Menelaos' sætning

I trekant \(ABC\) orienteres hver af linjerne der indeholder trekantens sider \(AB\), \(BC\) og \(CA\) med positiv retning der følger sidens retning. Så gælder der, at tre punkter \(D\), \(E\) og \(F\) på hver sin af kantlinjerne for siderne \(AB\), \(BC\) og \(CA\) i trekanten, ligger på samme linje, hvis og kun hvis \[\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\cdot\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}\cdot\frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}=-1 ,\] hvor \(\overline{AD}\), \(\overline{DB}\) osv. er linjestykkets længde regnet med fortegn i forhold til kantlinjens retning.

Sætningen blev bevist af Menelaos af Alexandria (omkring år 100), men var formodentlig kendt tidligere. Han viste også den tilsvarende sætning på en kugleflade (med \(AD\), \(DB\) osv. erstattet med \(\sin AD\), \(\sin DB\) osv.), som var vigtig i græsk astronomi og blev benyttet af Ptolemaios.

I sin plangeometriske form blev sætningen bevist på ny af den italienske matematiker og ingeniør Giovanni Ceva (1647/48-1734), der også fremsatte og beviste den såkaldte Cevas sætning, som siger, at de tre linjestykker \(AE\), \(BF\) og \(CD\), som hver forbinder et hjørne med et punkt på den modstående side, går gennem samme punkt, hvis og kun hvis

\[\frac{\overline{AD}}{\overline{DB}}\cdot\frac{\overline{BE}}{\overline{EC}}\cdot\frac{\overline{CF}}{\overline{FA}}=1 .\]

Denne dualitet mellem punkter på samme linje og linjer gennem samme punkt rummer en vigtig kim til den projektive geometri.

• geometri
• Ptolemaios' sætning
• projektiv geometri