Аналитикалық функция

Аналитикалық функция , голоморфты функция — дәрежелік қатар түрінде өрнектелетін функция. А. ф. теориясының негізі 19 ғ-да француз математигі Огюстен Луи Коши (1789 — 1857), неміс математиктері Б.Риман (1826 — 1866) және К.Вейерштрасс (1815 — 1897) еңбектерінің нәтижесінде қаланды. Математикада А. ф. ұғымы әр түрлі көзқараспен қалыптасты. Олардың біріне алдымен О. Коши, кейіннен Б. Риман одан әрі дамытқан бірінші ұғымның негізіне функцияның құрылымдық қасиеті яғни функцияның комплекстік айнымалы шама бойынша туындысы болуы (немесе дифференциалдануы) алынды. Бұл көзқарас функцияны геометрия тұрғысынан сипаттауға мүмкіндік берді. К. Вейерштрасс дамытқан екінші көзқарас — функцияны дәрежелік қатар арқылы өрнектеу мүмкіндігіне негізделген; ол функцияны кескіндеуге болатын аналитикалық аппаратпен байланысты. А. ф-ның дәл анықтамалары төмендегідей болып келеді. Комплекстік жазықтықта (аймағы беріліп, осы аймақта функциясы анықталсын делік және — нүктесінің өсімшесі, ал оған сәйкес — функциясының өсімшесі болсын. Сонда шамасы функциясының нүктесіндегі туындысы деп аталады. Осы нүктеде функциясы — дифференциалданатын функция. Ал (аймағының барлық нүктелерінде дифференциалданатын функция осы аймақта А. ф. болады. Егер функция нүктесінің аймағында А. ф. болса, онда ол осы аймақта функциясы мынадай дәрежелік қатар түрінде өрнектеледі: Керісінше, (1) қатармен өрнектелетін функция нүктесінің аймағында А. ф. болады. А. ф-ның негізгі қасиеттері тәуелсіз айнымалы шаманың комплекстік мәндеріндегі өзгерістерімен сипатталатындықтан А. ф. теориясы көбінесе комплекстік айнымалы шамалар функциясының теориясы деп те аталады. А. ф-ларға көпмүшелер, тригонометриялық функциялар, көрсеткіштік функция, цилиндрлік функция жатады. А. ф-лар теориясы физикада, механикада, техникада, сондай-ақ арнаулы функциялар теориясында және математиканың басқа салаларында пайдаланылады.

Аналитикалық функцияның шекаралық қасиеттері

Аналитикалық функцияның шекаралық қасиеттері - аналитикалық функцияның анықталу аймағының шекарасына жақындағанда айқындалатын осы функцияның қасиеттері. Аналитикалық функцияның шекаралық қасиеттері теориясы төменде келтірілген үш бағытта қалыптасты: а) оқшауланған а$\in$Г шекаралық нүктесінің аймағында f(z)-тің өзгеру заңдылығын зерттеу. Бұл бағыттағы айтарлықтай маңызды шешімдерге Сохоцкий, Пикар, Жюлиа және Иверсен теоремалары жатады; б) Г шекарасы барлық жерде үзілісті болған жағдайда f(z)-тің шекара маңайындағы өзгеру заңдылығын зерттеу. Бұл бағыттағы маңызды шешімдер В.В. Голубевтің «Однозначные аналитические функции с совершенным множеством особых точек» (1916) еңбегінде келтірілген; в) D аймағы үзіліссіз тұйық Г қисығымен шенелген жағдайда f(z)-тің шекара маңайында өзгеру заңдылығын зерттеу.