완전 함자

호몰로지 대수학에서 완전 함자(完全函子, 영어: exact functor)는 두 아벨 범주 사이의, 짧은 완전열을 보존하는 함자이다.

정의

아벨 범주 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {C}}$에서 ${\mathcal {D}}$로 가는 가법 함자(영어: additive functor)는 다음 성질을 만족시키는 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$이다.

• (가법성) 모든 대상 $A,B\in {\mathcal {C}}$에 대하여, $F|_{\hom(A,B)}\colon \hom(A,B)\to \hom(F(A),F(B))$는 아벨 군의 군 준동형이다.

아벨 범주 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$ 사이의 완전 함자는 다음 성질을 만족시키는 가법 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$이다.

• (완전열의 보존) ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to \mathbb {C} \to 0$에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$는 ${\mathcal {D}}$ 속의 짧은 완전열을 이룬다.

아벨 범주 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$ 사이의 가법 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 왼쪽 완전 함자(영어: left-exact functor)라고 한다.

• ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$는 ${\mathcal {D}}$ 속의 완전열을 이룬다.
• ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 완전열 $0\to A\to B\to C$에 대하여, $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$는 ${\mathcal {D}}$ 속의 완전열을 이룬다.

아벨 범주 ${\mathcal {C}}$와 ${\mathcal {D}}$ 사이의 가법 함자 $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 오른쪽 완전 함자(영어: right-exact functor)라고 한다.

• ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 짧은 완전열 $0\to A\to B\to C\to 0$에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$는 ${\mathcal {D}}$ 속의 완전열을 이룬다.
• ${\mathcal {C}}$ 속의 임의의 완전열 $A\to B\to C\to 0$에 대하여, $F(A)\to F(B)\to F(C)\to 0$는 ${\mathcal {D}}$ 속의 완전열을 이룬다.

예

아벨 범주의 동치는 항상 완전 함자이다.

아벨 범주 ${\mathcal {C}}$의 사영 대상 $P\in {\mathcal {C}}$가 주어지면,

$\hom(P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab}$

는 완전 함자이다. 마찬가지로, 단사 대상 $I\in {\mathcal {C}}$가 주어지면,

$\hom(-,I)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Ab} ^{\operatorname {op} }$

는 완전 함자이다.

체 $K$에 대한 벡터 공간들의 범주 $K-\operatorname {Vect}$의 경우, 쌍대 공간

$V^{*}=\hom(V,K)$

은 완전 함자

$\hom(-,K)\colon K-\operatorname {Vect} \to K-\operatorname {Vect} ^{\operatorname {op} }$

를 정의한다.

외부 링크

• “Exact functor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Exact functor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Exact functor”. 《nLab》 (영어). 
• “Additive functor”. 《nLab》 (영어).