Hyposykloide

Den røde kurven viser en hyposykloide med R/r = 4 og fremstiller en astroide.

Hyposykloide er en kurve som blir tegnet av et punkt på en sirkel som ruller på innsiden av en større sirkel. Hvis den ruller på utsiden av denne, vil det bevegte punktet beskrive en episykloide.

Bortsett fra at den rullende sirkelen vil rotere motsatt vei for hyposykloiden, er den matematiske beskrivelsen av de to kurvene den samme. Betegner man radius i den stasjonære sirkelen med R og tar r være radius i den bevegelige sirkelen, vil de kartesiske koordinatene (x,y) til punktet på denne mindre sirkelen være

${\begin{aligned}x(\theta )&=r(R/r-1)\cos \theta +r\cos(R/r-1)\theta \\y(\theta )&=r(R/r-1)\sin \theta -r\sin(R/r-1)\theta \end{aligned}}$

hvor vinkelen θ angir posisjonen til senteret i denne rullende sirkelen. Den er valgt slik at for θ = 0 er punket på den faste sirkelen i maksimal avstand R fra origo.

Kurven kan også gis en kompleks beskrivelse ved å innføre koordinaten z = x + iy. Det gir den kompakte formen

$z(\theta )=(R-r)e^{i\theta }+re^{-i(R/r-1)\theta }$

som følger fra Eulers formel. Minustegnet i den siste eksponentialfunksjonen skyldes at den bevegelige sirkelen roterer i motsatt retning av den rullende bevegelsen.

Når k = R/r er et heltall, er hyposykloiden en lukket kurve med k spisser. Den vil fremdeles være lukket når dette forholdet er et rasjonalt tall, men med mange flere spisser. I det generelle tilfellet hvor k er et irrasjonalt tall, er kurven ikke lukket og den vil fylle en del av planet innenfor den store sirkelen.

Eksempel

k = 2, sirklene utgjør et Tusi-par.

k = 3, deltoide

k = 4, astroide

Den enkleste hypoykloiden har k = 1 og er ikke noe annet enn det faste punktet (r,0). Mer interessant er tilfellet med k = 2, Da blir y(θ) = 0, mens x(θ) = 2r cosθ. Det betyr at hvis den rullende sirkelen beveger seg med konstant vinkelhastighet ω slik at vinkelen θ = ωt øker proporsjonalt med tiden t, vil det bevegelige punket på denne sirkelen beskrive den harmoniske oscillasjonen x(t) = R cosωt langs x-aksen som vist i animasjonen.

For det spesielle tilfellet der den faste sirkelen er dobbelt så stor som den rullende sirkelen, kan man derfor overføre en roterende bevegelse til en svingning langs en linje. Denne oppdagelsen kan føres tilbake til den persiske astronomen Nasir al-Din al-Tusi på 1200-tallet. Senere ble den benyttet av Kopernikus til å forklare detaljer i planetenes bevegelse.

Deltoide

For k = 3 tar hyposykloiden formen til en deltoide med tre spisser. Den er gitt ved den komplekse koordinaten

$z(\theta )=2re^{i\theta }+re^{-2i\theta }$

Her er z = x + iy. Ved å elemininere vinkelen θ fra de to relle koordinatene (x,y), er deltoidens ligning

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18r^{2}(x^{2}+y^{2})-27r^{4}=8r(x^{3}-3xy^{2})$

som viser at den er av fjerde grad.

Astroide

Når k = 4 har hyposykloiden fire spisser og kalles en astroide.. Den beskrives ved den komplekse ligningen

$z(\theta )=3re^{i\theta }+re^{-3i\theta }$

som gir de kartesiske koordinatene

${\begin{aligned}x(\theta )&=3r\cos \theta +r\cos 3\theta =4r\cos ^{3}\theta \\y(\theta )&=3r\sin \theta -r\sin 3\theta =4r\sin ^{3}\theta \end{aligned}}$

når man benytter de Moivres formel for de trigonometriske funksjonene. Det betyr at astroiden kan klassifiseres som en superellipse da dens kartesiske koordinater oppfyller ligningen

$x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$

med a = 4r. Strengt tatt er dette en symmetrisk subellipse da eksponenten er mindre enn 2 som definerer en standard ellipse.

Eksterne lenker

• Mathcurve, Hypocycloid, websider med mer detaljert informasjon