. Dla naszych celów oznacza to, że te pytania tak/nie, które zależą od przeliczalnie wielu współrzędnych, mają probabilistyczną odpowiedź.

Rozszerzenie Kołmogorowa umożliwia konstruowanie procesów stochastycznych z ustalonymi skończenie-wymiarowymi rozkładami. Każde pytanie, które można zadać na temat ciągu, ma także probabilistyczną odpowiedź dla ciągów losowych. Z drugiej strony, pewne pytania o funkcje określone na ciągłej dziedzinie nie mają probabilistycznej odpowiedzi. Niestety większość problemów analizy matematycznej należy do tej kategorii, w szczególności:

  1. ograniczoność,
  2. ciągłość,
  3. różniczkowalność.

Wszystkie wymagają znajomości nieprzeliczalnie wielu wartości funkcji.

Jednym z rozwiązań jest zdefiniowanie procesu stochastycznego jako rozkładalnego. Innymi słowy, że istnieje policzalny zbiór współrzędnych   którego wartości definiują całą funkcję losową  

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj
  1. Adam Witczak: Procesy stochastyczne. finweb.pl, 2017-04-08. [dostęp 2021-07-12]. [zarchiwizowane z tego adresu (2021-01-26)]. (pol.).
  2. stochastyczne procesy, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2019-12-18].
  3. Eugene Wong: Procesy stochastyczne w teorii informacji i układach dynamicznych. Krzysztof Nowak (tłum.). Wyd. 1. Warszawa: WNT, 1976, s. 292.

Bibliografia

edytuj