전순서 집합
순서론에서 전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)는 임의의 두 원소를 비교할 수 있는 부분 순서 집합이다. 실수에서는 순서를 줄 수 있지만 허수와 복소수에서는 순서를 줄 수 없다.
정의
[편집]원순서 집합 이 다음 조건을 만족시킨다면, 원전순서 집합(原全順序集合, 영어: pretotally ordered set, totally preordered set, weakly ordered set)이라고 한다.
- 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
즉, 두 원소가 항상 비교 가능한 원순서 집합이다.
전순서 집합(全順序集合, 영어: totally ordered set, toset)은 원전순서 집합인 부분 순서 집합 이다. 즉, 이항 관계 는 다음 세 조건을 만족시킨다.
도약
[편집]전순서 집합 의 도약(跳躍, 영어: jump) 은 다음 두 조건을 만족시키는 순서쌍이다.
- 이다.
- 인 가 존재하지 않는다.
도약이 없는 전순서를 조밀 순서라고 한다.
성질
[편집]함의 관계
[편집]다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
연산
[편집]원순서 집합들의 족 가 주어졌으며, 에 역시 원순서 가 부여되었다고 하자. 그렇다면, 분리합집합 위에 다음과 같은 원순서를 정의할 수 있다.
이를 들의 순서합(영어: ordered sum)이라고 한다. (여기서 는 를 뜻하며, 는 를 뜻한다.)
이에 대하여 다음이 성립한다.
- 만약 가 전순서 집합이며, 모든 가 원전순서 집합이라면, 그 순서합 역시 원전순서 집합이다.
- 만약 가 전순서 집합이며, 모든 가 전순서 집합이라면, 그 순서합 역시 전순서 집합이다.
- 만약 모든 가 부분 순서 집합이라면, 그 순서합 역시 부분 순서 집합이다.
사전식 순서
[편집]전순서 집합들의 족 이 주어졌으며, 위에 정렬 순서가 주어졌을 때, 곱집합 위에 사전식 순서라는 전순서를 부여할 수 있다.
위상수학적 성질
[편집]원전순서 집합에는 순서 위상을 부여하여 위상 공간으로 취급할 수 있다.
모든 원전순서 집합은 (순서 위상 아래) 완비 정규 공간이며, 모든 전순서 집합은 하우스도르프 완비 정규 공간이다.
전순서 집합에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
전순서 집합의 부분 공간은 항상 직교 콤팩트 공간이자 가산 파라콤팩트 공간이다. 전순서 집합이 메타콤팩트 공간이라면, 파라콤팩트 공간이다.
모든 분해 가능 전순서 집합은 항상 사전식 순서를 준 의 부분 집합과 순서 동형이다.[1]:Theorem 4
범주론적 성질
[편집]전순서 집합과 증가 함수는 구체적 범주 를 이룬다. 이는 작은 범주의 범주 의 충만한 부분 범주이다.
공집합이 아닌 유한 전순서 집합들의 범주 는 단체 범주(單體範疇, 영어: simplex category)라고 하며, 그 위의 준층 범주 는 단체 집합이라고 한다. 이는 호모토피 이론에서 매우 중요하게 사용된다.
분류
[편집]모든 전순서 집합의 분류는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론 속에서는 불가능하다. 예를 들어, 비교적 간단한 분류 문제인 수슬린 가설조차 증명하거나 반증할 수 없다. 그러나 특수한 경우에는 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
가산 조밀 전순서 집합
[편집]조밀 가산 전순서 집합 은 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
특히, 최대 원소와 최소 원소를 갖지 않는 분해 가능 조밀 가산 전순서 집합 은 항상 와 순서 동형이다.
완비 분해 가능 조밀 전순서 집합
[편집]전순서 집합 가 다음 세 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 는 다음 여섯 전순서 집합 가운데 정확히 하나와 순서 동형이다.
특히, 완비 분해 가능 조밀 무한 전순서 집합은 (순서 동형 아래) 확장된 실수의 전순서 집합 밖에 없다.
증명:
마지막 조건을 약화시킬 경우, 이들의 분류는 수슬린 가설에 의하여 좌우되는데, 이는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론과 독립적인 명제이다.
어떤 전순서 집합 에 대하여, 다음 네 조건이 동치이다.[1]:Theorem 6
- 는 분해 가능 공간이며, 가산 개의 도약을 갖는다.
- 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
- 다음 조건을 만족시키는 가산 집합 가 존재한다.
- 임의의 에 대하여,
- 는 의 부분 집합과 순서 동형이다. 즉, 단사 단조 함수 가 존재한다.
유한 집합 위의 (원)전순서
[편집]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3c/13-Weak-Orders.svg/220px-13-Weak-Orders.svg.png)
유한 전순서 집합은 항상 정렬 집합이며, 따라서 그 크기에 따라 완전히 분류된다.
크기 의 유한 집합 위의 원전순서들의 수는 푸비니 수(영어: Fubini number) 이라고 한다.[2]:228 크기 의 유한 집합 위의 전순서들의 수는 계승 이다. 이들의 값은 다음과 같다. ((OEIS의 수열 A670), (OEIS의 수열 A142)).
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
1 | 1 | 3 | 13 | 75 | 541 | 4683 | 47293 | |
1 | 1 | 2 | 6 | 24 | 120 | 720 | 5040 |
예
[편집]모든 순서체는 전순서 집합이다. 예를 들어, 실수체 , 유리수체 등은 표준적인 순서를 부여하면 전순서 집합을 이룬다. 정수환 나 자연수의 모노이드 역시 전순서 집합이다. 이들 집합 가운데, 자연수의 집합을 제외한 나머지는 정렬 집합이 아니다.
아론샤인 직선
[편집]아론샤인 직선(영어: Aronszajn line)은 다음 조건들을 만족시키는 전순서 집합이다.[3]:43–44, Chapter 14
- 크기가 이다.
- (최소 비가산 순서수)과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
- (의 반대 순서)와 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
- 의 비가산 부분 집합과 순서 동형인 부분 집합을 갖지 않는다.
아론샤인 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있다. 아론샤인 직선은 나흐만 아론샤인(폴란드어: Nachman Aronszajn, 1907~1980)이 도입하였다.
컨트리먼 직선
[편집]원순서 집합들의 족 이 주어졌을 때, 곱집합 위에 원순서
를 줄 수 있다.
컨트리먼 직선(영어: Countryman line)은 다음 조건을 만족시키는 전순서 집합 이다.
컨트리먼 직선의 존재는 선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론만으로 보일 수 있으며, 이는 사하론 셸라흐가 증명하였다.[4]
역사
[편집]가산 조밀 전순서 집합의 분류 정리[5]:§9, 504–507 와 분해 가능 완비 전순서 집합의 분류 정리[5]:§11, 510–512는 게오르크 칸토어가 1895년에 증명하였다.
각주
[편집]- ↑ 가 나 Geschke, Stefan (2016). “Separable linear orders and universality” (영어). arXiv:1606.00338. Bibcode:2016arXiv160600338G.
- ↑ Comtet, Louis (1974). 《Advanced combinatorics: The art of finite and infinite expansions》 (영어). Dordrecht: Reidel Publishing Company. Zbl 0283.05001.
- ↑ Just, Winfried; Weese, Martin (1997). 《Discovering modern set theory II: set-theoretic tools for every mathematician》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 18. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0528-2. Zbl 0887.03036.
- ↑ Shelah, Saharon (1976년 7월). “Decomposing uncountable squares to countably many chains”. 《Journal of Combinatorial Theory Series A》 (영어) 21 (1): 110–114. doi:10.1016/0097-3165(76)90053-4. ISSN 0097-3165.
- ↑ 가 나 Cantor, Georg (1895). “Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (Erster Artikel)”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 46 (4): 481–512. doi:10.1007/bf02124929. ISSN 0025-5831.
외부 링크
[편집]- “Totally ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Total order”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Totally ordered set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Total order”. 《nLab》 (영어).
- “Linear order”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: total ordering”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Definition: totally ordered set”. 《ProofWiki》 (영어).
- “Are all sets totally ordered?” (영어). Math Overflow.