എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ച

ഇംഗ്ലീഷ് വിലാസം

https://ml.wikipedia.org/wiki/Exponential_growth

എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ച (പച്ച നിറത്തിൽ) എങ്ങനെ രേഖീയ (ചുവന്ന നിറത്തിൽ), ക്യൂബിക് (നീല നിറത്തിൽ) വളർച്ചകളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമായി കാണുന്നു എന്ന് ഈ ആരേഖത്തിൽ കാണാം.

  Exponential growth

  Cubic growth

  Linear growth

ഒരു ഫലനത്തിന്റെ വളർച്ച അല്ലെങ്കിൽ അതിന്റെ വില മാറുന്ന നിരക്ക് (അവകലജം) ആ ഫലനത്തിന്റെ അപ്പോഴുള്ള വിലയ്ക്ക് അനുപാതത്തിന് ആണെങ്കിൽ അതിനെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ച എന്നു വിശേഷിപ്പിയ്ക്കുന്നു. ഇത്തരം ഫലനങ്ങളെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ഫലനങ്ങൾ എന്നും വിളിയ്ക്കുന്നു. ഇത്തരം ഫലനങ്ങളിൽ സമയം ഇൻപുട്ട് വിലയുടെ (x) ഘാതത്തിൽ (exponent) കണ്ടുവരുന്നു. ഈ ഘാതം ന്യൂനം (നെഗറ്റീവ്) ആണെങ്കിൽ അന്നേരം വളർച്ച അല്ല ഉണ്ടാകുന്നത്, ഫലനത്തിന്റെ വിലകളിൽ വളരെ പെട്ടെന്നുള്ള അപചയം ആണ് ഉണ്ടാവുക. ഇത്തരം ഫലനങ്ങളെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ അപചയം എന്ന് പറയുന്നു. വിഭിന്ന മണ്ഡലത്തിൽ (discrete domain, ഇൻപുട്ട്/ഔട്ട്പുട്ട് വിലകൾ അനുസ്യൂതമല്ലാതെ മാറുന്ന അവസരങ്ങളിൽ) ഇത്തരം വളർച്ചയെ ജ്യാമിതീയ വളർച്ച എന്നും അപചയത്തെ ജ്യാമിതീയ അപചയം എന്നും വിളിയ്ക്കാറുണ്ട്. എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ചയിലും അപചയത്തിലും ഒരു ഫലനത്തിന്റെ വില മാറുന്ന നിരക്കും അതിന്റെ ആ സമയത്തെ ഔട്ട്പുട്ട് വിലയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം എപ്പോഴും സ്ഥിരമായിരിയ്ക്കും.

വിഭിന്ന മണ്ഡലത്തിന്റെ ഉദാഹരണം എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ x എന്ന ചരത്തിന്റെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് r ആണെന്ന് സങ്കല്പിച്ചാൽ, സമയം t ഓരോ മാത്ര കഴിയുന്തോറും (അതായത് 0, 1, 2, 3, ... തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളിൽ. ഇത് അനുസ്യൂതമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു ഇതിനിടയിലുള്ള വാസ്തവികസംഖ്യകൾ പരിഗണനക്കെടുക്കുന്നില്ല), ഫലനത്തിന്റെ വില: 

$x_{t}=x_{0}(1+r)^{t}$

x₀ എന്നത് x ന്റെ 0 എന്ന സമയത്തുള്ള വിലയാണ് (initial value).

ഉദാഹരണങ്ങൾ

മികച്ച സാഹചര്യങ്ങളിൽ ബാക്ടീരിയകളുടെ എണ്ണം എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി കൂടുന്നു.

• ജീവശാസ്ത്രം
  • ഒരു കൾചറിലെ സൂക്ഷ്മാണുക്കളുടെ (ഉദാ: ബാക്ടീരിയ) എണ്ണം അതിലെ പോഷകാംശങ്ങൾ തീരുന്നതു വരെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി വർദ്ധിയ്ക്കും. ആദ്യത്തെ സൂക്ഷ്മാണു രണ്ടായും ആ രണ്ടെണ്ണം നാലായും ആ നാലെണ്ണം എട്ടായും തുടർന്നുള്ളവ അവയുടെ ഇരട്ടിയായും ഇരട്ടിച്ചുകൊണ്ടിരിയ്ക്കും.
  •  ഇതുപോലെ തന്നെ രോഗപ്രതിരോധ സംവിധാനങ്ങൾ ഒന്നും എടുത്തിട്ടില്ലെങ്കിൽ മനുഷ്യശരീരത്തിൽ കടക്കുന്ന വൈറസുകളും എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി വർദ്ധിയ്ക്കുന്നു..
  • ഇന്നത്തെ ജനന നിരയ്ക്കും മരണനിരക്കും തുടരുകയാണെങ്കിൽ മനുഷ്യജനസംഖ്യ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി വർദ്ധിയ്ക്കും. ഉദാഹരണത്തിന് 1910 മുതൽ 2010 വരെയുള്ള നൂറു വർഷങ്ങൾക്കുള്ളിൽ അമേരിക്കയുടെ ജനസംഖ്യ 1.5% നിരക്കോടെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി വർധിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഈ നിരക്കിൽ 50 വർഷങ്ങൾ കൊണ്ട് അമേരിക്കയുടെ ജനസംഖ്യ ഇരട്ടിയാകും.
• ഭൗതികശാസ്ത്രം
  • ആണവ ചെയിൻ റിയാക്ഷൻ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ചയുടെ ഒരു നല്ല ഉദാഹരണമാണ്. അണുവിഘടനത്തിന് വിധേയമാകുന്ന ഓരോ യുറേനിയം ന്യൂക്ലീയസും ഒരു പറ്റം ന്യൂട്രോണുകളെ സ്വാതന്ത്രമാക്കുന്നു. ഇവയെ അരികിലുള്ള മറ്റു ന്യൂക്ലീയസുകൾ ആഗിരണം ചെയ്യുകയും ഇത് അവയുടെ വിഘടനത്തിനു വഴി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ന്യൂട്രോണുകളെ ആഗിരണം ചെയ്യാനുള്ള സംഭാവ്യത അവയ്ക്ക് രക്ഷപ്പെട്ടു പോകാനുള്ള സംഭാവ്യതയെക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഈ അണുവിഘടനം നിയന്ത്രണാതീതമാകുന്നു.
• സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം
  • സാമ്പത്തിക വളർച്ച എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ഓരോ വർഷത്തെയും മൊത്ത ആഭ്യന്തര ഉത്പാദനം അഥവാ ജി.ഡി.പി യുടെ ഒരു പ്രത്യേക ശതമാനം ആയാണ് അതിന്റെ വളർച്ച രേഖപ്പെടുത്തുന്നത്. അതായത് താരതമ്യേന സ്ഥിരമായ ഒരു വളർച്ചാ നിരക്ക് ഉള്ള രാജ്യങ്ങളിൽ ഇത് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി ആണ് വളരുന്നതെന്ന് കാണാം. ഉദാഹരണത്തിന് രണ്ടാം ലോകമഹായുദ്ധം കഴിഞ്ഞുള്ള കാലയളവിൽ അമേരിക്കയുടെ വളർച്ച സ്ഥിരമായി രണ്ടു ശതമാനത്തോട് അടുപ്പിച്ചു ആയിരുന്നു. ഇത് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ചയ്ക്ക് ഉദാഹരണമാണ്.
• സാമ്പത്തിക രംഗം
  • കൂട്ടുപലിശയുടെ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആണ് സാമ്പത്തികരംഗത്തെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ചയുടെ പ്രധാന ഉപയോഗം.
    
• കമ്പ്യൂട്ടർ ടെക്നോളജി
  • കംപ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രവർത്തനക്ഷമതയുടെ വർദ്ധനവ് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ചയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ആണ്. മൂർ നിയമം ഇതാണ് പ്രവചിയ്ക്കുന്നത്.
  • ചില കമ്പ്യൂട്ടർ അൽഗോരിതങ്ങളുടെ സമയ സങ്കീർണ്ണത എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആണ്. അതായത് അതിന്റെ ഇൻപുട്ടിന്റെ വലിപ്പം മാറുന്നതിനനുസരിച് ആ അൽഗോരിതത്തിലെ ഓടുന്ന വരികളുടെ എണ്ണം എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി വർദ്ധിയ്ക്കുന്നു. ഓടുന്ന വരികളുടെ എണ്ണത്തിനനുസരിച്ചു അൽഗോരിതം ഓടാനെടുക്കുന്ന സമയവും വർദ്ധിയ്ക്കുന്നു. ഒരു ഗണത്തിന്റെ എല്ലാ ഉപഗണങ്ങളെയും ( ഘാതഗണം, പവർ സെറ്റ് കണ്ടു പിടിയ്ക്കാനുള്ള അൽഗോരിതം ഇത്തരം എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ അൽഗോരിതത്തിന് ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ചെറിയ ഇൻപുട്ടുകൾക്ക് വളരെ വേഗം ഉത്തരം തരുന്ന അൽഗോരിതം ഇൻപുട്ടിന്റെ വലിപ്പം കൂടുംതോറും മന്ദഗതിയിൽ ആകുന്നു. വളരെ വേഗം ഇത്തരം അൽഗോരിതങ്ങൾ കംപ്യൂട്ടറുകളുടെ ഇന്നത്തെ പ്രവർത്തനക്ഷമതയ്ക്ക് അപ്പുറം എത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

അടിസ്ഥാന സൂത്രവാക്യം

x എന്ന ഒരു അളവ് താഴെ പറയുന്ന സൂത്രവാക്യം അനുസരിയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ അത് സമയം t യെ എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ആയി ആശ്രയിയ്ക്കുന്നു എന്ന് പറയാം

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }$

a എന്നത് x ന്റെ ആദ്യ വിലയാണ് (initial value),

$x(0)=a\,,$

b എന്ന സ്ഥിരവില അന്യൂനമായ വളർച്ചാ നിരക്ക് ആണ്, τ എന്നത് x നു ഒരു b തവണ വളരാനുള്ള സമയം ആണ്:

τ > 0 ഉം b > 1 ഉം ആണെങ്കിൽ അത് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ വളർച്ച ആണ്. τ < 0 ഉം b > 1 ഉം ആണ്, അഥവാ τ > 0 ഉം 0 < b < 1 ഉം, ആണെങ്കിൽ അത് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ അപചയം ആണ്.

ഉദാഹരണം:  ഒരു പ്രത്യേക സ്പീഷിസിൽ പെട്ട ബാക്ടീരിയ ഓരോ 10 മിനിറ്റിലും ഇരട്ടി ആകുമെങ്കിൽ 1 ബാക്ടീരിയ വെച്ച് തുടങ്ങിയാൽ ഒരു മണിക്കൂറിനു ശേഷം എത്ര ബാക്ടീരിയ ഉണ്ടാകും?

ചോദ്യത്തിൽ a = 1, b = 2,  τ = 10 മിനിറ്റ്.

$x(t)=a\cdot b^{t/\tau }=1\cdot 2^{(60{\text{ min}})/(10{\text{ min}})}$

$x(1{\text{ hr}})=1\cdot 2^{6}=64.$

ഒരു മണിക്കൂറിനു ശേഷം 64 ബാക്ടീരിയകൾ ഉണ്ടാകും.

അവകലനസമവാക്യം(Differential equation)

$x(t)=x(0)e^{kt}$ എന്ന എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ ഫലനം താഴെക്കൊടുക്കുന്ന അവകലസമവാക്യത്തിന്റെ നിർധാരണം ആണ്:

$\!\,{\frac {dx}{dt}}=kx$

ഇവിടെ ഫലനത്തിന്റെ വിലയുടെ മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്ക് ഫലനത്തിന്റെ വിലയെ ആശ്രയിച്ചിരിയ്ക്കുന്നു എന്ന പ്രസ്താവനയാണ് ഈ സമവാക്യം.

ഇതിനെ നേരിട്ടുള്ള സമാകലനം (integration) ഉപയോഗിച്ച് നിർധാരണം ചെയ്യാവുന്നതാണ്:

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=kx\\[5pt]{\frac {dx}{x}}&=k\,dt\\[5pt]\int _{x(0)}^{x(t)}{\frac {dx}{x}}&=k\int _{0}^{t}\,dt\\[5pt]\ln {\frac {x(t)}{x(0)}}&=kt.\end{aligned}}$

അതിനാൽ

$x(t)=x(0)e^{kt}$

മുകളിലെ സമവാക്യത്തിൽ k < 0 ആണെങ്കിൽ അത് എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ അപചയം ആണ് .

എക്സ്പോണെൻഷ്യൽ കഥകൾ

ചെസ്സ്കളത്തിലെ അരിമണികൾ

ഒരിയ്ക്കൽ സിസ്സ ബെൻ ദാഹിർ എന്ന മന്ത്രി തന്റെ രാജാവായ ശരീമിന് മനോഹരമായ ഒരു ചെസ്സ് കളം സമ്മാനിച്ചു. ഇതിനു പകരമായി എന്താണ് വേണ്ടതെന്ന് ചോദിച്ച രാജാവിനോട് മന്ത്രി വളരെ നിസ്സാരമായ ഒരു കാര്യമാണ് ആവശ്യപ്പെട്ടത്. കളത്തിലെ ആദ്യത്തെ കള്ളിയിൽ ഒരു അരിമണി, രണ്ടാമത്തേതിൽ രണ്ടെണ്ണം, മൂന്നാമത്തേതിൽ നാലെണ്ണം, നാലാമത്തേതിൽ എട്ടെണ്ണം അങ്ങനെ ഓരോ കളിയിലും തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള കള്ളിയിലെ അരിമണികളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ ഇരട്ടി വേണം എന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹം ആവശ്യപ്പെട്ടത്. ഇപ്രകാരം അരിമണി വെച്ച് തുടങ്ങിയ രാജാവ് ഉടനെ തന്നെ പ്രശ്നത്തിലകപ്പെട്ടു. 21-മത്തെ കളത്തിൽ ഒരു ദശലക്ഷത്തിലധികം അരിമണികൾ വേണ്ടി വന്നു. 41-മത്തെ കളത്തിൽ ഒരു ദശലക്ഷം ദശലക്ഷത്തിലധികം അരിമണികൾ വേണ്ടി വന്നു. ലോകത്തുള്ള മുഴുവൻ അരിമണികൾ വെച്ചാലും 64 കളങ്ങളിലും വെയ്ക്കാനുള്ള അരിമണികൾ തികയില്ല എന്ന് രാജാവിന് മനസ്സിലായി.

അവലംബം

ഉറവിടങ്ങൾ

• Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-00-87663-165-0
• Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-81-84407-192-8
• Swirski, Peter. Of Literature and Knowledge: Explorations in Narrative Thought Experiments, Evolution, and Game Theory. New York: Routledge. ISBN 0-415-42060-10-415-42060-1
• Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-50-471-74747-5
• Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.

പുറംകണ്ണികൾ

• Growth in a Finite World – Sustainability and the Exponential Function — Presentation
• Dr. Albert Bartlett: Arithmetic, Population and Energy Archived 2011-12-19 at the Wayback Machine. — streaming video and audio 58 min
• exponential growth calculator — Online exponential growth Calculator