ಗೋಳ

ಗೋಳ ಎಂದರೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಆಕೃತಿ (sphere). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಕಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ. ಚಿತ್ರ (1)ರಲ್ಲಿ ೦ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. OA=OB=OC=...=OH=r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಆಗಿರುವಂತೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ A ಯಿಂದ F ವರೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರರೂಪೀ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಂಥ ಸಮಸ್ತ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿ ರಚಿಸುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸಂವೃತಾಕೃತಿಯೇ ಗೋಳ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ (0) ಹೆಸರು ಕೇಂದ್ರ ; ಸ್ಥಿರ ದೂರದ (r) ಹೆಸರು ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಒಂದು ಗೋಳ ಘನವಾಗಿರಬಹುದು (ಸಾಲಿಡ್) ಇಲ್ಲವೇ ಟೊಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು (ಹಾಲೋ). ಘನಗೋಳವನ್ನು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಏಕಕೇಂದ್ರಿಯ ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳಗಳ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಉಂಟು. ಟೊಳ್ಳುಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿಯುವುದು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ. r ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರ ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$ . ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಲೆ $4\pi r^{2}$ . ಅನ್ಯಥಾ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗೋಳವೆಂದಾಗ ಘನಗೋಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು.

ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ

ಕೇಂದ್ರವನ್ನು (o) ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿಯೂ ಆಯಬೇಕು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚರಬಿಂದು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x, y, z) ಆಗಿರಲಿ.OP = r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ತ್ರಿಜ್ಯ) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ P ಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ $x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}$ ಎಂದಾಗುವುದು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವೂ ಇದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದೇ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು C (g,f,h) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಈ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ $(x-g)^{2}+(y-f)^{2}+(z-h)^{2}=r^{2}$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2gx-2fy-2hz+g^{2}+f^{2}+h^{2}-r^{2}=0$ ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ತಿಳಿಯುವ ಸಂಗತಿಗಳಿಷ್ಟು : ಇದೊಂದು x, y, z ಚರಗಳಲ್ಲಿನ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ; ಇದರಲ್ಲಿ xy,yz,zx ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ ; ಮತ್ತು $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ x, y, z ಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳ

ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಮತಲ ಹಾಗೂ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಇವೆ - ತಲ ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ; ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವೃತ್ತ ಬಿಂದು (ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು) ಆಗುತ್ತದೆ ; ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. S $\equiv \!\,$ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2gx+2fy+2hz+c=0$ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣವು P $\equiv \!\,$ $lx+my+nz+1=0$ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (ವೃತ್ತದ) ಸಮೀಕರಣ ಇವೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ: S = 0 P = 0

ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವೆಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಛೇದಿಸುವಾಗ ಲಭಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗದವು ಇವೆ. ಗೋಳಕೇಂದ್ರ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವೂ ಆಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು;

ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ ಗೋಳಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಅಲ್ಪ ವೃತ್ತಗಳು. ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗದ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅನಂತ. ಎಲ್ಲ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

ಸರಳರೇಖೆ ಮತ್ತು ಗೋಳ

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಲ್ಲದು ; ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಲ್ಲದು; ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸದಿರಬಲ್ಲದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕರೇಖೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸಗಳು. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪರಿಮಿತ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ; ಇದರ ಉದ್ದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಎರಡರಷ್ಟು.

ಮಹಾವೃತ್ತ

ಯಾವುದೇ ಮಹಾವೃತ್ತ ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇವು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳು). $\sigma$ ಇಂಥ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ. o ಇದರ ಕೇಂದ್ರ (ಗೋಳದ ಸಹ).AOB ವ್ಯಾಸ $\sigma$ ದ ತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದ ವ್ಯಾಸ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ (ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ) ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಅಕ್ಷದ ಎರಡು ಕೊನೆಗಳಿಗೆ (A, B) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಧ್ರುವಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. P ಯು $\sigma$ ದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಆಗಿದ್ದರೆ $\angle AOP=\angle BOP$ =90° ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. $\sigma$ ಮಹಾವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳಿಗೂ AB ಯೇ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು A, B ಗಳೇ ಧ್ರುವಗಳು. ಇಂಥ ಒಂದು ಅಲ್ಪವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ Q ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ $\angle AOQ\neq$ 90° ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು. $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ , ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಿದೆ.) ಇವು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ABC ಎನ್ನುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7ರಲ್ಲಿ ನೆರಳು ಮಾಡಿದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ರಚಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ

ಗೋಳಖಂಡ

P ಸಮತಲ S ಗೋಳವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ S1 ಮತ್ತು S2 ಎನ್ನುವ ಎರಡು ಗೋಳಖಂಡಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಒಂದೊಂದು ಖಂಡವನ್ನೂ ಗೋಳೀಯ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಕ್ಯಾಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

S1 ಟೊಪ್ಪಿಗೆಯ ಪಾದವೃತ್ತದ ( $\sigma$ ) ತ್ರಿಜ್ಯ a (=CL) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ h (=CA) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಅದರ ಘನಗಾತ್ರ ${\tfrac {\pi h}{6}}$ $(3a^{2}+h^{2})$ ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ $\pi (a^{2}+h^{2})$ . h = 2r , a = 0 ಆದಾಗ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಗೋಳದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ $4pr^{2}$ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಗಮಿಸಬಹುದು. h ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ ( $\sigma _{1},\sigma _{2}$ ) ತಲಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಈಗ ದೊರೆಯುವ ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳ ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು $r_{1},r_{2}$ ಆಗಿರಲಿ. ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದ ಬಳಿಕ ಉಳಿಯುವ ಗೋಳಖಂಡದ (S’) ಘನಗಾತ್ರ ${\tfrac {\pi h}{6}}$ $(3r_{1}^{2}+3r_{2}^{2}+h^{2})$

ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ಸಲೆಗಳು $B_{1}(=pr1^{2})$ ಮತ್ತು $B_{2}(=pr2^{2})$ ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಗೋಳಛೇದದ ( $\sigma$ ವೃತ್ತ) ಸಲೆ M ಎಂಬು ದಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ ಈ ಘನಗಾತ್ರದ ಬೆಲೆ ${\tfrac {h}{6}}$ $B_{1}+4M+B_{2}$ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಯಿಡಲ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. h = 2r, ಎಂದರೆ h ಅಂತರ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ ಆದಾಗ $r_{1}=r_{2}=o$ ಆಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಖಂಡ ಇಡೀ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ $B_{1}=B_{2}=0$ ಮತ್ತು $M=\pi r^{2}$ ಆಗುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬೆಲೆ ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತೆ, ${\tfrac {2r}{6}}$ $4\pi r2$ = 4/3 $\pi r3$ . ಆಗುತ್ತದೆ.