Uit Wikipedia, de vrije encyclopedie
Gamma
Kansdichtheid
Verdelingsfunctie
Parameters
k
>
0
{\displaystyle k>0}
θ
>
0
{\displaystyle \theta >0}
Drager
x
∈
[
0
;
∞
)
{\displaystyle x\in [0;\infty )}
Kansdichtheid
x
k
−
1
exp
(
−
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
θ
k
{\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}}
Verdelingsfunctie
γ
(
k
,
x
/
θ
)
Γ
(
k
)
{\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}}
Verwachtingswaarde
k
θ
{\displaystyle k\theta }
Modus
(
k
−
1
)
θ
{\displaystyle (k-1)\theta \ }
k
≥
1
{\displaystyle \ k\geq 1}
Variantie
k
θ
2
{\displaystyle k\theta ^{2}}
Scheefheid
2
k
{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k\ }}}}
Kurtosis
6
k
{\displaystyle {\frac {6}{k}}}
Entropie
k
+
ln
θ
+
ln
Γ
(
k
)
{\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)}
+
(
1
−
k
)
ψ
(
k
)
{\displaystyle +(1-k)\psi (k)}
Moment-
(
1
−
θ
t
)
−
k
{\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}\ }
t
<
1
/
θ
{\displaystyle \ t<1/\theta }
Karakteristieke functie
(
1
−
θ
i
t
)
−
k
{\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}}
In de kansrekening en statistiek is de gamma-verdeling een continue kansverdeling , met twee parameters. De exponentiële verdeling , de chi-kwadraatverdeling en de Erlang-verdeling zijn speciale gevallen van de gamma-verdeling.
De kansdichtheid van de gamma-verdeling met vormparameter
k
{\displaystyle k}
θ
{\displaystyle \theta }
γ
(
k
,
θ
)
{\displaystyle \gamma (k,\theta )}
f
(
x
;
k
,
θ
)
=
1
θ
k
Γ
(
k
)
x
k
−
1
e
−
x
/
θ
a
l
s
x
>
0
{\displaystyle f(x;k,\theta )={\frac {1}{\theta ^{k}\,\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-x/\theta }\ \mathrm {als} \ x>0}
waarbij
Γ
(
k
)
{\displaystyle \Gamma (k)}
gammafunctie is.
Als
X
{\displaystyle X}
γ
(
k
,
θ
)
{\displaystyle \gamma (k,\theta )}
c
X
{\displaystyle cX}
γ
(
k
,
c
θ
)
{\displaystyle \gamma (k,c\theta )}
c
>
0
{\displaystyle c>0}
Als
X
1
,
…
,
X
n
{\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}
onderling onafhankelijk en gelijkverdeeld zijn volgens de exponentiële verdeling met parameter
λ
{\displaystyle \lambda }
X
1
+
…
+
X
n
{\displaystyle X_{1}+\ldots +X_{n}}
γ
(
n
,
1
/
λ
)
{\displaystyle \gamma (n,1/\lambda )}
De
γ
(
1
,
θ
)
{\displaystyle \gamma (1,\theta )}
exponentiële verdeling met parameter
λ
=
1
/
θ
{\displaystyle \lambda =1/\theta }
Als
X
{\displaystyle X}
γ
(
k
,
θ
)
{\displaystyle \gamma (k,\theta )}
2
X
/
θ
{\displaystyle 2X/\theta }
chi-kwadraatverdeling met
2
k
{\displaystyle 2k}
γ
(
k
,
2
)
{\displaystyle \gamma (k,2)}
2
k
{\displaystyle 2k}
De
γ
(
n
,
1
/
λ
)
{\displaystyle \gamma (n,1/\lambda )}
Erlang-verdeling met parameters
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
λ
{\displaystyle \lambda }
reëel en
n
{\displaystyle n}
geheel getal . De gamma-verdeling wordt vaak gebruikt wanneer er verschillende, onderling onafhankelijke, experimenten met een exponentiële verdeling in het spel zijn. Stel dat de wachttijd in minuten op de bus bij een halte een exponentiële verdeling met parameter
λ
=
10
{\displaystyle \lambda =10}
γ
(
5
,
1
10
)
{\displaystyle \gamma (5,{\tfrac {1}{10}})}
· 
· 