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物理学における演算子(えんざんし、operator)とは
ある物理状態の空間から別の物理状態の空間への関数のこと。
演算子が用いられている最も簡単な例として対称性があり、群の考え方を有益にしている。
このことから、演算子は古典力学において非常に有用なツールとなる。
量子力学では演算子はさらに重要で、理論の定式化において本質的な部分をなす。
数学では「作用素」という語が使われているものと同じものであるが、以下では物理の観点から述べる(英語では同じ語で operator である)。
古典力学では粒子(または粒子系)の運動はラグランジアン
やそれと等価であるハミルトニアン
によって完全に決定される。これらは一般化座標q、一般化速度
、共役運動量
![{\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f56f836f03e204d83f907d56139361c73a88260a)
についての関数である。
LやHが一般化座標qと無関係であるときは、qが変化してもLやHは変化しない。よってqが変化しても粒子のダイナミクスは変わらないままであり、これらの座標に共役な運動量は保存する。(これはネーターの定理の一例で、座標qについての運動の不変性は対称性となる。)古典力学における演算子は、これらの対称性と関連している。
より専門的には、Hが変換Gの群の作用下で不変であるとき、
.
Gの元は物理的な演算子で、物理状態と対応する。
変換
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演算子
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位置
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運動量
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並進対称性
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時間並進
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回転不変性
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ガリレイ変換
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パリティ
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T対称性
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ここで
は、単位ベクトル
と角度θで定義される回転行列。
位置表示した波動関数
に対して、位置演算子
、運動量演算子
である(
は虚数単位、
はディラック定数)。
運動量表示した波動関数
に対して、運動量演算子
、位置演算子
である。
量子力学における演算子は必ずしも交換しない。たとえば上記の位置演算子と運動量演算子は非可換である:
(不確定性原理も参照)。