ក្នុងគណិតវិទ្យា ការប្តូរអថេរគឺជាវិធីសាស្រ្តជំនួសអញ្ញត្តិឬអនុគមន៍មួយដោយអញ្ញតិ្តមួយ ឬ អនុគមន៍មួយផ្សេងទៀត។ វាជាវិធីសាស្រ្តដ៏ចំបងក្នុងគណនាអាំងតេក្រាល។
នេះជាក្បួនគណនាអាំងតេក្រាលដោយចាប់ផ្តើមពីទ្រឹស្តីបទដេរីវេនៃអនុគមន៍បណ្តាក់ (ឬហៅថាក្បួនឆេន, Chain Rule) ។ គេមានពីរអនុគមន៍ដេរីវេ
និងតាមនិយមន័យអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle \int f'(x)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} f(x)=f(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31430832d1eb9dfa10e3891a028d54875d9feed0)
គេបាន
![{\displaystyle \int \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} g(x)}}f(g(x))\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}g(x)\right)\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} [f\circ g(x)]=f\circ g(x)+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/106581f86d54fc53c890c09a62d717ac2912bd0c)
គណនាអាំងតេក្រាល
![{\displaystyle \int _{-{\sqrt {\pi }}}^{2{\sqrt {\pi }}}2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2095d2d61a6c28f031e9512511a7034058a34183)
ដោយការប្តូរអថេរ
ហេតុនេះ
។
ប្រែប្រួលលើចន្លោះ
និង
គេបាន
ប្រែប្រួលលើចន្លោះ
និង
។
![{\displaystyle \int _{-{\sqrt {\pi }}}^{2{\sqrt {\pi }}}2x\cos(x^{2})\mathrm {d} x=\int _{\pi }^{4\pi }\cos(u)\mathrm {d} u=[\sin(u)]_{\pi }^{4\pi }=\sin(4\pi )-\sin {\pi }=0-0=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c8bc960581d7ad290f3ade3adf1ff614fae9912)
គេមាន
ជាអនុគមន៍ជាប់ និង
ជាអនុគមន៍នៃថ្នាក់
(អាចនិយាមបានថាជាអនុគមន៍មានដេរីវេ និង ដេរីវេរបស់វាជាអនុគមន៍ជាប់) នៅលើចន្លោះ
នោះគេបានរូបភាពវាជាប់នៅលើដែនកំនត់នៃ
។ ហេតុនេះ
![{\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/437cd169ad35d2e48fe4ee1059cdcce89b905e2a)
គេមាន
ជាអនុគមន៍ជាប់ និងមានព្រីមីទីវ
លើដែនកំនត់
។ អនុគមន៍
ជាអនុគមន៍មានដេរីវេ ដែលជាបណ្តាក់នៃពីរអនុគមន៍ គេបាន
![{\displaystyle (F\circ \varphi )'=(f\circ \varphi )\times \varphi '}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/170516a425672318973fa90e24be2ca5cd13fb04)
ដែល
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (t))\varphi '(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}((f\circ \varphi )\times \varphi ')(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a72bed07a61ffbbc34805475fa1a2403afa103b)
![{\displaystyle =\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(t)\,\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81c3a265cbbffb8a887d04d5043b3b381fcbd061)
![{\displaystyle =\left[F\circ \varphi \right]_{a}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfa20bce6fd273704dc54278136bc3cb6cbc4ec2)
![{\displaystyle =F(\varphi (b))-F(\varphi (a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6345fd2ef060d111859d44357acf3887fb66732d)
![{\displaystyle =\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfd889e35ee5bad6e3f45acf88ec6dd089c649b7)
វិធីសាស្ត្រប្តូរអថេរចំពោះអនុគមន៍អសនិទាន
[កែប្រែ]
ដើម្បីគណនា
![{\displaystyle \int {f\left(x,{\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }}}\right)\mathrm {\mathrm {d} } x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6ed083f72b0a21ff97069643f74a65a4c3fd757)
ដែល
ជាអនុគមន៍អសនិទាននៃពីរអថេរ។ n ជាចំនួនគត់ធម្មជាតិ និង a, b, c, d ជាចំនួនពិតគេអោយ។ គេតាង
![{\displaystyle u={\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+\mathrm {d} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dde31ab0b8c9004af9ae94c578f73d5741a98ff)
ករណីអាំងតេក្រាលច្រើនជាន់
[កែប្រែ]
គេមាន f ជាអនុគមន៍ច្រើនអថេរ ម្យ៉ាងវិញទៀតការប្តូរអថេរនៃដែនកំនត់អាំងតេក្រាល គេប្រើយ៉ាកូបីនៃបំលែងឡាប្លាសនៃ
។ យ៉ាកូបីគឺជាដេទែមីណង់នៃម៉ាទ្រីសយ៉ាកូបី។ គេអោយរូបមន្តអិចផ្លីស៊ីត (explicit) នៃការប្តូរអថេរ គេបាន
![{\displaystyle \iint _{D}f(x,y)\;\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\iint _{T}f{\bigl (}\phi (u,v),\Psi (u,v){\bigr )}\left|{\frac {\partial (\phi ,\Psi )}{\partial (u,v)}}(u,v)\right|~\mathrm {d} u\mathrm {d} v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5dabc7e028fe1caa7d3c46935c5248990cacb8)