치올콥스키 로켓 방정식 (Tsiolkovsky's rocket equation)은 러시아의 로켓 과학자인 콘스탄틴 치올콥스키 가 처음으로 유도해낸 방정식으로, 중력이나 저항 같은 외력이 작용하지 않는 계에서의 로켓 의 운동을 기술한다. 그 식은 다음과 같다.
v
f
=
v
i
+
u
ln
m
i
m
f
{\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}
(여기서
v
f
{\displaystyle v_{f}}
v
i
{\displaystyle v_{i}}
u
{\displaystyle u}
m
f
{\displaystyle m_{f}}
m
i
{\displaystyle m_{i}}
치올콥스키의 방정식을 유도하는 과정은 질량이 변하는 계(variable-mass system)에 뉴턴 법칙을 적용하는 것과 상당히 비슷하다. 뉴턴 제 2 법칙에 의하면
F
→
=
d
p
→
d
t
=
d
(
m
v
→
)
d
t
{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d(m{\vec {v}})}{dt}}}
여기서 m을 상수로 취급하면 매우 유명한 공식인
F
→
=
m
a
→
{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}
F
→
=
d
m
d
t
v
→
+
m
d
v
→
d
t
{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}}
이 과정에서
F
→
=
0
⇐⇒
d
m
d
t
v
→
+
m
d
v
→
d
t
=
0
{\displaystyle {\vec {F}}=0\Leftarrow \Rightarrow {\frac {dm}{dt}}{\vec {v}}\ +\ m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}=0}
로켓 자체만을 생각하는 대신 로켓과 방출된 연료(fuel)를 모두 포함하는 계를 고려한다면 더 납득 가능한 결론에 도달할 수 있을 것이고 계산도 더 용이해질 것이다.
이 방정식의 전제 조건은 로켓과 연료를 포함한 이 계에 중력 같은 외력이 전혀 작용하지 않는다는 점이다. 그러므로 (
F
→
e
x
t
=
d
p
→
d
t
=
0
{\displaystyle {\vec {F}}_{ext}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=0}
다시 말하면 초기 운동량과 최종 운동량을 같게 놓고 풀면 치올콥스키의 방정식을 얻을 수 있다.
계의 초기 운동량은
m
f
u
e
l
v
→
f
u
e
l
+
m
r
o
c
k
e
t
v
→
r
o
c
k
e
t
=
0
×
0
+
m
v
→
=
m
v
→
{\displaystyle m_{fuel}{\vec {v}}_{fuel}\ +\ m_{rocket}{\vec {v}}_{rocket}=0\times 0\ +\ m{\vec {v}}=m{\vec {v}}}
1) 로켓의 질량은
d
t
{\displaystyle dt}
m
+
d
m
{\displaystyle m\ +\ dm}
d
m
<
0
{\displaystyle dm<0}
d
t
{\displaystyle dt}
v
→
+
d
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}}}
(
m
+
d
m
)
(
v
→
+
d
v
→
)
{\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})}
2) 방금 갓 방출된 연료의 질량은 (
d
m
<
0
{\displaystyle dm<0}
−
d
m
{\displaystyle -dm}
v
→
f
u
e
l
{\displaystyle {\vec {v}}_{fuel}}
−
d
m
v
→
f
u
e
l
{\displaystyle -dm\ {\vec {v}}_{fuel}}
3) 이 둘을 더하면
(
m
+
d
m
)
(
v
→
+
d
v
→
)
−
d
m
v
→
f
u
e
l
{\displaystyle (m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}
m
v
→
=
(
m
+
d
m
)
(
v
→
+
d
v
→
)
−
d
m
v
→
f
u
e
l
{\displaystyle m{\vec {v}}=(m\ +\ dm)({\vec {v}}\ +\ d{\vec {v}})-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}
식을 전개하면
m
v
→
=
m
v
→
+
m
d
v
→
+
v
→
d
m
+
d
m
d
v
→
−
d
m
v
→
f
u
e
l
{\displaystyle m{\vec {v}}=m{\vec {v}}+md{\vec {v}}+{\vec {v}}dm+dmd{\vec {v}}-dm\ {\vec {v}}_{fuel}}
m
v
→
{\displaystyle m{\vec {v}}}
d
m
d
v
→
{\displaystyle dmd{\vec {v}}}
그러면 다음과 같은 식이 된다.
m
d
v
→
+
v
→
d
m
−
v
→
f
u
e
l
d
m
=
0
{\displaystyle m\ d{\vec {v}}+{\vec {v}}\ dm-{\vec {v}}_{fuel}\ dm=0}
d
m
{\displaystyle dm}
m
d
v
→
+
d
m
(
v
→
−
v
→
f
u
e
l
)
=
0
{\displaystyle m\ d{\vec {v}}+dm\ ({\vec {v}}-{\vec {v}}_{fuel})=0}
m
d
v
→
=
d
m
(
v
→
f
u
e
l
−
v
→
)
{\displaystyle m\ d{\vec {v}}=dm\ ({\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}})}
상대 속도의 정의에 따라
u
→
=
v
→
f
u
e
l
−
v
→
r
o
c
k
e
t
{\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{fuel}\ -\ {\vec {v}}_{rocket}}
m
d
v
→
=
u
→
d
m
{\displaystyle m\ d{\vec {v}}={\vec {u}}\ dm}
이제
d
v
→
{\displaystyle d{\vec {v}}}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
벡터의 크기(magnitude)만 고려 하자.
|
d
v
→
|
=
d
v
,
|
u
→
|
=
u
{\displaystyle |d{\vec {v}}|=dv,\ |{\vec {u}}|=u}
d
v
→
{\displaystyle d{\vec {v}}}
d
v
{\displaystyle dv}
u
→
{\displaystyle {\vec {u}}}
−
u
{\displaystyle -u}
m
d
v
=
−
u
d
m
{\displaystyle m\ dv=-u\ dm}
m
d
v
=
−
u
d
m
{\displaystyle m\ dv=-u\ dm}
d
t
{\displaystyle dt}
m
d
v
d
t
=
−
u
d
m
d
t
{\displaystyle m{\frac {dv}{dt}}=-u{\frac {dm}{dt}}}
m
a
=
−
u
d
m
d
t
{\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}}
이렇듯 로켓과 연료를 포함한 계의 운동 상태를 로켓의 질량과 가속도의 크기, 그리고 연료의 로켓에 대한 상대 속력으로만 표현하는 데 성공했다. 이제 이 공식을 이용해 미분방정식을 세우고 풀어보자.
m
a
=
−
u
d
m
d
t
{\displaystyle ma=-u{\frac {dm}{dt}}}
d
t
{\displaystyle dt}
m
{\displaystyle m}
a
d
t
=
−
u
d
m
m
{\displaystyle a\ dt=-u\ {\frac {dm}{m}}}
u
{\displaystyle u}
양변을 적분하면
∫
t
i
t
f
a
d
t
=
∫
m
i
m
f
−
u
d
m
m
{\displaystyle \int _{t_{i}}^{t_{f}}a\ dt=\int _{m_{i}}^{m_{f}}-u\ {\frac {dm}{m}}}
Δ
v
=
v
f
−
v
i
{\displaystyle \Delta v=v_{f}\ -\ v_{i}}
−
u
[
ln
|
m
|
]
m
i
m
f
=
−
u
(
ln
m
f
−
ln
m
i
)
=
−
u
ln
m
f
m
i
=
u
ln
m
i
m
f
{\displaystyle -u\ {\Big [}\ln \ |m|{\Big ]}_{m_{i}}^{m_{f}}=-u\ (\ln \ m_{f}\ -\ \ln \ m_{i})=-u\ \ln {\frac {m_{f}}{m_{i}}}=u\ \ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}
최종 속력에 대해 정리하면
v
f
=
v
i
+
u
ln
m
i
m
f
{\displaystyle v_{f}=v_{i}+u\ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}
비록 실제 상황보다 극히 간단한 가정을 하지만, 로켓 방정식은 로켓 비행에 있어서의 핵심적인 물리학적 원리를 간명하게 보여준다. 로켓 궤도 역학에 있어서
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
식에서 알 수 있듯이 큰
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
m
i
{\displaystyle m_{i}}
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
m
f
{\displaystyle m_{f}}
v
{\displaystyle v}
공학적으로는 거대한 로켓을 만들고 (
m
i
{\displaystyle m_{i}}
m
f
{\displaystyle m_{f}}
새턴 5호 로켓이 이런 조건을 만족하는 좋은 예가 된다.
![{\displaystyle -u\ {\Big [}\ln \ |m|{\Big ]}_{m_{i}}^{m_{f}}=-u\ (\ln \ m_{f}\ -\ \ln \ m_{i})=-u\ \ln {\frac {m_{f}}{m_{i}}}=u\ \ln {\frac {m_{i}}{m_{f}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/117ba9751a8b5246e44d71157c43c1c3734466dc)
