Duale bundel

In de wiskunde is de duale bundel een operatie op vectorbundels die het begrip van een duale vectorruimte uitbreidt.

Definitie

De duale bundel van een vectorbundel $\pi \colon E\to X$ is de vectorbundel $\pi ^{*}\colon E^{*}\to X$ waarvan de vezels de duale ruimtes zijn van de vezels van $E$ .

Op equivalente wijze kan $E^{*}$ worden gedefinieerd als de Hom-bundel $\mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),$ dat wil zeggen, als de vectorbundel van morfismen van $E$ naar de triviale lijnbundel $\mathbb {R} \times X\to X.$

Constructies en voorbeelden

Gegeven een lokale trivialisatie van $E$ met transitiefuncties $t_{ij},$ wordt een lokale trivialisatie van $E^{*}$ gegeven door dezelfde open overdekking van $X$ met transitiefuncties $t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}$ (de inverse van de transpositie). De duale bundel $E^{*}$ wordt vervolgens geconstrueerd met behulp van de vezelbundelconstructiestelling. Specifieke gevallen worden gegeven door de volgende:

• De duale bundel van een geassocieerde bundel is de bundel die hoort bij de duale representatie van de structuurgroep .
• De duale bundel van de raakbundel van een differentieerbare variëteit is de coraakbundel.

Eigenschappen

Als de basisruimte $X$ paracompact en Hausdorff is, dan is een reële vectorbundel $E$ van eindige rang isomorf met de duale vectorbundel $E^{*}$. Echter, net als voor vectorruimten is er geen natuurlijke keuze van een isomorfisme, tenzij $E$ voorzien is van een inwendig product .

De Hom-bundel $\mathrm {Hom} (E_{1},E_{2})$ van twee vectorbundels is canoniek isomorf met de tensorproductbundel $E_{1}^{*}\otimes E_{2}.$

Gegeven een morfisme $f\colon E_{1}\to E_{2}$ van vectorbundels over dezelfde ruimte bestaat er een morfisme $f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}$ tussen hun duale bundels (in de omgekeerde volgorde), vezelgewijs gedefinieerd als de transpositie van elke lineaire afbeelding $f_{x}\colon (E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.$ Zodoende definieert de dualebundelconstructie een contravariante functor van de categorie van vectorbundels en hun morfismen naar zichzelf.