Kryterium Jermakowa

Kryterium Jermakowa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych udowodnione przez W.P. Jermakowa.

Twierdzenie

Niech $f\colon [1;\infty )\to \mathbb {R}$ będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych $x,$ tj. $x\geqslant x_{0}$ dla pewnego $x_{0},$ spełniona jest nierówność

${\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\leqslant q<1,$

to szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych $x$ zachodzi nierówność

${\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\geqslant 1,$

to szereg ten jest rozbieżny.

Przykłady zastosowania

• Niech $r>0$ oraz

$f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln ^{1+r}(x)}}.$

Wówczas

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln ^{1+r}(x)}{x^{r}}}=0,$

a więc dla dostatecznie dużych $x$ wyrażenie to nie przekracza, na przykład, $q=1/2.$ Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln ^{1+r}(n)}}$

jest zbieżny.

• Niech

$f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln x\cdot \ln \ln x}}.$

Wówczas

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\infty ,$

a więc dla dostatecznie dużych $x$ wyrażenie to jest większe o $1.$ Oznacza to, że szereg

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n\cdot \ln \ln n}}$

jest rozbieżny.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.