kaos

I løbet af 1700- og 1800-t. udviklede matematikere og fysikere, bl.a. L. Euler, J.L. Lagrange, P.S. Laplace, W.R. Hamilton og C.G. Jacobi, meget effektive metoder til at formulere Newtons bevægelsesligninger for alle tænkelige systemer: Punktmasser (partikler), der ligesom planeter tiltrækker hinanden gennem gravitation; stive legemer, som kan rotere og rulle; eller partikler, som vekselvirker gennem elektromagnetiske kræfter. Det blev hurtigt klart, at det var meget lettere at opstille disse ligninger end at løse dem. I slutningen af 1800-t. indså Poincaré, at nogle af disse bevægelsesligninger ikke bare er vanskelige at løse, men at de kan være umulige at løse fuldstændigt. I dag kaldes sådanne dynamiske systemer for ikke-integrable.

Planeterne og deres måners bevægelse er tilsyneladende ganske regelmæssige — så regelmæssige, at menneskene i årtusinder har brugt dem til at opdele tiden i dage, måneder og år. Dette kan synes forbavsende, idet et så stort antal legemer, som tiltrækker hinanden ved tyngdekraften, meget let fører til kaotisk bevægelse. Newton løste bevægelsesproblemet, hvad angår to legemer, der kun påvirker hinanden ved deres gensidige tyngdekraft. De vil bevæge sig i ellipsebaner rundt om deres fælles tyngdepunkt eller, som visse kometer, i åbne hyperbolske baner.

Alle forsøg på at løse det tilsvarende problem for flere legemer og med generelle begyndelsesbetingelser mislykkedes dog, og netop vha. en simplificeret udgave af problemet med blot tre legemer (se trelegemeproblemet) viste Poincaré i 1890, at det generelt ikke er muligt at skrive en sluttet formel for bevægelsen. Med flere end tre himmellegemer er mulighederne for kaos endnu større, og man må således formode, at Solsystemet i dets tidlige historie har været stærkt præget af kaotisk bevægelse.

Solsystemet er dog ikke fuldstændig udæmpet: Planeterne kan tabe bevægelsesenergi dels gennem de indre spændinger, som skyldes tidevandskræfter, dvs. variationen af tyngdekraften gennem planeten, dels gennem kollisioner. Gennem millioner af år bliver sådanne effekter vigtige, og de kan stabilisere himmellegemernes bevægelser og lede til afhængigheder imellem dem. Et typisk eksempel er Månen, der altid vender samme side imod Jorden. Dens rotationstid om sin akse har således efterhånden synkroniseret sig med dens omløbstid om Jorden.

Et indicium på kaos i det tidlige Solsystem kan findes i fordelingen af asteroider, som er små planeter, med størrelser fra ca. 1000 km i diameter helt ned til klippestykker; de findes fortrinsvis i et bælte mellem Mars og Jupiter (se asteroidebæltet). Den amerikanske astronom D. Kirkwood (1815-95) havde allerede midt i 1800-t. opdaget, at fordelingen af disse asteroider langtfra er jævn. Specielt mangler der asteroider med omløbstider, som står i simple talforhold til Jupiters omløbstid, fx 1:2, 1:3 eller 2:5. Beregninger har vist, at en asteroidebane med en sådan såkaldt resonant omløbstid som regel vil være kaotisk og føre til, at asteroiden kommer langt væk, måske kolliderer med en af de andre planeter eller bliver kastet helt ud af Solsystemet. Asteroidebæltet er således i løbet af Solsystemets levetid blevet "støvsuget" for asteroider i de såkaldte Kirkwood-gab.

Et andet eksempel på kaos i det nuværende Solsystem menes at være fundet i bevægelsen af en af Saturns måner, Hyperion. Hyperions form er usædvanlig langt fra kugleform, snarere som en kartoffel. Konsekvensen er, at Hyperion, hvis banebevægelse om Saturn er ganske regelmæssig, ser ud til at tumle kaotisk omkring sit tyngdepunkt.

Et af de store fremskridt i forståelsen af kaos i Hamiltonske (dvs. udæmpede) systemer var det såkaldte KAM-teorem. Efter Poincarés opdagelse af, at ikke alle dynamiske systemer er integrable, var der længe tvivl om strukturen af ikke-integrable systemer. Integrable systemer løses ved at finde alle størrelser, som er bevarede under bevægelsen, såkaldte bevægelseskonstanter (fx energi og impulsmoment). Hvis et tilstrækkeligt antal bevægelseskonstanter eksisterer, kan den generelle løsning til problemet findes, og generelt betegnes en sådan bevægelse kvasiperiodisk. For ikke-integrable dynamiske systemer bryder denne simple struktur sammen, idet der ikke findes et tilstrækkeligt antal bevægelseskonstanter. På trods af dette kunne Kolmogorov, Arnold og Moser bevise, at for systemer, der er tæt ved integrabilitet, er det meste af bevægelsen stadig kvasiperiodisk på trods af, at der er områder i faserummet med kaotiske baner.

Kaotisk dynamik opstår dér, hvor bevægelsen er i resonans og således periodisk (jf. diskussionen af asteroiderne ovenfor). Kun ganske få af de periodiske baner, som findes i det ikke-integrable system, vedbliver at være stabile i det integrable, selvom det er nok så tæt ved integrabilitet. Disse effekter kan ses i ganske simple afbildninger af planen, hvori de kvasiperiodiske baner (KAM-overflader) fremtræder som linjer, der efterhånden fyldes ud, mens den kaotiske dynamik findes i sammenhængende områder, som også efterhånden fyldes ud på nær de huller eller "øer", som gennemsyrer dem. KAM-teoremet skabte interesse blandt fysikere for den gren af matematikken, der kaldes talteori, dvs. egenskaber ved hele tal, idet spørgsmål, som hvor effektivt et givet irrationalt tal kan tilnærmes ved rationale tal, for første gang kom til at spille en rolle i fysikken.

Et uvurderligt hjælpemiddel for Poincaré til påvisningen af kaotisk bevægelse i dynamiske systemer var den geometriske beskrivelse, som han indførte. Den gør det muligt at analysere et bevægelsesproblem kvalitativt, selvom man ikke kan løse det fuldstændigt. Denne beskrivelse foregår i bevægelsens faserum, et rum med lige så mange dimensioner som det antal uafhængige begyndelsesbetingelser, der behøves.

Et eksempel er en partikel, der bevæger sig på en linje. Dens bevægelse er fuldstændigt fastlagt ved dens position og hastighed (begge langs linjen) til et bestemt tidspunkt. Faserummet er derfor todimensionalt med stedkoordinaten ud ad den ene akse og hastigheden ud ad den anden. En partikel, der kan bevæge sig i alle tre dimensioner, har på samme måde et seksdimensionalt faserum, da både position og hastighed så har tre komponenter.

Faserummet har følgende vigtig egenskab: Gennem hvert punkt i dette rum kan der kun gå én bevægelseskurve; disse kurver kan derfor ikke skære hinanden. En type af bevægelser, der er særlig vigtige, er de periodiske. I faserummet kendes de let, da bevægelseskurverne er lukkede. I en harmonisk svingende bevægelse er således både position og hastighed simple periodiske funktioner af tiden. For fx et lod ophængt i en fjeder er denne type bevægelse den eneste mulige: Til hvert punkt i faserummet svarer en sådan lukket kurve, og kurverne er ordnet som ringene i et gennemskåret løg. For et pendul med stiv pendularm som i et bornholmerur er situationen lidt mere kompliceret. Pendulet har ud over ligevægtsstillingen, hvor loddet hænger nedad, en anden, hvor loddet vender lodret opad. Dette ligevægtspunkt er naturligvis ustabilt, så små afvigelser fra denne position vil hurtigt blive større. Faserummet for et pendul indeholder stadig en familie af periodiske bevægelser rundt om det stabile ligevægtspunkt, men nu er der også bevægelser, hvor pendulet roterer og derved passerer både det stabile og det ustabile ligevægtspunkt. Grænsekurven mellem disse to bevægelsesformer (repræsenteret i faserummet ved hhv. lukkede og åbne kurver) kaldes en separatrix. Den svarer til en bevægelse, der starter i det ustabile ligevægtspunkt med uendelig lille hastighed, drejer ned forbi det stabile punkt og netop ender på det ustabile punkt igen — efter uendelig lang tid!

Et todimensionalt faserum er for begrænset til at indeholde kaotisk bevægelse; rummet må mindst være tredimensionalt. En simpel mulighed er at påvirke pendulet med en periodisk ydre kraft, hvorved bevægelsen ikke blot afhænger af begyndelsesposition og -hastighed, men også af begyndelsestidspunktet, idet dette fastlægger den ydre krafts størrelse. Når der også tilføjes dæmpning (gnidning), som uden yderligere kraftpåvirkning vil få pendulet til at gå i stå, kan der opstå en såkaldt grænsecykel: en periodisk bevægelse, hvor den energi, der tabes ved dæmpning, balanceres af den, som tilføres ved den ydre kraftpåvirkning. En sådan periodisk bevægelse er et eksempel på en attraktor: Mange begyndelsesbetingelser vil efterhånden nærme sig den samme kurve. Attraktoren kan gennemgå forskellige bifurkationer (pludselige forandringer). Den mest omtalte i forbindelse med kaos er periodefordobling, dvs. at bevægelseskurven "deler sig" således, at den først lukker sig efter to omgange. Denne bifurkation samt enhver kaotisk bevægelse vil forårsage, at bevægelseskurven projiceret ned på det oprindelige todimensionale faserum skærer sig selv. Dette er naturligvis kun muligt, fordi det virkelige faserum, som omtalt, er tredimensionalt, og heri skærer bevægelseskurven ikke sig selv.

Når dæmpningen er lille, er det let at frembringe kaotisk bevægelse, selv i det simple, periodisk påvirkede pendul. Den kaotiske bevægelse vil fremstå som en meget kompliceret bevægelseskurve, der hele tiden fornyer sig og aldrig lukker. Bevægelsen foregår på en strange attractor, en betegnelse, som skyldes D. Ruelle (f. 1935) og F. Takens (f. 1940). Lorenz havde allerede i 1963 fundet en sådan strange attractor i et system af tre koblede differentialligninger, der skulle beskrive en væske, som opvarmes fra neden og sættes i konvektiv bevægelse, ligesom atmosfæren. Denne Lorenz-attraktor blev en af de vigtigste igangsættere af den store interesse for kaos efter ca. 1970.

Det bør nævnes, at Y. Ueda (f. 1936), der arbejdede ved universitetet i Kyoto, allerede i 1961 havde fundet en strange attractor i en simpel model af en kraftpåvirket ulineær fjeder. Hans foresatte forhindrede ham dog i at publicere disse resultater, da de mente, resultaterne skyldtes numeriske fejl i beregningerne. Kriteriet for kaos er, at små ændringer i begyndelsesbetingelserne frembringer store (eksponentielt voksende) ændringer i bevægelseskurven. Styrken af den eksponentielle vækst er beskrevet ved Lyapunov-eksponenten, som er positiv, når bevægelsen er kaotisk. Man kan (tilnærmet) finde denne størrelse ved at betragte to bevægelser, som startes i næsten samme punkt i faserummet. Hvis bevægelsen er kaotisk, vil afstanden mellem dem vokse eksponentielt med tiden, indtil de er kommet så langt fra hinanden, at de mærker attraktorens endelige udstrækning. Denne eksponentielle vækst af små afvigelser kaldes ofte sommerfugleeffekten efter Lorenz, som spøgende beskrev konsekvenserne af sine kaotiske modeller for atmosfæren ved, at en sommerfugls flaksen i Brasilien ville kunne frembringe en storm i Texas.

Kaotisk bevægelse vist i faserummet er meget vanskelig at analysere, idet den nærmest fremstår som en dynge spaghetti. Dette skjuler de meget smukke og vigtige geometriske egenskaber ved sådanne strange attractors, idet de indeholder fraktal-strukturer. For at få disse strukturer frem kan man anvende en metode, som skyldes Poincaré — det såkaldte Poincarésnit: I faserummet indlægges en plan, som skærer bevægelseskurverne, og kun skæringspunkterne mellem denne plan og bevægelseskurverne vises. I eksemplet ovenfor, det dæmpede, drevne pendul, betyder dette simpelthen, at position og hastighed registreres, hver gang den ydre kraft har gennemgået en periode. Et sådant billede viser tydeligt, at attraktoren langt fra er jævnt fordelt i faserummet; fx er der dele af faserummet, som aldrig besøges af bevægelsen. Attraktoren synes dannet ved at folde en lang tråd igen og igen, og strukturen er fraktal: Den har intet areal, da den er fuld af huller i alle størrelser, mens dens længde langs tråden er uendelig.

Et simpelt eksempel på en strange attractor, som har gjort det muligt at analysere den geometriske og dynamiske struktur i detaljer, blev givet af M. Hénon (f. 1931) i 1976. Da Poincarésnittet kun viser bevægelsen, når den skærer planet, fremtræder den kontinuerte bevægelse som diskontinuerte spring fra punkt til punkt. Generelt er den regel, som bestemmer disse spring, naturligvis meget kompliceret, idet den findes ved at løse systemets bevægelsesligninger fremad, indtil løsningen igen krydser snitplanet, men Hénon imiterede denne proces ved som sin regel for disse spring at vælge en simpel ulineær afbildning og iterere den (dvs. gentage afbildningen således, at slutpunktet for et spring bliver begyndelsespunktet for det næste) mange millioner gange. Efter mange gentagelser falder dynamikken på Hénons attraktor, som viser den typiske fraktale struktur og følsomhed over for små ændringer af begyndelsespunktet.

Hénons attraktor beskriver ikke noget bestemt fysisk system, men indfanger mange typiske træk ved lavdimensionale kaotiske systemer. Hvis et lille kvadrat afbildes (itereres) nogle gange med Hénons afbildning, bliver det trukket ud på den ene led og mast sammen på den anden, således at arealet formindskes. Dernæst bliver det foldet sammen, så det kan bevares inden for et afgrænset område. Strækning og foldning er basale processer i kaotisk dynamik, som derfor ofte sammenlignes med æltning af dej.

For lavdimensionale dynamiske systemer har det været muligt at identificere visse universelle ruter til kaos og udvikle nye matematiske metoder til at beskrive dem kvantitativt. Det banebrydende arbejde på dette område beskrev overgangen til kaos gennem periodefordoblinger, dvs. bifurkationer, hvor en periodisk bane, som beskrevet ovenfor, først lukker efter to omgange. De periodefordoblede baner kan igen periodefordoble, og denne proces er en ofte forekommende vej til kaos — efter i princippet uendelig mange periodefordoblinger.

M. Feigenbaum (1978) valgte en original angrebsvinkel, baseret på simple itererede afbildninger med kun én variabel. Han viste, til dels sammen med P. Cvitanović (f. 1946), at de meget komplekse afbildninger, der dannes, når den oprindelige afbildning itereres mange gange (svarende til en periodisk bane, der har gennemgået mange periodefordoblinger), har simple universelle egenskaber. Han var således i stand til at bevise, at de parameterværdier, for hvilke successive periodefordoblinger finder sted, akkumulerer "geometrisk" — dvs. at afstanden mindskes med samme faktor, Feigenbaums tal (ca. 4,669), som er karakteristisk for periodefordoblende dynamik, hvad enten den findes i mekaniske systemer, i væskebevægelse eller i fiskerimodeller. En serie smukke forsøg udført af A. Libchaber (f. 1934) og hans medarbejdere i 1982 med termisk konvektion af helium i små celler viste god overensstemmelse med Feigenbaums forudsigelser.

Kaotisk dynamik forekommer på næsten alle områder, hvor et lille antal koblede ligninger giver en god beskrivelse. Om mange systemer, lige fra livets opståen til styring af firmaer, hævdes det tilsvarende med mere eller mindre præcis betydning, at de fungerer "på randen af kaos". Den fuldt udviklede kaotiske dynamik er for voldsom og måske destruktiv, men langt fra kaos er alt ganske forudsigeligt og uden den nødvendige fleksibilitet.

• forudsigelighed
• kaos (religionshistorisk begreb)