십이진법

십이진법(十二進法, duodecimal, dozenal)은 12를 밑으로 한 기수법이다.

기수법

육진법	1	2	3	4	5	10	11	12	13	14	15	20	21	22	23	24	25	30	31	32
십진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
십이진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	X	E	10	11	12	13	14	15	16	17	18
이십진법	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	10

십이진수를 나타 내기위한 통일 된 표기법은 아니지만, 일반적으로는 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9의 십 개의 숫자 이외에 십를 나타내는 A, 십일을 나타내는 B를 사용한다. 수열 도 위의 표와 같이 십진법 12가 "10", 십진법 13가 "11", 십진법 14가 "12"이된다.

십이진법은 "3의 4 배는 10" "4의 3 배는 10"이므로, 소인수는 2와 3에서 육진법 (2의 3 배는 10)와 같지만, 구조는 "홀수의 4 배"에서 이십진법 (4의 5 배는 10)과 같다. 따라서, 나눗셈이 쉬운 점은 육진법과 같지만, "큰 소를 겸하는"라는 본질은 이십진법과 같다. 또한 십이진법과 십팔진법는 4와 9의 입장이 역전한다. 십팔진법으로는 한 자리에서 9 분할이 가능하지만 한 자리에서 4 분할 할 수 없는 반면, 십이진법은 한 자리에서 4 분할이 가능하지만 한 자리에서 9 분할 수 없다.

자리수의 증가 속도는 육진법보다 이십진법에 가깝다. 예를 들어, 십이진법 1000은 육진법에서는 12000 (8 배 느린)하지만 이십진법에서는 468 (5 배 빠른), 십진법은 1728 (1 배 반 느린)이다. 4 승수 인 10000은 육진법에 240000 (24_육진 배 = 16_십진 배 느린)가 이십진법에서는 2BGG (8 배 빠른), 십진법에서는 20736 (2 배 느린)가된다.

정수의 예

26 = 십진법 30 (2×12 + 6)
30 = 육진법 100 = 십진법 36 (3×12)
39 = 십진법 45 (3×12 + 9)
50 = 십진법 60 (5×12)
54 = 육진법 144 = 십진법 64 (5×12 + 4)
76 = 십진법 90 (7×12 + 6)
100 = 육진법 400 = 십진법 144 (1×12²)
160 = 육진법 1000 = 십진법 216 (1×12² + 6×12¹)
1A6 = 십진법 270 (1×12² + 10×12¹ + 6)
260 = 십진법 360 (2×12² + 6×12¹)
294 = 이십진법 100 = 십진법 400 (2×12² + 9×12¹ + 4)
441 = 십진법 625 (4×12² + 4×12¹ + 1)
500 = 십진법 720 (5×12²)
6B4 = 십진법 1000 (6×12² + 11×12¹ + 4)
859 = 십진법 1221 (8×12² + 5×12¹ + 9)
900 = 육진법 10000 = 십진법 1296 (9×12²)
1000 = 십진법 1728 (1×12³)
11A8 = 십진법 2000 (1×12³ + 1×12² + 10×12¹ + 8)
1945 = 십진법 3077 (1×12³ + 9×12² + 4×12¹ + 5)
2454 = 십육진법 1000 = 십진법 4096 (2×12³ + 4×12² + 5×12¹ + 4)
3460 = 십팔진법 1000 = 십진법 5832 (3×12³ + 4×12² + 6×12¹ + 0)
3969 = 구진법 10000 = 십진법 6561 (3×12³ + 9×12² + 6×12¹ + 9)
4768 = 이십진법 1000 = 십진법 8000 (4×12³ + 7×12² + 6×12¹ + 8)
5000 = 이십진법 11C0 = 십진법 8640 (5×12³)
6000 = 십진법 10368 (6×12³)
BA95 = 십진법 20561 (11×12³ + 10×12² + 9×12¹ + 5)
10000 = 십진법 20736 (1×12⁴)
23000 = 육진법 1,000,000 = 십진법 46656 (2×12⁴ + 3×12³)

사칙 연산의 예

십이진법 2454 + 68 = 2500 : 십육진법 1000 + 50 = 1050 : 십진법 4096 + 80 = 4176 : 육진법 30544 + 212 = 31200
십이진법 11A8 - 39 = 116B : 이십진법 500 - 25 = 4HF : 십진법 2000 - 45 = 1955 : 육진법 13132 - 113 = 13015
십이진법 1A6 × 4 = 760 : 이십진법 DA × 4 = 2E0 : 십진법 270 × 4 = 1080 : 육진법 1130 × 4 = 5000
십이진법 3460 ÷ 9 = 460 : 십팔진법 1000 ÷ 9 = 200 : 십진법 5832 ÷ 9 = 648 : 육진법 43000 ÷ 13 = 3000

소수

주요 분수

1/2 = 0.6
1/3 = 0.4 (육진법 0.2, 십진법 0.3333…, 이십진법 0.6D6D…)
2/3 = 0.8
1/4 = 0.3 (육진법 0.13, 십진법 0.25, 이십진법 0.5)
3/4 = 0.9
1/5 = 0.2497… (육진법 0.1111…, 십진법 0.2, 이십진법 0.4)
2/5 = 0.4972…
3/5 = 0.7249…
4/5 = 0.9724…
1/6 = 0.2 (육진법 0.1)
1/7 = 0.186A35…
1/8 = 0.16 (육진법 0.043, 십진법 0.125, 이십진법 0.2A)
1/9 = 0.14 (육진법 0.04, 십진법 0.1111…, 이십진법 0.248HFB… )
1/A = 0.12497…
1/B = 0.1111…
1/10 = 0.1 (육진법 0.03, 1/20 ; 십진법 0.08333…, 1/12 ; 이십진법 0.1D6D6…)

기타

1/14 = 0.09 (육진법 0.0213, 2^-4 ; 십진법 0.0625, 1/16 ; 이십진법 0.15)
1/16 = 0.08 (육진법 0.02, 1/30 ; 십진법 1/18)
1/18 = 0.07249… (육진법 0.01444…, 1/32 ; 십진법 0.05, 1/20 ; 이십진법 0.1)
1/20 = 0.06 (육진법 0.013, 1/40 ; 십진법 1/24)
1/23 = 0.054 (육진법 0.012, 3^-3, 십진법 1/27)
1/28 = 0.046 (육진법 0.01043, 2^-5, 십진법 1/32)
1/30 = 0.04 (육진법 0.01, 1/100 ; 십진법 1/36)
1/40 = 0.03 (육진법 0.0043, 십진법 1/48)
1/46 = 0.028 (육진법 0.004, 십진법 1/54)
1/54 = 0.023 (육진법 0.003213, 2^-10; 십진법 1/64, 2^-6)
1/60 = 0.02 (육진법 0.003, 1/200 ; 십진법 1/72)
1/69 = 0.0194 (육진법 0.0024, 3^-4, 십진법 1/81)
1/80 = 0.016 (육진법 0.00213, 1/240 ; 십진법 1/96)
1/90 = 0.014 (육진법 0.002, 1/300 ; 십진법 1/108)
1/A8 = 0.0116 (육진법 0.0014043, 2^-11 ; 십진법 1/128, 2^-7)
1/100 = 0.01 (육진법 0.0013, 1/400 ; 십진법 1/144)
1/116 = 0.00A8 (육진법 0.0012, 1/430 ; 십진법 1/162)
1/160 = 0.008 (육진법 0.001, 1/1000 ; 십진법 1/216)
1/183 = 0.00714 (육진법 0.00052, 3^-5 ; 십진법 1/243)
1/194 = 0.0069 (육진법 0.00050213, 2^-12 ; 십진법 1/256, 2^-8)
1/200 = 0.006 (육진법 0.00043, 1/1200 ; 십진법 1/288)
1/230 = 0.0054 (육진법 0.0004, 1/1300 ; 십진법 1/324)
1/300 = 0.004 (육진법 0.0003, 1/2000 ; 십진법 1/432)

2의 멱수에 의한 제산
멱 지수	육진법	십이진법	십팔진법
2^-1	0.3 (3 / 10)	0.6 (10 / 20)	0.9 (13 / 30) → 분자가 3²
2^-2	0.13 (13 / 100)	0.3 (3 / 20) → 분자가 2√13	0.49 (213 / 1300) → 분자가 13²
2^-3	0.043 (43 / 1000)	0.16 (30 / 400)	0.249 (3213 / 43000) → 분자가 43²
2^-4	0.0213 (213 / 10000)	0.09 (13 / 400) → 분자가 2√213	0.1249 (50213 / 2,130000) → 분자가 213²
2^-5	0.01043 (1043 / 100000)	0.046 (130 / 12000)	0.0A249 (1,133213 / 104,300000) → 분자가 1043²
2^-6	0.003213 (3213 / 1,000000)	0.023 (43 / 12000) → 분자가 2√3213	0.051249 (15,220213 / 3213,000000) → 분자가 3213²
2^-7	0.0014043 (14043 / 10,000000)	0.0116 (430 / 240000)	0.029A249 (250,303213 / 140430,000000) → 분자가 14043²
2^-8	0.00050213 (50213 / 100,000000)	0.0069 (213 / 240000) → 분자가 2√50213	0.014E1249 (4134,350213 / 5,021300,000000) → 분자가 50213²

※ 육진 분수로의 환산 치도 함께 게재한다. 자리수는 육개 마다 ( (2×3)^2×3 = 1,000000 육진수 = 46656 십진수)로 구분되어있다.

3의 멱수에 의한 제산
멱 지수	육진법	십이진법	십팔진법
3^-1	0.2 (2 / 10)	0.4 (4 / 20) → 분자가 2²	0.6 (10 / 30)
3^-2	0.04 (4 / 100)	0.14 (24 / 400) → 분자가 4²	0.2 (2 / 30) → 분자가 2√4
3^-3	0.012 (12 / 1000)	0.054 (144 / 12000) → 분자가 12²	0.0C (20 / 1300)
3^-4	0.0024 (24 / 10000)	0.0194 (1104 / 240000) → 분자가 24²	0.04 (4 / 1300) → 분자가 2√24
3⁵	0.00052 (52 / 100000)	0.00714 (4424 / 5,200000) → 분자가 52²	0.016 (40 / 43000)
3^-6	0.000144 (144 / 1,000000)	0.002454 (30544 / 144,000000) → 분자가 144²	0.008 (12 / 43000) → 분자가 2√144
3^-7	0.0000332 (332 / 10,000000)	0.0009594 (203504 / 3320,000000) → 분자가 332²	0.002C (120 / 2,130000)
3^-8	0.00001104 (1104 / 100,000000)	0.00031B14 (1,223224 / 110400,000000) → 분자가 1104²	0.000G (24 / 2,130000) → 분자가 2√1104

※ 육진 분수로의 환산 치도 함께 게재한다. 자리수는 육개 마다 ( (2×3)^2×3 = 1,000000 육진수 = 46656 십진수)로 구분되어있다.

명수법

십이진수에 이름을 붙이는 방법에도 통일된 방법은 없으나 영어로는 아래와 같이 표현하는 방법이 있다.

십이진수	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	10
명칭	one	two	three	four	five	six	seven	eight	nine	dek	el	do

용도

"십이"는 "이육" (10₍₁₂₎, 12₍₁₀₎, 20₍₆₎) 라고도 부를 수있는 숫자로, 2, 3, 4, 6의 배수인 관계로 편리하기 때문에 생겨났으며, 다양한 단위로 이용되어왔다.

현재도 다양한 단위로 십이진법에 해당하는 것을 볼 수 있다. 이를테면 1 타는 12₍₁₀₎ 개, 1 그로스는 12₍₁₀₎ 타 (144₍₁₀₎개 = 400₍₆₎개), 1 인치는 12₍₁₀₎ 라인, 1 피트는 12₍₁₀₎ 인치 (144₍₁₀₎ 라인)에 해당하는 것 등이다.

십 (A₍₁₂₎, 10₍₁₀₎, 14₍₆₎)은 2와 5로 밖에 나눌 수 없다. 십육 (14₍₁₂₎, 16₍₁₀₎, 24₍₆₎)은 2의 멱 승수 (2,4, 8,십육)로 밖에 나눌 수 없다. 육 (6, 10₍₆₎)은 2와 3에서 분할 수 있지만, 하나의 자릿수에서 4 분할 못하고, 4 분할는 2 승수를 가진 십진법 36 (육진법 100 = 십이진법 30)까지 기다려야한다. 십이는 하나의 자릿수에서 2,3,4,6의 상관 없음 나누기 수있다.

조금 큰 숫자는 이십 (18₍₁₂₎, 20₍₁₀₎, 32₍₆₎)는 십이와 유사하고, 이쪽은 3과 5가 역전한 다음 하나의 자릿수에서 2,4,5,A의 상관 없음 나누기 수있다. 마찬가지로, 십팔 ("삼육", 16₍₁₂₎, 18₍₁₀₎, 30₍₆₎)도 십이과 유사하며, 이쪽은 4과 9가 역전한 다음 하나의 자릿수에서 2,3,6,9의 상관 없음 나누기 수있다. 이들 중 육 (2×3), 십이 (3×4), 이십 (4×5)의 세 가지 장방형 수 (rectanglar number)이며, 십이는 중앙에 온다.

그러나 견해를 바꾸면, 십이진법은 자릿수 감축, 4 분할 과 4의 배수에 의한 설정의 용이 화 (이들은 이십진법에서도 같은), 게다가 3 분할 수 있는 장점을 가지고있는 반면, 4 (= 2²)와 9 (= 3²)를 대조 물에 취급 할 수 없는 단점을 가지고있다. 십이진법에서는 "9 분할은 100 (육진법 400 = 십진법 144)까지 기다리지 않으면 안된다." 이와는 반대로, 육진법에서는 자리수가 늘어날 대신에 4와 9 (13₍₆₎)를 동일하게 처리할 수 있는 장점을 가지고 있으며, 4 분할 과 9 분할을 동일한 자리수 (100)에서 수행할 수 있다.

마찬가지로 육진법에서는 3 승수 인 십진법 216 (십이진법 160 = 육진법 1000)에서 8 분할 (2^-3) 과 27₍₁₀₎ 분할 (3^-3)이 가능하며, 4 승수 인 십진법 1296 (십이진법 900 = 육진법 10000)에서 16₍₁₀₎ 분할 (2^-4) 과 81₍₁₀₎ 분할 (3^-4)이 가능하게 되는 반면, 십이진법에서는 27₍₁₀₎ 분할은 십진법 1728 (십이진법 1000 = 육진법 12000)까지 기다려야한다. 나눗셈도 육진법에서는 3⁴의 역수는 분자가 2⁴이지만, 십이진법에서는 3⁴의 역수는 분자가 2⁸이되어 버린다.

2의 멱수와 3의 멱수의 곱셈
곱셈	육진법	십이진법	십팔진법	십진법	이십진법
2²×3²	4×13 = 100	4×9 = 30	4×9 = 20	4×9 = 36	4×9 = 1G
2⁴×3²	24×13 = 400	14×9 = 100	G×9 = 80	16×9 = 144	G×9 = 74
2³×3³	12×43 = 1000	8×23 = 160	8×19 = C0	8×27 = 216	8×17 = AG
2²×3⁴	4×213 = 1300	4×69 = 230	4×49 = 100	4×81 = 324	4×41 = G4
2⁴×3⁴	24×213 = 10000	14×69 = 900	G×49 = 400	16×81 = 1296	G×41 = 34G
2⁶×3³	144×43 = 12000	54×23 = 1000	3A×19 = 560	64×27 = 1728	34×17 = 468
2³×3⁶	12×3213 = 43000	8×509 = 3460	8×249 = 1000	8×729 = 5832	8×1G9 = EBC
2⁵×3⁵	52×1043 = 100000	28×183 = 4600	1E×D9 = 1600	32×243 = 7776	1C×C3 = J8G
2⁸×3⁴	1104×213 = 240000	194×69 = 10000	E4×49 = 3A00	256×81 = 20736	CG×41 = 2BGG
2⁶×3⁶	144×3213 = 1000000	54×509 = 23000	3A×249 = 8000	64×729 = 46656	34×1G9 = 5GCG

같이 보기

외부 링크

(영어) 미국십이진법학회