Grupinis greitis

Dispersija vandenyno paviršinių gravitacinių bangų grupėje, sudarytoje iš dviejų skirtingo dažnio bangų. Raudonas taškas juda faziniu greičiu, o žalias taškas, gulintis bangų gaubtinės pradžioje, juda grupiniu greičiu. Šiuo atveju, fazinis greitis yra du kartus didesnis nei grupinis greitis. Raudonas taškas, judėdamas iš kairės į dešinę, aplenkia du žalius taškus.

Grupinis greitis – greitis, kuriuo juda bangos amplitudės pokyčiai. Šie amplitudės pokyčiai dar yra vadinami bangos amplitudine moduliacija arba bangos gaubtinės sklidimu. Pavyzdžiui, įsivaizduokime, kas atsitinka įmetus akmenį į ramų tvenkinį. Kuomet akmuo paliečia vandens paviršių, atsiranda apskritiminių bangų grupė. Greitai toje vietoje, kur akmuo sužadino bangas, nebeatsiras naujos bangos. Sužadintų bangų grupė plisdama judės tolyn nuo žiedo centro. Ši grupė yra sudaryta iš atskirų bangelių, turinčių skirtingus bangos ilgius bei judančių skirtingais faziniais greičiais. Greitesnės atskiros bangos keliauja greičiau nei grupė, bet dėl destruktyvios interferencijos su kitomis bangomis jos nuslopsta, kai tik pasiekia grupės pradžią. Lėtesnės bangos atsilieka nuo grupės ir nuslopsta, pasiekusios grupės pabaigą.

Grupinis greitis v_g yra apibrėžtas

$v_{g}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,$

kur:

ω yra bangos kampinis dažnis;

k yra bangos vektorius.

Pastaba: Aukščiau pateiktas grupinio greičio apibrėžimas yra naudingas tik bangų paketams, kurie yra impulsai apriboti tiek erdvėje, tiek spektre. Kadangi dispersinėje terpėje skirtingų dažnių bangos sklinda skirtingais faziniais greičiais, plataus spektro (mažos trukmės) impulsas pakeis savo pradinę formą, tuo būdu darydamas grupinio greičio sąvoką neapibrėžtu arba nenaudingu dydžiu.

Grupinis greitis yra dažnai siejamas su greičiu, su kuriuo bangos perneša energiją arba informaciją. Daugeliu atvejų tai yra teisinga, ir apie grupinį greitį galima kalbėti kaip apie bangos signalinį greitį. Vis dėlto, jei banga sklinda per sugeriančią terpę, tai nėra tiesa. Nuo 1980 metų, daugelyje eksperimentų buvo pademonstruota, kad grupiniam greičiui yra įmanoma, nukreipus lazerio šviesos impulsą į specialiai paruoštą medžiagą, žymiai viršyti šviesos greitį vakuume. Nepaisant to, superluminarus ryšis šiuo atveju yra neįmanomas, kadangi signalo greitis lieka mažesnis nei c. Taip pat yra įmanoma sumažinti grupinį greitį iki nulinės vertės, taip sustabdant impulsą, arba pasiekti neigiamą grupinį greitį, tuo būdu sudarant įspūdį, kad impulsas juda galine kryptimi. Visais šiais atvejais individualūs fotonai tebejuda terpėje šviesos greičiu.

Funkcija ω(k), apibrėžianti dažnio ω priklausomybę nuo bangos vektoriaus k, yra vadinama dispersiniu sąryšiu. Jei dažnis ω yra proporcingas bangos vektoriui k, tuomet grupinis greitis yra lygus faziniam greičiui. Priešingu atveju, bangų gaubtinė sklidimo metu kinta. Šis reiškinys yra vadinamas grupinių greičių dispersija ir yra svarbus veiksnys signalams sklindant bangolaidžiais ir šviesolaidžiais.

Anomali dispersija būdinga toms spektro sritims, kur padidėja sugertis ir lūžio rodiklio išvestinė pakeičia ženklą. Dėl šios priežasties grupinis greitis tokio dažnio bangoms yra neigiamas.

Medžiagos bangų grupinis greitis

Albertas Einšteinas pirmas pateikė šviesos dvilypiškumo idėją 1905 m. De Broilio hipotezė teigia tą patį apie medžiagos daleles. Dalelės greitis, anot hipotezės, turėtų visuomet būti lygus ją atitinkančios bangos grupiniam greičiui. Tai reiškia, kad

$v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {\partial (E/\hbar )}{\partial (p/\hbar )}}={\frac {\partial E}{\partial p}}$

kur

E yra dalelės bendra energija,

p jos judesio kiekis,

$\hbar$ yra Planko konstanta.

Laisvai nereliatyvistinei dalelei galioja

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m}}\right)\\&={\frac {p}{m}}\\&=v.\end{aligned}}$

kur

$m$ yra dalelės masė ir

$v$ jos greitis.

Specialioji reliatyvumo teorija teigia, kad

${\begin{aligned}v_{g}&={\frac {\partial E}{\partial p}}={\frac {\partial }{\partial p}}\left({\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}\right)\\&={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}\\&={\frac {p}{m{\sqrt {(p/(mc))^{2}+1}}}}\\&={\frac {p}{m\gamma }}\\&={\frac {mv\gamma }{m\gamma }}\\&=v.\end{aligned}}$

kur

$m$ yra dalelės rimties masė,

c yra šviesos greitis vakuume,

$\gamma$ yra Lorenco daugiklis.

ir $v$ yra dalelės greitis, korpuskuline prasme.

Tuo būdu, tiek reliatyvistinėje, tiek nereliatyvistinėje kvantinėje fizikoje yra galima sieti dalelės banginės funkcijos grupinį greitį su dalelės korpuskuliniu greičiu.

Taip pat skaitykite

• Bangų paketas
• Fazinis greitis
• Signalinis greitis
• Šviesos dispersija
• Amplitudė

Nuorodos

• Tipler, Paul A. and Ralph A. Llewellyn (2003). Modern Physics. 4th ed. New York; W. H. Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0. 223 p.