利用者:位相空間を中和/sandbox

利用者:位相空間を中和/sandbox/1

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接続（せつぞく、英: connection）とは、微分幾何学および微分位相幾何学の概念で、接ベクトルバンドルやより一般のベクトルバンドルに微分概念を定義する演算子である。接続に定義される微分概念を共変微分という。

接続および共変微分の概念は元々リーマン多様体上のベクトル場の微分を定義するために導入されたもので、この接続をレヴィ＝チヴィタ接続という。一般の接続概念はレヴィ＝チヴィタ接続の満たす性質を自然に一般のベクトルバンドル拡張する事で得られる。

接続概念はクリストッフェル並びにレヴィ-チヴィタ、リッチによって導入された。

接続によって定まる重要な概念の一つとして平行がある。これは与えられたベクトル場の与えられた曲線に沿った共変微分が0になる、という趣旨の概念で、曲線に沿って平行なベクトル場X（あるいはより一般にベクトルバンドルの切断）により、曲線の起点PにおけるベクトルX_Pが曲線の終点曲線の起点QにおけるベクトルX_Qに平行移動されたとみなす。 これにより、（何ら構造が定義されていない）多様体では無関係なはずの点PにおけるベクトルX_Pと点QにおけるベクトルX_Qにおけるベクトルを「接続」して関係づけて考える事ができる。

接続によって定まるもう一つの重要概念として曲率があり、これはベクトルバンドルの「曲がり具合」を表している。特に接ベクトルバンドルの曲率は多様体それ自身の「曲がり具合」とみなせる。曲率概念は歴史的には3次元ユークリッド空間$\mathbb {R} ^{3}$内の曲面に対して定義されたものだが、実は「外の空間」である$\mathbb {R} ^{3}$がなくても定義できる曲面に内在的な量である事が示されたので、これを一般のリーマン多様体（の接ベクトルバンドル）、さらには一般のベクトルバンドルに対して拡張したものである。多様体に内在的な量としてみなしたとき、曲率の幾何学的意味は、閉曲線に沿ってベクトルを一周平行移動したとき、もとのベクトルとどの程度ずれるかを測った量であるとみなせる。

接続概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で用いられる。特にチャーン・ヴェイユ理論の特殊ケースとして、曲面に関する古典的なガウス・ボンネの定理を一般の偶数次元多様体に拡張するのに役立つ。

レヴィ-チヴィタ接続

モチベーション

可微分多様体M上の可微分な曲線$P(t)$を局所座標で$P(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))$と書くとき、$P(t)$の「１階微分」${\tfrac {dP(t)}{dt}}$は、

${dP(t) \over dt}={dx^{i} \over dt}{\partial \over \partial x^{i}}$

により定義される（アインシュタインの縮約記法で表記）。これはMが$\mathbb {R} ^{n}$の部分多様体であり、可微分な写像

${\vec {y}}~:~U\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$

によって$M={\vec {y}}(U)$と書ける場合、$P(t)$の$\mathbb {R} ^{n}$における接線が

${dP(t) \over dt}={dx^{i} \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}$

と書ける事からこのように定義したのであった。

では$P(t)$の「２階微分」や「３階微分」をどのように定義すべきか。そのためにM上の滑らかな曲線$P(t)$を考え、ベクトル$v(t)$で

$v(t)\in T_{P(t)}M$

であり、しかもMの接バンドルTM上で可微分なものを考え（すなわち$v(t)$は曲線$P(t)$上定義された可微分なベクトル場）、$v(t)$の「微分」をどのように定義すべきかを考える。例えば$v(t)$が１階微分${\tfrac {dP(t)}{dt}}$であれば、$v(t)$の微分は「２階微分」に相当し、$v(t)$が「２階微分」であれば$v(t)$の微分は「３階微分」に相当する。

$v(t)$の「微分」を定義するため、$P(t)$の１階微分${\tfrac {dP(t)}{dt}}$の場合と同様、Mが$\mathbb {R} ^{n}$の部分多様体の場合を考える。前述のように$T_{P(t)}M$は$P(t)$におけるMの$\mathbb {R} ^{n}$内の曲面としての接平面と同一視できるが、このとき$v(t)$の「微分」を

${\nabla v(t) \over dt}:=\mathrm {Pr} _{t}\left({dv(t) \over dt}\right)\in T_{P(t)}M$

により定義する。ここで「$\mathrm {Pr} _{t}$」は（$T_{P(t)}M$と同一視されている）MのP(t)における接平面への射影である。

実は以下の定理で示すように、${\tfrac {\nabla v(t)}{dt}}$は$\mathbb {R} ^{n}$のユークリッド計量が誘導するM上のリーマン計量を用いた式で書け、Mの$\mathbb {R} ^{n}$への埋め込み方に依存せず定義できる。よってMが任意のリーマン多様体の場合も、この式を用いて微分概念を定義できる。レヴィ-チヴィタ接続とはこのアイデアのもと定義されたリーマン多様体上の微分演算子であり、（レヴィ-チヴィタ接続から定まる）共変微分とは、レヴィ・チヴィタ接続による微分である。

定理 ―  n、m≦nを自然数とし、$\mathbb {R} ^{n}$上のm次元曲面

$M:={\vec {y}}(U)$、where ${\vec {y}}~:~U\subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},x\mapsto {\vec {y}}(x)=(y^{1}(x),\ldots ,y^{n}(x))$

を考え、この曲面$M={\vec {y}}(U)$に$\mathbb {R} ^{n}$のユークリッド計量から定まるリーマン計量を入れる。すなわち$M={\vec {y}}(U)$上の点${\vec {y}}(x)$における接平面

$\mathrm {span} \left({\partial {\vec {y}} \over \partial x^{1}},\ldots ,{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{m}}\right)$

に成分表示が

$g_{ij}=\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle$

となるリーマン計量をMに入れる。このとき、M上の可微分な曲線$P(t)={\vec {y}}(x(t))$と、可微分なベクトル$v(t)$で各時刻tに対して、$v(t)$がMの$P(t)$における接平面に属しているものとするとき、

$\mathrm {Pr} _{t}\left({d{\vec {v}}(t) \over dt}\right)=\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}$

が成立する（アインシュタインの縮約記法で表記）。ここで$\mathrm {Pr} _{t}$はMの$P(t)$における接平面への射影であり、

$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)$

であり、$(g^{i\ell })_{i\ell }$は$(g_{\ell j})_{\ell j}$の逆行列である。すなわち$\delta ^{i}{}_{j}$をクロネッカーのデルタとするとき、$g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}$である。

証明

${d \over dt}{\vec {v}}(t)$$={d \over dt}\left(v^{k}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))\right)$$={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))$

である。${\tfrac {\partial {\vec {y}}}{\partial x^{k}}}(x(t))$はMの${\vec {y}}(x(t))$における接平面に属しているので、

$\mathrm {Pr} _{t=0}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)$$={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}(x(t))+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)$ ...(1)

が成立する。よって後は$\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\tfrac {\partial ^{2}{\vec {y}}}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(x(t))\right)$の具体的な形を決定すれば良い。そのためには成分で

$\mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}(x(t))\right)$$=a_{jk}^{i}(t){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}(x(t))$ ...(2)

と書いて係数の$a_{jk}^{i}(t)$を決定すればよい。以下記号を簡単にするため「$a_{jk}^{i}(t)$」を単に「$a_{jk}^{i}$」と書き、偏微分から「$x(t)$」を省略する。すると、

$a_{jk}^{i}g_{i\ell }=a_{jk}^{i}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$$=\left\langle \mathrm {Pr} _{t=0}\left({\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}}\right),{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$$=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$

であるので、

$a_{jk}^{i}=g^{i\ell }\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$ ...(3)

である。一方ライプニッツ・ルールより

${\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}={\partial \over \partial x^{j}}\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$$=\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle +\left\langle {\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}},{\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{\ell }}\right\rangle$

であるので、添字をサイクリックに回すと、

${\begin{pmatrix}{\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}\\{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\\{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{\ell }\partial x^{j}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}\right\rangle \\\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{k}\partial x^{\ell }},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{j}}\right\rangle \end{pmatrix}}$

である。これを解いて、

${\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}=2\left\langle {\partial ^{2}{\vec {y}} \over \partial x^{j}\,\partial x^{k}},{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{\ell }}\right\rangle$

よって$\Gamma _{jk}^{i}$の定義と(3)より、

$a_{jk}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}$

が結論付けられる。よって(1)、(2)、(3)から

$\mathrm {Pr} _{t=0}\left({d \over dt}{\vec {v}}(t)\right)$$={dv^{k}(t) \over dt}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{k}}+v^{k}(t){dx^{j}(t) \over dt}\Gamma _{jk}^{i}{\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}$$=\left({dv^{i}(t) \over dt}+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j}(t) \over dt}v^{k}(t)\right){\partial {\vec {y}} \over \partial x^{i}}$

定義

以上の考察を踏まえ、レヴィ-チヴィタ接続を以下のように定義する：

定義 (レヴィ-チヴィタ接続、共変微分) ―  $(M,g)$をリーマン多様体とし、${\mathfrak {X}}(M)$をM上の可微分なベクトル場の集合する。写像

$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$

をベクトル場$X,Y\in {\mathfrak {X}}(M)$に対し、Pの周りの局所座標$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$を用いて以下のように定義し、$\nabla$を$(M,g)$のレヴィ-チヴィタ接続（英: Levi-Civita connection）、リーマン接続（英: Riemannian connection）もしくはリーマン・レヴィ-チヴィタ接続（英: Riemann Levi-Civita connection）と呼ぶ：

$\nabla _{X}Y:=\left(X^{\ell }{\partial Y^{i} \over \partial x^{\ell }}(P)+\Gamma _{jk}^{i}X^{j}Y^{k}(P)\right){\partial \over \partial x^{i}}{\Bigg |}_{P}\in T_{P}M$

ここで$X=X^{i}{\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{P}$、$Y_{P}=Y^{i}(P){\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}{\Big |}_{P}$は局所座標表示であり、

$\Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{i\ell }\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{\ell j} \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right)$

であり、$(g^{i\ell })_{i\ell }$は$(g_{\ell j})_{\ell j}$の逆行列である。すなわち$\delta ^{i}{}_{j}$をクロネッカーのデルタとするとき、$g^{i\ell }g_{\ell j}=\delta ^{i}{}_{j}$である。$\Gamma _{jk}^{i}$の事をクリストッフェル記号という。微分$\nabla _{X}Y$をYのY方向の（レヴィ-チヴィタ接続$\nabla$によって定まる）共変微分という。

レヴィ-チヴィタ接続の定義は局所座標の取り方に依存しているが、局所座標の取り方によらずwell-definedである事を示せる。

また定義式中の$X^{\ell }{\partial Y^{i} \over \partial x^{\ell }}(P)$はYのX方向微分$X(Y^{i})$である事に注意すると、YがMの全域で定義されていなくても、Xを点Pにおける接線として持つ曲線上定義されていれば、共変微分$\nabla _{X}Y$は定義可能である。この「曲線上の共変微分」を以下のように定義する。

定義 ―  リーマン多様体$(M,g)$上の可微分な曲線$P(t)$と、$P(t)$上のTMの可微分な切断$v(t)$対し、

${\nabla v(t) \over dt}:=\left({dv^{i} \over dt}(t)+\Gamma _{jk}^{i}{dx^{j} \over dt}(t)v^{k}(t)\right){\partial \over \partial x^{i}}{\Bigg |}_{P(t)}\in T_{P}M$

と定義し、$v(t)$の（レヴィ-チヴィタ接続$\nabla$によって定まる）曲線$P(t)$に沿った共変微分と呼ぶ。

共変微分の概念を２つ定義したが、ベクトル場Xの点$P=P(0)$を通る積分曲線を$P(t)$とし、$v(t):=Y_{P(t)}$とすれば、

${\nabla \over dt}v(t)=\nabla _{X}Y|_{P(t)}$

となる事が容易に示せるので、２つの共変微分の概念は（前者はM上のベクトル場を、後者はXに沿った曲線上のベクトル場を微分する除けば）同一である。

公理的特徴づけ

リーマン多様体$(M,g)$上のレヴィ-チヴィタ接続$\nabla$は以下の性質を満たす：

定理 (レヴィ-チヴィタ接続の性質) ― 　

1. $\nabla _{fX+gY}Z=f\nabla _{X}Z+g\nabla _{Y}Z$ (関数に関する左線形性)
2. $\nabla _{X}(aY+bZ)=a\nabla _{X}Y+b\nabla _{X}Z$(実数に関する右線形性)　
3. $\nabla _{X}(fY)=X(f)Y+f\nabla _{X}Y$　（ライプニッツ則）
4. $\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X=[X,Y]$ (捻れなし）
5. $Z(g(X,Y))=g(\nabla _{Z}X,Y)+g(X,\nabla _{Z}Y)$ （計量との両立）

ここでX、Y、ZはM上の任意の可微分なベクトル場であり、f、gはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、a、bは任意の実数であり、$fY$は点Pにおいて$f(P)Y_{P}$となるベクトル場であり、$X(f)$はfのX方向微分であり、$[X,Y]$はリー括弧である。

実は上記の性質はレヴィ-チヴィタ接続を特徴づける：

定理 (レヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけ) ―  M上の可微分なベクトル場の集合を${\mathfrak {X}}(X)$とするとき、関数

$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$

で上記の5性質を満たすものはレヴィ-チヴィタ接続に限られる

なお、上記の事実はリーマン計量の正定値や非退化性を仮定しなくても成り立つ事が知られている：

定理 ―  gを多様体M上定義された（正定値とも非退化性とも限らない）二次形式の可微分な場とする。このとき、レヴィ-チヴィタ接続の5性質を満たす接続が一意に存在する。

この事実は、非退化だが正定値ではないgが定義された擬リーマン多様体、およびそれを理論の基礎として用いる一般相対性理論で役立つ。 上記の定理で存在が保証された接続も「レヴィ-チヴィタ接続」と呼ぶが、特に断りがない限り、本項では単に「レヴィ-チヴィタ接続」といった場合は、リーマン計量の（すなわち非退化性かつ正定値な二次形式の）レヴィ-チヴィタ接続を指すものとする。

上述した特徴づけを使うと、レヴィ-チヴィタ接続の成分によらない具体的な表記を得る事ができる。

定理 ―  X、Y、Zをリーマン多様体M上の任意の可微分なベクトル場とするとき、以下が整理する：

$2g(\nabla _{X}Y,Z)=Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y])$

ベクトルバンドルの接続

レヴィ-チヴィタ接続の概念を一般化したものとして、ベクトルバンドルに対する接続の概念がある。接続の概念はゲージ理論やチャーン・ヴェイユ理論で重要な役割を果たす。本項では、議論の一般性を確保するために接続の概念を導入するが、あくまでレヴィ-チヴィタ接続やそこから誘導される接続を主軸として話を進める。

準備

接続の概念を定義するため、ベクトルバンドル関連の概念をいくつか定義する。

定義 (接続) ― $\pi ~:~E\to M$を可微分多様体M上の可微分なベクトルバンドルとする。可微分な写像$s~:~M\to E$で

$\pi (s(x))=x$ for $\forall x\in M$

を満たすものをEの切断（英: section）という。Eの切断全体の集合を$\Gamma (M,E)$あるいは単に$\Gamma (E)$と表記する。

定義から分かるように、接バンドルTMの切断の概念は、Mのベクトル場の概念に一致する。よってM上のベクトル場全体の集合${\mathfrak {X}}(M)$は$\Gamma (TM)$に一致する。

可微分多様体M上の可微分な2つのベクトルバンドル$\pi _{1}~:~E_{1}\to M$、$\pi _{2}~:~E_{2}\to M$に対し、写像

$\alpha ~:~\Gamma (E_{1})\to \Gamma (E_{2})$

を考える。

定義 ― 　

$\alpha (as+bs')=a\alpha (s)+b\alpha (s')$ for $\forall a,b\in \mathbb {R}$、$\forall s,s'\in \Gamma (E_{1})$

を満たすとき、αは$\mathbb {R}$-線形であるという。また

$\alpha (fs+gs')=f\alpha (s)+g\alpha (s')$ for $\forall f,g\in C^{\infty }(M)$、$\forall s,s'\in \Gamma (E_{1})$

を満たすとき、αは$C^{\infty }(M)$-線形であるという。

定義 ― 任意の開集合$U\subset M$および任意の$s\in \Gamma (E_{1})$に対し、

$s|_{U}=0\Rightarrow \alpha (s)|_{U}=0$

が成立するとき、αは局所演算子（英: local operator）であるという。

また任意の$P\in M$および任意の$s\in \Gamma (E_{1})$に対し、

$s|_{P}=0\Rightarrow \alpha (s)|_{P}=0$

となるとき、αは点演算子（英: point operator）であるという。

実は次が成立する：

定理 ― 以下の4つは同値である。：

1. αは$C^{\infty }(M)$-線形である
2. αは点演算子である
3. あるバンドル写像$\varphi ~:~E_{1}\to E_{2}$が存在し、任意の$P\in M$に対し、$\alpha (s)|_{P}=\varphi _{P}(s)$
4. Mの各点Pに$E_{1}{}^{*}\otimes E_{2}$の元を対応させるテンソル場ηが存在し、$\alpha (s)|_{P}=\eta _{P}(s)$

また次が成立する：

定義・定理 ― αが局所演算子であるとする。このときMの任意の開集合Uに対し、$\alpha ^{U}~:~\Gamma (U,E_{1})\to \Gamma (U,E_{2})$で

$\alpha ^{U}(s|_{U})=\alpha (s)|_{U}$ for $\forall s\in \Gamma (E_{1})$

を満たすものが一意に存在する。$\alpha ^{U}$と書き、αのUへの制限(英: restriction)という。

定義

接続は前述したレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけの5つの性質のうち3つを使って定義される：

定義 (接続) ― $\pi ~:~E\to M$を可微分多様体M上の可微分な実ベクトルバンドルとする（E、Mのいずれにもリーマン計量が入っているとは限らない）。 関数

$\nabla ~:~(X,s)\in {\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\mapsto \nabla _{X}s\in \Gamma (E)$

で以下の性質を満たすものをE上のKoszul接続（英: Koszul connection）あるいは単に接続（英: connection）といい、$\nabla _{X}s$を接続$\nabla$が定めるsのX方向の共変微分という：

1. $\nabla _{X}s$はXに関して$C^{\infty }(M)$-線形
2. $\nabla _{X}s$はsに関して$\mathbb {R}$-線形
3. $\nabla _{X}(fs)=X(f)s+f\nabla _{X}s$　（ライプニッツ則）

Mの接ベクトルバンドルTMの接続の事を特にアフィン接続（英: affine connection）という。

ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、fはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、$fX$は点Pにおいて$f(P)X_{P}$となるベクトル場であり、$X(f)$はfのX方向微分である。

明らかにレヴィ-チヴィタ接続は$E=TM$の場合の接続になっている。

$\nabla _{X}s$はXに関して$C^{\infty }(M)$-線形であり、したがって点Pにおける値$\nabla _{X}s|_{P}$がXのPにおける値X_Pのみから決まる。この事に着目すると、接続を若干違った角度から定式化できる。これを見るため、Eに値を取る線形写像$\nabla s|_{P}$を

$\nabla s|_{P}~:~X_{P}\in TM\mapsto \nabla _{X_{P}}s|_{P}\in E$

と定義すると、余接ベクトル空間T^*Mの定義から、

$\nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}$

とみなせる。そこでMの各点Pに$\nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}$を対応させる切断

$\nabla s~:~P\in M\mapsto \nabla s|_{P}\in (T^{*}M\otimes E)_{P}$

を考える事ができる。よって接続$\nabla$は、Eの切断sに$T^{*}M\otimes E$の切断を対応させる写像

$\nabla :~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)$

とみなせる。この事実を用いると、接続$\nabla$を以下のようにも定義できる：

定義 (接続の別定義) ― $\mathbb {R}$-線形写像

$\nabla ~:~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)$

で以下の性質を満たすものをE上の接続（英: connection）という：

1. $\nabla fs=df\otimes s+f\nabla s$

上記の２つの定義は同値であるが、後者はXを明示しない分数学的取り扱いが若干楽になる場合が多い。

ライプニッツ則を用いると、以下を示す事ができる：

定理 ― 接続$\nabla _{X}s$はsに関して局所演算子である。

証明

sがMの開集合U上で0であるとする。任意に$P\in U$をfixし、Pの近傍$V_{P}\subset U$と$C^{\infty }$級関数$\varphi$で、

$\varphi (Q)={\begin{cases}0&{\text{ if }}Q\in V_{P}\\1&{\text{ if }}Q\notin U\end{cases}}$

となるものを選ぶ。（このような関数の存在性に関しては隆起関数の項目を参照）。

すると$\varphi$の定義から、$s_{Q}=\varphi (Q)s_{Q}$ for $\forall Q\in M$であるので、

$\nabla _{X}s=\nabla _{X}\varphi s=X\varphi +\varphi \nabla _{X}s$

である。$\varphi$の定義より、$X\varphi |_{P}=\varphi (P)\nabla _{X}s|P=0$なので、$\nabla _{X}s|_{P}=0$が任意の$P\in U$に対して成立し、これは$\nabla _{X}s$がsに関して局所演算子である事を意味する。

成分表示

$x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$をMを局所座標とし、xを成分で$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$とあらわし、さらに$e_{1},\ldots ,e_{n}$をU上定義されたEの局所的な基底とする。接続$\nabla _{X}s$はsに関して局所演算子であったので、$\nabla$のUへの制限$\nabla ^{U}$を考える事ができる。接続の2番目の定義に従って

$\nabla ^{U}e_{i}=\omega _{i}{}^{\ell }\otimes e_{\ell }$ where $\omega _{i}{}^{\ell }\in \Gamma (U,T^{*}M)$

と成分表示するとライプニッツ則より、以下のように$\nabla s$を成分で書き表す事ができる。

$\nabla ^{U}s=\nabla ^{U}s^{i}e_{i}=ds^{i}\otimes e_{i}+s^{i}\omega _{i}{}^{\ell }\otimes e_{\ell }=(ds^{i}+s^{k}\omega _{k}{}^{i})\otimes e_{i}$

$\omega _{k}{}^{i}$を局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$に関する$\nabla$の接続形式（英: connection form）という。$\omega _{k}{}^{i}$を並べてできる行列$(\omega _{k}{}^{i})_{ik}$の事を接続行列（英: connection matrix）と呼ぶ場合もあるが、紛れがなければこの行列も接続形式と呼ぶ。

さらに$\omega _{k}{}^{i}$を成分で、

$\omega _{k}{}^{i}=\Gamma _{jk}^{i}dx^{j}$

とすると、

$\nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x^{j}}}^{U}e_{k}=\Gamma _{jk}^{i}e_{i}$

であり、

$\nabla _{X}^{U}s=\left(X^{\ell }{\partial s^{i} \over \partial x^{\ell }}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)e_{i}$

とレヴィ-チヴィタ接続のときと同様の成分表示が得られる。$\Gamma _{jk}^{i}$を（局所座標$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$と局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$に関する）接続係数（英: connection coefficient）、あるいはレヴィ-チヴィタ接続の場合の名前を流用し、クリストッフェル記号という。

接続の誘導

本節では、あるベクトルバンドル上定義された接続から別のベクトルバンドル上の接続を定義する方法を述べる。その過程でレヴィ-チヴィタ接続のときにも議論した

• 曲線$P(t)$に沿った共変微分
• リーマン計量と接続の両立

に関しても述べる。

引き戻し

これまで同様$\nabla$をM上の可微分なベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の接続とし、さらに$f~:N\to M$を可微分多様体NからMへの可微分な写像とすると、fによるEの引き戻し（pullback bundle）

$\pi '~:f^{*}(E)\to N$

を考える事ができる。

N、Mの局所座標$y~:~V\subset N\to \mathbb {R} ^{u}$、$x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$で、$V\subset f^{-1}(U)$となるものを選び、さらにU上のEの基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$を選んで接続$\nabla$を接続形式を使って

$\nabla ^{U}s=(ds^{i}+s^{k}\omega _{k}{}^{i})\otimes e_{i}$

と成分表示する。

定義 ― $f^{*}(E)$の接続$f^{*}(\nabla )$をそのVへの制限$f^{*}(\nabla )^{V}$が

$f^{*}(\nabla )^{V}s=(ds^{i}+s^{k}f^{*}(\omega _{k}{}^{i}))e_{i}$

となるように定義し、$\nabla$のfによる引き戻し（英: pull back）、fによって$f^{*}(E)$に誘導された接続（英: induced connection）という。

$f^{*}(\nabla )$がwell-definedな事の証明は省略する。接続係数を使えば、

$f^{*}(\nabla )_{X}^{V}s=(X(s^{i})+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{\ell }{\partial x^{i} \over \partial y^{\ell }})e_{i}$

である。

引き戻しの特殊な場合として、Nが線分の場合がある。この場合写像$P~:~(0,1)\to M$はM上の曲線とみなせる。曲線$P(t)$に沿った切断sに対し、

${\nabla s \over dt}:=f_{*}\left(f^{*}(\nabla )_{\tfrac {d}{dt}}f^{*}(s)\right)$

を考える事ができる。${\tfrac {\nabla }{dt}}s$を接続$\nabla$によって定まる曲線$P(t)$に沿った切断sの共変微分という。成分で書けば

${\nabla s \over dt}=\left({ds^{i} \over dt}+{dx^{j} \over dt}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)e_{i}$

となるので、レヴィ-チヴィタ接続の場合の曲線$P(t)$に沿った切断sの共変微分の概念の一般化になっている事がわかる。

直和・テンソル積への誘導

多様体M上の２つのベクトルバンドルE₁、E₂があり、E₁、E₂にはそれぞれ接続$\nabla ^{1}$、$\nabla ^{2}$が定義されているとする。このとき、$E_{1}\oplus E_{2}$上に

$(\nabla ^{1}\oplus \nabla ^{2})_{X}(s_{1},s_{2}):=(\nabla _{X}^{1}s_{1},\nabla _{X}^{2}s_{2})$ for $X\in TM$、 $(s_{1},s_{2})\in \Gamma (E_{1}\oplus E_{2})$

により、接続が定義できる。また$E_{1}\otimes E_{2}$上に

$(\nabla ^{1}\otimes \mathrm {id} _{E_{2}}+\mathrm {id} _{E_{1}}\otimes \nabla ^{2})_{X}s_{1}\otimes s_{2}:=\nabla _{X}^{1}s_{1}\otimes s_{2}+s_{1}+\nabla _{X}^{2}s_{2}$ $~~~~~{\text{for }}X\in TM,(s_{1},s_{2})\in \Gamma (E_{1}\otimes E_{2})$

により、接続が定義できる。

双対バンドルの接続とリーマン計量

MのベクトルバンドルEに接続$\nabla$が定義されているとき、Eの双対バンドルをE^*に以下の性質を満たす接続$\nabla ^{*}$を定義できる：

$X\langle \omega ,s\rangle =\langle \nabla _{X}^{*}\omega ,s\rangle +\langle \omega ,\nabla _{X}s\rangle$

ここでXはM上の任意のベクトル場であり、sはEの任意の切断であり、ωはE^*の任意の切断であり、$\langle \cdot ,\cdot \rangle$はEの双対ベクトル空間E^*の元とEの元との内積である。

Eにリーマン計量がg定義されている場合、EとE^*は自然に同一視でき、

$Xg(s_{1},s_{2})=g(\nabla _{X}^{*}s_{1},s_{2})+g(s_{1},\nabla _{X}s_{2})$

が成立する事になるが、一般には$\nabla ^{*}$と$\nabla$は異なる。情報幾何学の分野では$\nabla ^{*}$の事を$\nabla$の双対接続（英: dual connection）という。

定義 (リーマン計量と両立する接続) ―  $\nabla ^{*}=\nabla$である場合、すなわち

$Xg(s_{1},s_{2})=g(\nabla _{X}s_{1},s_{2})+g(s_{1},\nabla _{X}s_{2})$

が成立する場合、$\nabla$はリーマン計量gと両立する（英: compatible with g）といい、$\nabla$は計量接続（英: metric connection）であるという。

これは、

$dg(s_{1},s_{2})=g(\nabla s_{1},s_{2})+g(s_{1},\nabla s_{2})$

とも言いかえられる。

gは$E\times E$上の双線形写像なので、gを自然に$(E\otimes E)^{*}$の元とみなす事ができる。

テンソル積および双対空間の接続の定義より、

$(\nabla _{X}^{*}g)(X,Y)=X(g(X,Y))-g(\nabla _{X}(s_{1}\otimes s_{2}))=X(g(X,Y))-g(\nabla _{X}(s_{1}),s_{2})-g(s_{1},\nabla _{X}(s_{2}))$

である。これを接続とgの両立の定義と比較することで以下を得る：

定理 ―  gが$\nabla$と両立する必要十分条件は、以下が成立する事である：

$\nabla _{X}^{*}g=0$

また簡単な計算から以下が従う：

定理 ―  $U\subset M$上のEの局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$で正規直交なものを取るとき、gが$\nabla$と両立する必要十分条件は、$\nabla$の接続形式ωが以下を満たす事である：

$\omega ={}^{t}\omega$

ここで「${}^{t}\omega$」はωの転置行列である。

複数の接続の関係

接続の定義から明らかに以下の性質を示すことができる：

定理 ― $\nabla ^{1},\ldots ,\nabla ^{u}$を多様体M上ののベクトルバンドルEの接続とする。このとき、

$\nabla _{X}s:={\nabla _{X}^{1}s+\cdots +\nabla _{X}^{u}s \over u}$

もEの接続である。

また、2つの接続

$\nabla ,~\nabla '~:~{\mathfrak {X}}(M)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)$

に対し、

$A(X,s):=\nabla _{X}s-\nabla '_{X}s$

とすると、$A(X,s)$がX、s双方に関して$C^{\infty }(M)$-線形である事が示せ、したがって前に述べた定理から$A$は$TM\oplus E\to E$というバンドル写像だとみなせる。逆に接続$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)$とバンドル写像$A~:~TM\oplus E\to E$が与えられると、

$\nabla '_{X}s=\nabla _{X}s+A(X,s)$

もE上の接続である事を確かめられる。まとめると、以下の定理が成り立つ：

定理 ― $\nabla ,\nabla '$を多様体M上ののベクトルバンドルEの2つ接続とする。このとき、

$A(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla '_{X}Y$

はバンドル写像$TM\otimes E\to E$とみなせる。逆にバンドル写像$A~:~TM\otimes E\to E$とE上の任意の接続$\nabla$に対し、

$\nabla '_{X}s=\nabla _{X}s+A(X,s)$

もE上の接続である。

捻れテンソル

多様体M上のアフィン接続

$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$

に対し、以下のテンソルを定義する：

定義 (捻れテンソル) ― 　

$T_{\nabla }(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]$

を捩れテンソルという。

「捩れ」という名称に関してはLoring W. Tuによれば「$T_{\nabla }(X,Y)$を「捩れ」と呼ぶうまい理由は無いように見える」。

捻れテンソルの定義とレヴィ-チヴィタ接続の公理的特徴づけから明らかなように、レヴィ-チヴィタ接続とは、接バンドルの接続で、リーマン計量と両立し、しかも捻れテンソルが0になる接続のことである。

定理 ― 捻れテンソルは以下を満たす：

• $T_{\nabla }(X,Y)=-T_{\nabla }(Y,X)$
• $T_{\nabla }(X,Y)$はX、Y双方に関して$C^{\infty }(M)$-線形である。

ここでX、YはM上の任意の可微分なベクトル場である。

上述の定理と前に述べた定理から、以下の系が従う：

系 ― 捻れテンソルはバンドル写像$TM\times TM\to TM$であるとみなせる。

接続$\nabla$を局所座標で

$\nabla _{X}s=\left(X^{\ell }{\partial s^{i} \over \partial x^{\ell }}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right){\partial \over \partial x^{i}}$

と書くとき、次が成立する：

定理 ― 捻れテンソルは以下を満たす：

$T_{\nabla }(\cdot ,\cdot )$が恒等的に0$\iff \Gamma _{jk}^{i}=\Gamma _{kj}^{i}$

よって捻れテンソルが恒等的に0になる接続、すなわち捻れなし（英: torsion-free）の接続の事を対称（英: symmetric）な接続ともいう。

また$\eta$を任意の1-形式にとするとき、

$\langle \eta ,T_{\nabla }(X,Y)\rangle =\langle \eta ,\nabla _{X}Y\rangle -\langle \eta ,\nabla _{Y}X\rangle -d\eta (X,Y)$

である。ここでdは外微分である。よって次が成立する：

定理 ― $\nabla$を多様体Mの接バンドルTM上の接続とするとき、

$\nabla$が捻れなし$\iff d\eta (X,Y)=\langle \eta ,\nabla _{X}Y\rangle -\langle \eta ,\nabla _{Y}X\rangle$ for $\forall \omega ,\forall X,\forall Y$

すなわち$\nabla$が捻れなしである事は、$\nabla$が外微分と「両立」する事と同値である。

平行移動とホロノミー群

平行移動

$\nabla$をM上の可微分なベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の接続とし、$P(t)$をM上の区分的に滑らかな曲線とし、sを$P(t)$上のEの切断とする。すなわち各$P(t)$に対し、$s_{P(t)}\in E$が定義でき、$t\mapsto s_{P(t)}$が可微分であり、しかも$\pi (s_{P(t)})=P(t)$が任意のtに耐いて成立するものとする。

定義 ― 　

${\nabla s \over dt}=0$

が恒等的に成立するとき、切断sは$P(t)$に沿って平行（英: parallel along $P(t)$）であるという。

Mがユークリッド空間でEがその接バンドルである場合、${\nabla s \over dt}={ds \over dt}=0$であれば、ベクトル$s_{P(t)}$は$s_{P(t)}$の基点がtによって動くだけでその大きさも向きも一定である。すなわち$P(t)$に沿って$s_{P(0)}$を「平行移動」して動かしている事になるので、一般のベクトルバンドルの場合にも${\nabla s \over dt}=0$である事を平行と呼ぶのである。

$P(t)$に沿った切断$s$、$s'$がいずれも$P(t)$に沿って平行であり、しかも時刻$t=a$のとき$s_{P(a)}=s'_{P(a)}$であれば、別の時刻$t=b$でも$s_{P(b)}=s'_{P(b)}$である事を容易に示すことができる。よって写像

$\varphi _{a,b}~:~v=s_{P(a)}\in E_{P(a)}\mapsto s_{P(b)}\in E_{P(b)}$

は切断$s$の取り方によらずwell-definedである。

定義 ― 　 $\varphi _{a,b}(v)\in E_{P(b)}$を$v\in E_{P(a)}$の曲線$P(t)$に沿った平行移動（英: parallel transportation along $P(t)$）という。

ユークリッド空間の場合と違い、どの曲線に沿って平行移動したかによって平行移動の結果が異なる事に注意されたい。すなわち曲線$P(t)$に沿った平行移動を$\varphi _{a,b}(v)$、曲線$Q(t)$に沿った平行移動を$\psi _{a',b'}(v)$とするとき、たとえ$P(a)=Q(a')$、$P(b)=Q(b')$であっても$\varphi _{a,b}(v)=\psi _{a',b'}(v)$であるとは限らない。この現象をホロノミー（英: holonomy）という。

$\varphi _{a,b}$の定義より、$\varphi _{a,b}$は$E_{P(a)}$から$E_{P(b)}$への写像であるとみなせるが、この写像は以下を満たす：

定理 ― 　 $\varphi _{a,b}~:~E_{P(a)}\to E_{P(b)}$は線形同型である。

よって平行移動により、（接続や計量が定義されていない）多様体Mでは本来無関係のはずの$E_{P(a)}$と$E_{P(b)}$がつながって（connect）、$E_{P(a)}$の元と$E_{P(b)}$の元を比較する事ができるようになる。接続（connection）という名称は、ここから来ている。

Eにリーマン計量gが定義されているときは以下が成立する事を容易に示せる：

定理 (平行移動による計量の保存) ― $\nabla$がEのリーマン計量gと両立するとき、任意の$v,v'\in E_{P(a)}$に対し、以下が成立する：

$g(v,v')=g(\varphi _{a,b}(v),\varphi _{a,b}(v'))$

曲線$P(t)$上定義されたEの切断$e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$で、各時刻tに対して$e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$がE_Pの基底の基底になっており、しかも$e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t)$が$P(t)$に沿って平行なものを$P(t)$に沿った水平フレーム（英: horizontal frame）という。

共変微分の特徴づけ

これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：

定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ―  多様体M上の曲線$P(t)$とMのベクトルバンドルEの$P(t)$に沿った切断$s(t)\in E_{P(t)}$を考えるとき、$P(t)$に沿った平行移動を$\varphi _{a,t}$とすると、以下が成立する：

${\nabla s \over dt}(a)$$=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$

ここで${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$はベクトル空間$E_{P(a)}$における微分${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim _{t\to a}{\tfrac {\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}}$である。なお、$\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$はtによらず$E_{P(a)}$に属するので、$E_{P(a)}$上の差や極限を考えることができる。

証明

$e_{1},\ldots ,e_{n}$を$E_{P(a)}$の基底とし、$e_{i}(t):=\varphi _{a,t}(e_{i})$（for $i=1,\ldots ,n$）とし、 $s(t)=s^{i}(t)e_{i}(t)$と成分表示すると、

${\nabla \over dt}s(t)={\nabla \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(t))={ds^{i} \over dt}(t)e_{i}(t)+s^{i}(t){\nabla e_{i} \over dt}(t)$

が成立する。$e_{i}(t)$の定義から$e_{i}(t)$は$P(t)$に沿って平行なので、上式右辺第二項は0である。よって、

${\nabla s \over dt}(a)={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(a)=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(a))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(t)))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$

となり定理が証明された。

上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため$x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$をMを局所座標とし、xを成分で$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$とあらわし、さらに$e_{1},\ldots ,e_{n}$をU上定義されたEの局所的な基底とすると、

${\nabla s \over dt}(a)$$=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$$=\left.{d \over dt}s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$$={ds^{i} \over dt}(a)(e_{i}(x(a)))+s^{i}(a)\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$

であるので、これを共変微分の成分表示

$\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))$

と比較する事で、以下が結論付けられる：

定理 (接続形式の平行移動による特徴づけ) ― 曲線$x(t)$上の平行移動を$\varphi _{a,t}$とし、曲線状定義されたEの基底を$e_{1},\ldots ,e_{n}$とするとき、$\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$の行列表示は接続形式を使って$\omega \left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)$と書ける。

すなわち

$\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))$

の第一項、第二項はそれぞれ、$s=s^{i}e_{i}$をライプニッツ則に従って微分したときのsⁱの方の微分、e_iの方の微分に対応していると解釈できる。

ホロノミー群

点P∈Mを固定するとき、Pから出てP自身へと戻る各閉曲線Cに沿った平行移動はE_PからE_P自身への線形同型写像$\varphi _{C}~:~E_{P}\to E_{P}$を定めると、曲線の連結CC'に対し$\varphi _{CC'}=\varphi _{C'}\circ \varphi _{C}$となるし、Cの逆向きの曲線を${\bar {C}}$とすると、$\varphi _{\bar {C}}=\varphi _{C}{}^{-1}$となる事が容易に示せる。

よって

$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C$はPから出てP自身へと戻る閉曲線$\}$

とすると、$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$はE_Pの自己線形同型のなす群の部分群をなす。$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$をPにおけるEの$\nabla$に関するホロノミー群（英: holonomy group）という。なお、Mが弧状連結であればPによらず$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$が同型である事を容易に示せるので、Pを略して単に$\mathrm {Hol} (E,\nabla )$とも書く。

また、

$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P):=\{\varphi _{C}\mid C$はPから出てP自身へと戻る閉曲線でM上0-ホモトープなもの$\}$

とすると、$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$は$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$の部分群をなす。$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$をPにおけるEの$\nabla$に関する制約ホロノミー群（英: restricted holonomy group）という。Mが弧状連結であればPによらず$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$が同型である事も同様に示せるので、Pを略して単に$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla )$とも書く。

定義から明らかなように、$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$、$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$はE_P上の線形同型全体のなすリー群$\mathrm {GL} (E_{P})$の部分群である。実は次が成立する事が知られている：

定理 ― $\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$は$\mathrm {GL} (E_{P})$の（閉とは限らない）部分リー群である。

また$\mathrm {Hol} _{0}(E,\nabla ,P)$は$\mathrm {Hol} (E,\nabla ,P)$の（閉とは限らない）弧状連結なリー部分群である。

測地線

定義と性質

接バンドルTMにアフィン接続$\nabla$が定義されているとき、測地線の概念を以下のように定義する：

定義 (測地線) ― Mを多様体とし、$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$をTM上の接続とする。このときM上の曲線$P(t)$が

${\nabla \over dt}{d \over dt}P(t)=0$

が恒等的に成立する、という微分方程式を$(M,\nabla )$上における測地線方程式といい、測地線方程式を満たす曲線$P(t)$を$(M,\nabla )$上の測地線（英: geodesic）という。

すなわち「二階微分」が常に0になる曲線を測地線と呼ぶのである。平行移動の定義から、測地線とは${\tfrac {d}{dt}}P(t)$が$P(t)$に沿って平行であると言い換える事もできる。

恒等的に同じ点を取る「曲線」は自明に測地線方程式を満たすが、これは通常の意味での曲線ではないので、以下このような「曲線」を測地線とは呼ばない事にする。

測地線の定義は曲線$P(t)$のパラメーターtに依存して定義されている事に注意されたい。$P(t)$が測地線であっても、パラメーターを別の変数uに変数変換して得られる$P(u)$は測地線になるとは限らない。実際、$P(t)$が測地線となるパラメーターは線形変換を除いて一意である：

定理 ― 曲線$P(t)$が測地線で、$P(t)$を（${\tfrac {du}{dt}}$が決して0にならないような）変数変換を行って得られる$P(u)$も測地線である時、ある定数$a,b\in \mathbb {R}$が存在し、

$u=at+b$

が成立する。

証明

測地線とは${\tfrac {d}{dt}}P(t)$が$P(t)$に沿って平行である曲線なので、${\tfrac {d}{dt}}P(0)$が0でなければ任意のtに対して${\tfrac {d}{dt}}P(t)$は0でない。恒等的に同じ点を取る「曲線」は測地線とはみなさなかった事から、測地線は任意の時刻に対して${\tfrac {d}{dt}}P(t)\neq 0$である。

$P(t)$が測地線で$P(t)$を変数変換した$P(u)$も測地線であるとすると、

$0={\nabla \over dt}{dP \over dt}={du \over dt}{\nabla \over du}\left({du \over dt}{dP \over du}\right)={du \over dt}{d^{2}u \over dt^{2}}{dP \over du}+\left({du \over dt}\right)^{2}{\nabla \over du}{dP \over du}={du \over dt}{d^{2}u \over dt^{2}}{dP \over du}$

前述の議論から${dP \over du}$は決して0にならず、仮定から${du \over dt}$も決して0にならないので、上式から、

${d^{2}u \over dt^{2}}=0$.

これは$u=at+b$となるa、bが存在することを意味する。

測地線の存在性と一意性

測地線方程式を成分で書くと、$P(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))$として

${d^{2}x^{i} \over dt^{2}}+{dx^{j} \over dt}{dx^{k} \over dt}\Gamma _{jk}^{i}=0$ for $i=1,\ldots ,m$

となる。ここで$\Gamma _{jk}^{i}$は接続係数である。この式は常微分方程式であり、常微分方程式は局所的な階の存在一意性が言えるので、次が成立する事になる：

定理 (測地線の局所的な存在一意性) ― 任意の$P\in M$と任意の$v\in TM_{P}$に対し、ある$\varepsilon >0$が存在し、測地線

$P_{v}~:~(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M$

で

$P_{v}(0)=P$、${dP_{v} \over dt}(0)=v$

となるものが存在する。しかも$P_{v}~:~(-\varepsilon ,\varepsilon )\to M$、$P'_{v}~:~(-\varepsilon ',\varepsilon ')\to M$がいずれも上記の条件を満たす測地線であれば、$(-\varepsilon ,\varepsilon )\cap (-\varepsilon ',\varepsilon ')$上でP_vとP'_vは一致する。

測地線の局所的な存在一意性が示されたので、以下の定義をする：

定義 (指数写像) ― 上記の定理で局所的な存在一意性が保証された測地線$P_{v}(t)$を

$\exp _{P}(tv):=P_{v}(t)$

と書く。$\exp _{P}$を$(M,\nabla )$上の指数写像（英: exponential map）という。

$P_{v}(kt)=P_{kv}(t)$である事を容易に確かめられるので、指数写像はwell-definedである。

Hopf-Rinowの定理

上の定理で測地線の定義域$(-\varepsilon ,\varepsilon )$を$\mathbb {R}$全域に拡張できるとは限らない。M上の$\nabla$に関する任意の測地線の定義域が$\mathbb {R}$全域に拡張できるとき、$(M,\nabla )$は測地線完備（英: geodesically complete）、あるいは単に完備（英: complete）であるという。

$\nabla$がリーマン多様体のレヴィ-チヴィタ接続の場合は、測地線が$\mathbb {R}$全域に拡張できるか否かに関して以下の定理が知られている。

定理 (Hopf-Rinowの定理) ―  $(M,g)$を連結なリーマン多様体とし、$\nabla$をM上のレヴィ-チヴィタ接続とする。このとき、以下の条件は互いに同値である：

• $(M,g)$はgが定める距離に関し、距離空間として完備である。
• $(M,\nabla )$は測地線完備である。
• 全ての点$P\in M$に対し、T_PMの全ての元vに対し$\mathrm {exp} _{P}(v)$を定義できる。
• ある点$P\in M$に対し、T_PMの全ての元vに対し$\mathrm {exp} _{P}(v)$を定義できる。
• M上の任意の2点P、Qに対し、PとQの両方を通る（$\nabla$に関する）測地線が存在する。
• gが定める距離に関し、Mの有界閉集合はコンパクトである。

Mがコンパクトであれば、M上の任意のリーマン計量gは必ず完備な距離を定めるので、Hopf-Rinowの定理からgが定めるレヴィ-チビタ接続$\nabla$に関してMが測地線完備な事が従う。

しかし一般の接続$\nabla$に対してはこのような事は成立するとは限らない。実際Mがコンパクトであっても、M上の擬リーマン計量が定めるレヴィ-チビタ接続は測地線完備になるとは限らず、反例としてクリフトン-ポールトーラスが知られている。

正規座標

実は次の事実が知られている：

定理 ― $\nabla$を可微分多様体M上のアフィン接続とし、PをMの点とする。このとき、T_PMにおけるOの近傍Uが存在し、Uを多様体としてみたとき、$\nabla$が定める指数写像

$\exp _{P}~:~U\subset T_{P}M\to M$

は中への微分位相同型である。

よって$V:=\exp(U)$とすると、VはPの近傍で、

$\exp _{P}{}^{-1}~:~V\subset M\to U\subset T_{P}M\approx \mathbb {R} ^{m}$

はPの周りの座標近傍とみなせる。この座標近傍をPの周りの正規座標（英: normal coordinate）という。

同一の測地線を定めるアフィン接続

２つのアフィン接続 ：$\nabla ,\nabla '~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$ がM上の任意の曲線P(t)に対し、

${\nabla \over dt}P(t)=0\iff {\nabla ' \over dt}P(t)=0$

を満たすとき、$\nabla$と$\nabla '$は同一の測地線を定めるという。

$D(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla '_{X}Y$

とし、

$S(X,Y)={1 \over 2}(D(X,Y)+D(Y,X))$

$A(X,Y)={1 \over 2}(D(X,Y)-D(Y,X))$

とする。

このとき次が成立する事が知られている：

定理 (同一の測地線を定める条件) ― 以下の2つは同値である：

1. $\nabla$と$\nabla '$は同一の測地線を定める
2. $D(X,X)=0$が任意のベクトル場Xに対して成り立つ。
3. $S(X,X)=0$が任意のベクトル場Xに対して成り立つ。

簡単な計算により

$A(X,Y)=T_{\nabla }(X,Y)-T_{\nabla '}(X,Y)$

である事がわかるので、次の系が従う：

系 ― $\nabla =\nabla '$である必要十分条件は、$\nabla$と$\nabla '$は同一の測地線を定め、しかも$\nabla$と$\nabla '$の捻れテンソルが同一な事である 。

レヴィ-チヴィタ接続における測地線の特徴づけ

レヴィ-チヴィタ接続の場合は、全く違った角度から測地線の概念を特徴づける事ができる。

弧長の停留曲線

このことを示すため、いくつか記号を導入する。$(M,g)$をリーマン多様体とし、$\nabla$を$(M,g)$上のレヴィ-チヴィタ接続とする。 $U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$をMの局所座標とする。以下、U上でのみ議論する。議論を簡単にするため、Uを$\mathbb {R} ^{m}$の部分集合と同一視する。

U上の滑らかな曲線$P(t)$を考え、この曲線の座標表示を$x~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$、$P(t)=x(t)=(x^{1}(t),\ldots ,x^{m}(t))$とする。さらに $\eta ~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$ を滑らかな写像で$\eta (a)=\eta (b)=0$となるものとし、$\varepsilon >0$に対して曲線

$x_{\varepsilon ,\eta }(t):=x(t)+\varepsilon \eta (t)$

を考える。ここで和や定数倍は$x(t)$、$\eta (t)$を$\mathbb {R} ^{m}$の元と見たときの和や定数倍である。

そして、

$L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}$

と定義し弧長積分

$S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L\left(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t)\right)dt$

を考える。

定義 ―  $x~:~[a,b]\to \mathbb {R} ^{m}$を滑らかな曲線とする。$v(a)=v(b)=0$を満たす任意の滑らかな写像$v~:~[a,b]\to U\subset \mathbb {R} ^{m}$に対し、

${dS_{x,\eta } \over d\varepsilon }(0)=0$

が成立するとき、曲線$x(t)$は弧長積分の停留曲線もしくは（$x(t)$を曲線全体の空間上の「点」とみなし）停留点（英: critical point）という。

「停留曲線」は直観的には滑らかな曲線全体の空間での「微分」が0になるという事である。

変分法の一般論から次が成立する：

定理 ―  曲線$x(t)$が弧長積分の停留曲線である必要十分条件は$x(t)$が下記の方程式（弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式）を満たす事である：

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)$ for $j=1,\ldots ,m$

曲線$x(t)$の弧長

$s=\int _{a}^{t}{\sqrt {g_{x}\left({dx \over dt},{dx \over dt}\right)}}dt$

によって$x(t)$をパラメトライズする事を弧長パラメーター表示という。実は次が成立する：

定理 ― 滑らかな曲線$P(t)$が弧長積分に関するオイラー・ラグランジュ方程式を満たす必要十分条件は、$P(t)$を弧長パラメーターに変換した$P(s)$が測地線方程式

${\nabla \over ds}{dP \over ds}=0$

を満たす事である。

証明

${\dot {x}}={\tfrac {dx}{dt}}$、$g(\cdot ,\cdot )=g_{x}(\cdot ,\cdot )$、と略記すると、

$ds={\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}dt$

であるので、オイラー・ラグランジュ方程式の左辺は

${\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={\frac {\partial }{\partial v_{\ell }}}{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}={1 \over {\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}g_{i\ell }{\dot {x}}^{i}=g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}$

より、

${d \over dt}{\frac {\partial L}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={ds \over dt}{d \over ds}\left(g_{i\ell }{dx^{i} \over ds}\right)={ds \over dt}\left({\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}\right)$

である。一方右辺は

${\frac {\partial L}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)={1 \over 2{\sqrt {g({\dot {x}},{\dot {x}})}}}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{\dot {x}}^{j}{\dot {x}}^{k}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}{ds \over dt}$

である。よって両辺を見比べることで、

${\partial g_{i\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{i} \over ds}{dx^{j} \over ds}+g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}={1 \over 2}{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}$

左辺第一項の添字のiをkに代えて整理する事で、

$g_{i\ell }{d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{1 \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0$

よって、

${d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({2\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0$

ここで$\ell$とkの添字の付け替えにより

${\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}{dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}={\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}{dx^{k} \over ds}{dx^{j} \over ds}$

なので、

${d^{2}x^{i} \over ds^{2}}+{g^{i\ell } \over 2}\left({\partial g_{k\ell } \over \partial x^{j}}+{\partial g_{j\ell } \over \partial x^{k}}-{\partial g_{jk} \over \partial x^{\ell }}\right){dx^{j} \over ds}{dx^{k} \over ds}=0$

となる。クリストッフェル記号の定義から定理は証明された。

エネルギーの停留曲線

上では測地線が

$L(x,v):={\sqrt {g_{x}(v,v)}}$

$S_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}L(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt$

に対して停留曲線になる事を示したが、任意に非負定数mをfixするとき、エネルギー

${\bar {L}}(x,v):={mg_{x}(v,v) \over 2}$

から得られる

${\bar {S}}_{x,\eta }(\varepsilon ):=\int _{a}^{b}{\bar {L}}(x_{\varepsilon ,\eta }(t),{\tfrac {dx_{\varepsilon ,\eta }}{dt}}(t))dt$

に対しても停留曲線は測地線になっている事が知られている。${\bar {L}}(x,v)$は物理学的には質点の運動エネルギーとみなせる。

しかもこの事実はgが正定値や非退化でなくても成立する：

定理 ―  gを多様体M上定義された（正定値でも非退化でもないかもしれない）二次形式の可微分な場とするとき、${\bar {L}}(x,v):=g_{x}(v,v)$ の停留曲線は${\bar {L}}$に関するオイラー・ラグランジュ方程式

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial v_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)\right)={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial x_{\ell }}}\left(x(t),{\frac {dx}{dt}}(t)\right)$ for $j=1,\ldots ,m$

を満たす。

定理 ― 上の定理と同じ条件下、gに対するレヴィ-チヴィタ接続を$\nabla$とすると、${\bar {L}}$に関するオイラー・ラグランジュ方程式は変数tに関する測地線方程式

${\nabla \over dt}{dP \over dt}=0$

に一致する。

この事実は擬リーマン多様体を基礎に置く一般相対性理論では、運動エネルギーを最小にする曲線、すなわち自由落下曲線が測地線になる事を含意する。

曲線の曲率

リーマン多様体M上の曲線に対し、以下の定義をする。

定義 (曲線の曲率) ―  リーマン多様体M上の曲線の、弧長パラメータによる「二階微分」の長さ

$\left\|{\nabla \over ds}{dP \over ds}\right\|$

をMにおける$P(s)$の測地線曲率（英: geodesic curvature）、あるいは単に曲率（英: curvature）という。

ここで$\|v\|:={\sqrt {g(v,v)}}$である。

前述の定理から、明らかに次が従う：

定理 ―  曲線が測地線である必要十分条件は、その曲線の曲率が常に0の曲線である事である。

なお、弧長パラメータの定義より$\left\|{\tfrac {dP}{ds}}\right\|=0$が常に成り立つので、

$0={d \over dt}g({\tfrac {dP}{ds}},{\tfrac {dP}{ds}})=2g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP}{ds}},{\tfrac {dP}{ds}})$

である。よって次が従う：

定理 ―  ${\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP}{ds}}$は曲線の接線${\tfrac {dP}{ds}}$と直交する。

なおここで定義した「曲線の曲率」は次章で定義する「（接続が定義された）多様体の曲率」とは別概念であるので注意されたい。実際、

• 「曲線の曲率」は曲線$P(s)$のみならず「外側の空間」Mがあって初めて定義されるものであるのに対し、次章で述べる「多様体の曲率」の定義にはこのような「外側の空間」は必要ない。
• 「曲線の曲率」はあくまで曲線の接線方向の微分を考えているのに対し、「多様体の曲率」は２つの接ベクトルがあって初めて定義されるものであり、これら２つの接ベクトルが同一の場合は0になってしまう。

曲率

本節では接続$\nabla$が定義されたベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の曲率をまず天下り的に定義し、その性質を見る。次に曲率の概念をホロノミーを使う事で特徴づける事により、曲率概念に対する空間に内在的な幾何学的解釈を与える。最後に共変外微分の概念を導入して共変外微分を使って曲率概念を特徴づける。

定義

曲率の概念を定義するため、モチベーションを述べる。 ベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の接続$\nabla$の局所座標$U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$と局所的なEの基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$における成分表示

$\nabla _{X}^{U}s=\left(X^{\ell }{\partial s^{i} \over \partial x^{\ell }}+X^{j}s^{k}\Gamma _{jk}^{i}\right)e_{i}$

を考える。

$E=TM$で$\nabla$がレヴィ-チヴィタ接続の場合、$M=\mathbb {R} ^{m}$であれば、すなわちMが「平たい」空間であれば、クリストッフェル記号$\Gamma _{jk}^{i}$は全て0になる。

よって一般のベクトルバンドルの場合も、クリストッフェル記号$\Gamma _{jk}^{i}$が全て0になる局所座標と局所基底がとれればバンドルは「平たい」とみなす事にする。

この「平たい」バンドルとのズレを測るのが曲率である。ただしクリストッフェル記号は局所座標の取り方に依存しているため、クリストッフェル記号自身を用いるのではなく、別の方法で「平たい」バンドルとのズレを測る。

ズレを測るため、クリストッフェル記号$\Gamma _{jk}^{i}$が全て0であれば、

$\nabla _{X}s=(Xs^{i})e_{i}$

となる事に着目する。この事実から「平たい」バンドルに対しては、

$\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s=(XYs^{i})e_{i}-(YXs^{i})e_{i}=([X,Y]s^{i})e_{i}=\nabla _{[X,Y]}s$

が常に成立する事を示せる。そこで一般の接続$\nabla$に対し、

$R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s$

と定義すると、$R(X,Y)s$は「平たい」バンドルのときには恒等的にゼロになり、この意味において$R(X,Y)s$はバンドルの「曲がり具合」を表している考えられる。

定義・定理 (曲率) ―  ベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の接続$\nabla$に対し、

$R(X,Y)s:=\nabla _{X}\nabla _{Y}s-\nabla _{Y}\nabla _{X}s-\nabla _{[X,Y]}s$ for $X,Y\in {\mathfrak {X}}(M),s\in \Gamma (E)$

とすると、RはX、Y、sに関して$C^{\infty }(M)$-線形である。

よって前述の定理からRは各点$P\in M$に対し、

$R_{P}\in T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes E^{*}\otimes E$

を対応させるテンソル場とみなせる。

Rを$\nabla$に関する曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）といい、R_Pを$\nabla$に関する点Pにおける曲率（英: curvature）もしくは曲率テンソル（英: curvature tensor）という。

成分表示

Mの局所座標$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$とEの局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$を固定するとき、

$R({\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{\ell }}})e_{j}=R^{i}{}_{jk\ell }e_{i}$

と成分分解すると、

$R(X,Y)s=R^{i}{}_{jk\ell }s^{j}X^{k}Y^{\ell }e_{i}$

と表記できる。 2-形式$\Omega ^{i}{}_{j}$を

$\Omega ^{i}{}_{j}(X,Y):=R^{i}{}_{jk\ell }X^{k}Y^{\ell }$

により定義すると、

$R(X,Y)e_{j}=\Omega ^{i}{}_{j}(X,Y)e_{i}$

が成立する。

$\Omega ^{i}{}_{j}$を局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}$に関する$\nabla$の曲率形式（英: curvature form）という。$\Omega ^{i}{}_{j}$を並べてできる行列$\Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{i,j}$を曲率行列（英: curvature matrix）という事もあるが、紛れがなければこの行列も曲率形式という。

性質

$\omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}$を同じ局所座標$e_{1},\ldots ,e_{n}$に関する接続形式すると以下が成立する：

定理 ― 　

• （カルタンの）第二構造方程式（英: (Cartan's) second structural equation）：$\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega$
• 一般化されたビアンキの第二恒等式（英: generalized second Bianchi identity）：$d(\Omega ^{k})=\Omega ^{k}\wedge \omega -\omega \wedge \Omega ^{k}$、ここで$\Omega ^{k}=\overbrace {\Omega \wedge \cdots \wedge \Omega } ^{k}$

ここで接続行列のウェッジ積$\omega \wedge \omega$は行列積$(\omega ^{i}{}_{k}\wedge \omega ^{k}{}_{j})$の事である。$\Omega \wedge \omega$や$\Omega \wedge \Omega$も同様に定義する。 第二構造方程式は曲率の定義を成分で書く事で得られる。一般化されたビアンキの第二恒等式は第二構造方程式から従う。

なお、一般化されたビアンキの第二恒等式においてk=1の場合がビアンキの第二恒等式（英: second Bianchi identity）である。

アフィン接続の場合の性質

接続$\nabla$がアフィン接続

$\nabla ~:~{\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\to {\mathfrak {X}}(M)$

の場合、捻れテンソルを

$T(X,Y)=\tau ^{i}(X,Y)e_{i}$

と成分表示して得られる2-形式$\tau ^{i}$を並べてできる縦ベクトル$\tau ={}^{t}(\tau ^{1},\ldots ,\tau ^{m})$を考える事ができる。

さらに局所的な基底$e_{1},\ldots ,e_{n}\in TM$の双対基底を$\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n}\in T^{*}M$とすると、これらは1形式である。これらを並べた縦ベクトルを$\theta ={}^{t}(\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{n})$とする。

このとき、次が成立する：

定理 ― アフィン接続は次を満たす：

• （カルタンの）第一構造方程式（英: (Cartan's) first structural equation）：$\tau =d\theta +\omega \wedge \theta$
• ビアンキの第一恒等式（英: first Bianchi identity）：$d\tau =\Omega \wedge \theta -\omega \wedge \tau$

レヴィ-チヴィタ接続の場合の性質

次の事実が知られている：

定理 ― レヴィ-チヴィタ接続は以下を満たす：

• $g(R(X,Y)Z,W)=-g(R(X,Y)W,Z)$
• $g(R(X,Y)Z,W)=g(R(W,Z)X,Y)$

$\mathrm {Rm} (X,Y,Z,W):=g(R(X,Y)Z,W)$

とすると，$\mathrm {Rm}$を$T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M$に値を取るテンソル場とみなす事ができる。$\mathrm {Rm}$を（リーマンの）曲率テンソル（英: (Riemann) curvature tensor）という。

$\nabla$がレヴィ-チヴィタ接続の場合はビアンキの第一および第二恒等式を成分に依存しない形で書く事ができる：

定理 ― レヴィ-チヴィタ接続は次を満たす：

• ビアンキの第一恒等式：$R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$
• ビアンキの第二恒等式：$(\nabla _{X}\mathrm {Rm} )(Y,Z,V,W)+(\nabla _{Y}\mathrm {Rm} )(Z,X,V,W)+(\nabla _{X}\mathrm {Rm} )(X,Y,V,W)=0$。

ここで$\nabla _{X}\mathrm {Rm}$は$\mathrm {Rm}$を$T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes T^{*}M$に値を取るテンソル場とみなしたときの共変微分である。

断面曲率、リッチ曲率、スカラー曲率

$\nabla$をリーマン多様体$(M,g)$のレヴィ-チヴィタ接続とし、PをMの点とし、$v,w\in T_{P}M$とし、さらに$e_{1},\ldots ,e_{m}$を$T_{P}M$の基底とする。

定義 ― 　

• $\mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}$を点Pにおける$v,w$に関する断面曲率（英: sectional curvature）という。
• $\mathrm {Ric} _{P}(v,w):=\sum _{i}g_{P}(R_{P}(e_{i},v)w,e_{i})$を点Pにおける$v,w$に関するリッチ曲率（英: Ricci curvature）という。
• $S_{P}:=\sum _{i,j}g_{P}(R_{P}(e_{i},e_{j})e_{j},e_{i})$$=\sum _{j}\mathrm {Ric} _{P}(e_{j},e_{j})$を点Pにおけるスカラー曲率（英: scalar curvature）という。

なお、書籍によっては本項のリッチ曲率、スカラー曲率をそれぞれ${\tfrac {1}{n-1}}$倍、${\tfrac {1}{n(n-1)}}$倍したものをリッチ曲率、スカラー曲率と呼んでいるものもあるので注意されたい。 また断面曲率は$K_{P}(v,w)$という記号で表記する文献も多いが、後述するガウス曲率と区別するため、本稿では$\mathrm {Sec} _{P}(v,w)$という表記を採用した。

定義から明らかなように、以下が成立する：

定理 ―  断面曲率は$v,w$が貼る平面のみに依存する。すなわち$v,w$と$v',w'$がT_PM内の同一平面を貼れば以下が整理する：

$\mathrm {Sec} _{P}(v,w)=\mathrm {Sec} _{P}(v'.w')$

定理 ―  リッチ曲率は線形写像

$w\to R(w,u)v$

のトレースに一致し、スカラー曲率は、

$\mathrm {Ric} _{P}(u,v)=g_{P}(\rho (u),v)$

を満たす線形写像ρのトレースに一致する。

よって特にリッチ曲率、スカラー曲率の定義は基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$の取り方によらない。

実は断面曲率は曲率テンソルを特徴づける：

定理 ―  $(V,g)$を計量ベクトル空間とし、

$R,R'~:~V^{3}\to V$

を各成分に対して線形な2つの写像とする。このとき、線形独立な任意のベクトル$v,w$に対し、

${g(R(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}={g(R'(v,w,w),v) \over g(v,v)g(w,w)-g(v,w)^{2}}$

であれば、RとR'は同一の写像である。

定曲率空間

定義 (定曲率空間) ―  $(M,g)$をリーマン多様体とする。ある$c\in \mathbb {R}$が存在して、Mの任意の点PとT_PMの任意の独立なベクトルv、wに対し、

$\mathrm {Sec} _{P}(v,w)=c$

が成立するとき、$(M,g)$を曲率cの定曲率空間という。

定曲率空間では曲率が下記のように書ける：

定理 (定曲率空間における曲率の形) ―  $(M,g)$をリーマン多様体とし、$c\in \mathbb {R}$とする。このときMが曲率cの定曲率空間である必要十分条件は、Mの任意の点PとT_PMの任意のベクトルX、Y、Z、Wに対し、

$g(R(X,Y)W,Z)=cg(X,W)g(Y,Z)-cg(Y,W)g(X,Z)$

が成立する事である。

上記の定理より、必要ならリーマン計量gを${\tfrac {1}{\sqrt {|c|}}}$倍する事で、任意の定曲率空間は、曲率が0、1、もしくは-1の定曲率空間と「相似」である事がわかる。

曲率が0、1、-1の定曲率空間については以下の事実が知られている：

定理 ―  曲率cのm次元定曲率空間$(M,g)$が連結かつ単連結であり、しかも距離空間として完備であるとする。 このとき、次が成立する：

• $c=1$であれば、$(M,g)$はm次元ユークリッド空間とリーマン多様体として同型である。
• $c=0$であれば、$(M,g)$はm次元球面とリーマン多様体として同型である。
• $c=-1$であれば、$(M,g)$はm次元双曲空間とリーマン多様体として同型である。

よって被覆空間の一般論から以下の系が従う：

系 ― 曲率が0、1、もしくは-1の連結かつ完備なm次元定曲率空間は、それぞれm次元ユークリッド空間、m次元球面、もしくはm次元双曲空間を普遍被覆空間に持つ。

ホロノミーによる曲率の特徴づけ

本節ではホロノミーを使うことで曲率概念を特徴づけ、これにより曲率概念を多様体に内在的な幾何学的な意味付けを与える。

$\nabla$をベクトルバンドル$\pi ~:~E\to M$の接続とし、PをMの点とし、$X_{P},Y_{P}$をT₀Mの元とし、さらに$s_{P}$をE_Pの元とする。

本節の目標は$R_{P}(X_{P},Y_{P})s_{P}$をホロノミーを使って特徴づける事である。

そのためにいくつか記号を導入する。

$\xi ~:~U\subset \mathbb {R} ^{2}\to M$

で、

$\xi (O)=P$、$\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{P}\right)=X_{P}$、$\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}{\Big |}_{P}\right)=Y_{P}$

となるものを選び、$\xi (U)$上のベクトル場を$Q\in \xi (U)$に対し、

$X_{Q}:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}{\Big |}_{Q}\right)$、$Y:=\xi _{*}\left({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}{\Big |}_{Q}\right)$

により定義し、$\varphi _{t}^{X}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tX)$、$\varphi _{t}^{Y}(Q):=\mathrm {exp} _{Q}(tY)$に沿った平行移動を

$(\varphi _{*}^{X})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\varphi _{t}(Q)}$、$(\varphi _{*}^{Y})_{t}~:~E_{Q}\to E_{\psi _{t}(Q)}$

とする。定義から

$[X,Y]=[\xi _{*}({\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}}),\xi _{*}({\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}})]=\xi _{*}([{\tfrac {\partial }{\partial x^{1}}},{\tfrac {\partial }{\partial x^{2}}}])=0$

であるので、

$\varphi _{-t}^{Y}\circ \varphi _{-t}^{X}\circ \varphi _{t}^{Y}\circ \varphi _{t}^{X}(P)=P$

である。この曲線に沿った平行移動

$(\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}~:~E_{P}\to E_{P}$

を考える。ここで$(\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}$は曲線$(\varphi _{*}^{X})_{t}$、$(\varphi _{*}^{Y})_{t}$、$(\varphi _{*}^{X})_{-t}$、$(\varphi _{*}^{Y})_{-t}$を連結してできる曲線（で$t\in [0,1]$で一周するようにパラメトライズしなおしたもの）である。

定理 (ホロノミーによる曲率の特徴づけ) ― 次が成立する：

$(\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}(s_{P})=s_{P}+t^{2}R_{P}(X_{P},Y_{P})s_{P}+o(t^{2})$

すなわち、曲率$R_{P}(X_{P},Y_{P})$は、

$R_{P}(X_{P},Y_{P})=\lim _{t\to 0}{(\varphi _{*}^{Y})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{-t}\circ (\varphi _{*}^{Y})_{t}\circ (\varphi _{*}^{X})_{t}(s_{P})-s_{P} \over t^{2}}$

により特徴づけられる。よって直観的には曲率$R_{P}(X_{P},Y_{P})$は（X、Yが可換になるように拡張した場合に）X、Yが定める平行移動の非可換度合いを表している。

共変外微分による曲率の特徴づけ

本節では共変外微分の概念を導入し、この概念を用いて曲率概念を特徴づける。

共変外微分

まず共変外微分の概念を導入する。

$\pi ~:~E\to M$をベクトルバンドルとし、

$\nabla ~:~\Gamma (E)\to \Gamma (T^{*}M\otimes E)$

をEの接続とし、

${\mathcal {A}}^{p}(M):=\Gamma (\wedge ^{p}T^{*}M)$、${\mathcal {A}}^{p}(E):=\Gamma (E\otimes \wedge ^{p}T^{*}M)$

とする。

定義 (共変外微分) ― 　

$d_{\nabla }^{p}:{\mathcal {A}}^{p}(E)\to {\mathcal {A}}^{p+1}(E)$

を

$d_{\nabla }^{p}(s\otimes \omega )=(\nabla s)\wedge \omega +s\otimes d\omega$ for $\omega \in {\mathcal {A}}^{p}(M),s\in \Gamma (E)$

を満たすように定義し、$d_{\nabla }^{p}$を共変外微分（英: covariant exterior differentiation）という。

共変外微分がwell-definedである事の証明は省略する。紛れがなければ添字のpを省略し、$d_{\nabla }$と書く。

共変外微分は以下を満たす：

定理 ― 　

$d_{\nabla }^{0}=\nabla$

$d_{\nabla }(\eta \wedge \omega )=d_{\nabla }\eta \wedge \omega +(-1)^{p}\eta \wedge d_{\nabla }\omega$ for $\eta \in {\mathcal {A}}^{p}(E),\omega \in {\mathcal {A}}^{q}(E)$

共変外微分は通常の外微分と違い、

$d_{\nabla }d_{\nabla }=0$

となるとは限らない。しかし

$d_{\nabla }d_{\nabla }(s\otimes \omega )=d_{\nabla }((d_{\nabla }s)\wedge \omega +s\otimes d\omega )$$=(d_{\nabla }d_{\nabla }s)\wedge \omega -d_{\nabla }s)\wedge d_{\nabla }\omega +d_{\nabla }s\wedge d\omega =(d_{\nabla }d_{\nabla }s)\wedge \omega$

となるので、$s\in \Gamma (E)={\mathcal {A}}^{0}(E)$に対して$d_{\nabla }d_{\nabla }s$が分かれば一般の$s\otimes \omega$に対して$d_{\nabla }d_{\nabla }(s\otimes \omega )$が計算できる事になる。

曲率の特徴づけ

実は$d_{\nabla }d_{\nabla }s$は曲率に一致する事が知られている：

定理 (共変外微分による曲率の特徴づけ) ― 任意の$s\in \Gamma (E)$と任意の$X,Y\in {\mathfrak {X}}(M)$に対し、以下が成立する（リッチの恒等式（英: Ricci's identity））。

$(d_{\nabla }d_{\nabla }s)(X,Y)=R(X,Y)s$

なお、すでに述べたように$d_{\nabla }d_{\nabla }$は0になるとは限らないが、$d_{\nabla }d_{\nabla }d_{\nabla }$は必ず0になる事が知られており、この事実はビアンキの第二恒等式と同値である：

定理 ― 任意の$s\in \Gamma (E)$に対し、以下が成立する（ビアンキの第二恒等式（英: Bianchi's identity））：

$d_{\nabla }d_{\nabla }d_{\nabla }=d_{\nabla }R=0$

リーマン多様体の部分多様体における接続と曲率

本節ではリーマン多様体$({\bar {M}},g)$の部分多様体

$M\subset {\bar {M}}$

における接続とその曲率について議論する。本節の内容は古典的なガウスの曲面論の成果を一般のリーマン多様体に拡張したものである。

射影と接続の関係

${\bar {\nabla }}$をgが定める${\bar {M}}$上のレヴィ-チヴィタ接続とする。またリーマン計量gをMに制限することで、$(M,g)$がリーマン多様体になるので、gが定めるM上のレヴィ-チヴィタ接続$\nabla$を考える事ができる。

一方、Mは${\bar {M}}$の部分多様体なので、${\bar {M}}$のレヴィ-チヴィタ接続${\bar {\nabla }}$のMへの制限${\bar {\nabla }}^{M}$も考える事ができる。

実はこの２つは以下の関係を満たす：

定理 ―  X、YをM上のベクトル場とするとき、Mの任意の点Pに対し、以下が成立する：

$\mathrm {Pr} _{P}({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y|_{P})=\nabla _{X}Y|_{P}$

ここで$\mathrm {Pr} _{P}$は、$T_{P}{\bar {M}}$の元の接ベクトル空間TPMへの射影

$\mathrm {Pr} _{P}~:~T_{P}{\bar {M}}\to T_{P}M$

である。

法接続

上では${\bar {M}}$の接続のMの接ベクトルバンドルTMへの射影を考えたが、同様に${\bar {M}}$の接続のMの法ベクトルバンドルへの射影を考える事ができる。 Mの点Pに対し、

$\mathrm {Pr} _{P}^{N}~:~T_{P}{\bar {M}}\to N_{P}M$

を$T_{P}{\bar {M}}$の元の法ベクトルバンドル$N_{P}M$への射影とする。

定義 ―  XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル$NM$の切断とするとき、Mの法接続（英: normal connectionn）を以下のように定義する：

$\nabla _{X}^{\bot }\eta :=\mathrm {Pr} ^{N}{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta$

さらにYをM上のベクトル場とするとき、

$R^{\bot }(X,Y)\eta :=\nabla _{X}^{\bot }\nabla _{Y}^{\bot }\eta -\nabla _{Y}^{\bot }\nabla _{X}^{\bot }\eta +\nabla _{[X,Y]}^{\bot }\eta$

をMの法曲率（英: normal curvature）という。

第一、第二、第三基本形式、ワインガルテン写像

上述したように、M上のレヴィ-チヴィタ接続$\nabla$は${\bar {M}}$のレヴィ-チヴィタ接続${\bar {\nabla }}^{M}$のTMへの射影であるので、両者の差 ${\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y-\nabla _{X}Y$は$M\subset {\bar {M}}$の法ベクトルバンドル$NM$への${\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y$の射影となる。 Mの点Pに対し、

$\mathrm {Pr} _{P}~:~T_{P}{\bar {M}}\to T_{P}M$

$\mathrm {Pr} _{P}^{N}~:~T_{P}{\bar {M}}\to N_{P}M$

をそれぞれ$T_{P}{\bar {M}}$の元の接ベクトル空間TPMへの射影、$T_{P}{\bar {M}}$の元の法ベクトルバンドル$N_{P}M$への射影とする。

定義 ― 　

$\mathrm {I\!I} (X,Y):={\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y-\Pr({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y)$

をMの$({\bar {M}},g)$における第二基本形式（英: second fundamental form）という。

$\Pr({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y)=\nabla _{X}Y$であったので、以下が成立する：

定理 ― 　

• ガウスの公式（英: Gauss formula）：${\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y=\nabla _{X}Y+\mathrm {I\!I} (X,Y)$

第二基本形式は以下を満たす：

定理 ― 　

• $\mathrm {I\!I} (X,Y)=\mathrm {I\!I} (Y,X)$
• $\mathrm {I\!I} (X,Y)$はX、Yに対して$C^{\infty }(M)$-線形。

また、$P(t)$をM上の曲線、$V_{P(t)}$を$P(t)$上のMに接するベクトル場とするとき、以下が成立する：

定理 ― 　

• 曲線に沿ったガウスの公式（英: Gauss formula along a curve）${{\bar {\nabla }} \over dt}V_{P(t)}={\nabla \over dt}V_{P(t)}+\mathrm {I\!I} \left({d \over dt}P(t),V_{P(t)}\right)$

上では${\bar {M}}$の接続とMの接続の差を第二基本形式として定義したが、同様に${\bar {M}}$の接続とMの法接続の差を考える事ができる。

定義 ―  XをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル$NM$の切断とするとき、

$S_{\eta }(X):=\nabla _{X}^{\bot }\eta -{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta =-\Pr {\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta$

を型写像（英: shape operator）もしくはワインガルテン写像（英: Weingarten map）という。

X、YをM上のベクトル場、ηを法ベクトルバンドル$NM$の切断とすると、Yとηは直交するので、

$0=Xg(Y,\eta )=g({\bar {\nabla }}_{X}^{M}Y,\eta )+g(Y,{\bar {\nabla }}_{X}^{M}\eta )=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )-g(Y,S_{\eta }(X))$

である。よって次が成立する：

定理 ― 　

ワインガルテンの公式（英: Weingarten Equation）$g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )=g(Y,S_{\eta }(X))$

よって特に$S_{\eta }(X)$はX、ηに関して$C^{\infty }(M)$-線形である。

埋め込み$M\subset {\bar {M}}$に対し、X、YをMの点Pにおける接ベクトル、ηをPにおける法ベクトルとする。

定義 ― 

• $\mathrm {I} (X,Y)=g(X,Y)$を第一基本形式という。
• $\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)=g(S_{\eta }(X),Y)$を第二基本形式という。
• $\mathrm {I\!I\!I} _{\eta }(X,Y)=g(S_{\eta }(X),S_{\eta }(Y))=g(S_{\eta }((S_{\eta }(X)),Y)=g(X,S_{\eta }((S_{\eta }(Y)))$を第三基本形式という。

第二基本形式の定義が前述のものと異なるが、ワインガルテンの公式から

$g(S_{\eta }(X),Y)=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )$

が成立するので、前述の第二基本形式の定義とは

$\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )$

という関係がある。このため紛れがなければ$\mathrm {I\!I} (X,Y)$、$\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)$のいずれも「第二基本形式」と呼ぶことにする。

曲率の関係式

前節と同様に記号を定義し、$\nabla$により定まるMの曲率を$R$、${\bar {\nabla }}$により定まる${\bar {M}}$の曲率を${\bar {R}}$とする。

さらにX、Y、Z、WをM上のベクトル場とし、η、ζをMの法ベクトルバンドルの切断とし、

$B(X,Y,\eta ):=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )$

とする。このとき、次が成立する：

定理 ― 　

• ガウスの方程式（英: Gauss equation）$g(R(X,Y)Z,W)=g({\bar {R}}(X,Y)Z,W)+g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,Z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,W))-g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (X,W),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (Y,Z))$
• コダッチの方程式（英: Codazzi's equation）$g({\bar {R}}(X,Y)Z,\eta )=({\bar {\nabla }}_{Y}B)(X,Z,\eta )-({\bar {\nabla }}_{X}B)(Y,Z,\eta )$
• リッチの方程式（英: Ricci equation） $g(R^{\bot }(X,Y)\eta ,\zeta )=g({\bar {R}}(X,Y)\eta ,\zeta )-g([S_{\eta },S_{\zeta }]X,Y)$

ここで${\bar {\nabla }}_{X}B$はBを$T^{*}M\otimes T^{*}M\otimes N^{*}M$の切断とみたときの共変微分であり、

$[S_{\eta },S_{\zeta }]X:=S_{\eta }(S_{\zeta }(X))-S_{\zeta }(S_{\eta }(X))$

である。

ガウスの方程式はMの曲率が全空間${\bar {M}}$の曲率と第二基本形式から決まる事を意味している。同様にリッチの方程式はMの法曲率がワインガルテン写像から決まる事を意味している。

またガウスの方程式からMの断面曲率

$\mathrm {Sec} _{P}(v,w):={g_{P}(R_{P}(v,w)w,v) \over g_{P}(v,v)g_{P}(w,w)-g_{P}(v,w)^{2}}$と${\bar {M}}$の断面曲率${\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(v,w)$に関して以下の系が従う：

系 ― 　T_PMの正規直交している2本のベクトルv、wに関し、以下が成立する：

$\mathrm {Sec} _{P}(v,w)={\overline {\mathrm {Sec} }}_{P}(v,w)+g(\mathrm {I\!I} (v,v),\mathrm {I\!I} (w,w))-g(\mathrm {I\!I} (v,w),\mathrm {I\!I} (v,w))$

主曲率、ガウス曲率、平均曲率

埋め込み$M\subset {\bar {M}}$が余次元1の場合、すなわち$\mathrm {dim} {\bar {M}}-\mathrm {dim} M=1$の場合、Mに対し古典的なガウス曲率と平均曲率を定義する事ができる。

今（余次元1とは限らない）Mの点Pにおける法ベクトル空間N_PMから元ηをfixし、第二基本形式

$\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )$

を考えると、第二基本形式の性質から$\mathrm {I\!I} _{\eta }$は実数値の対称二次形式である。よって$\mathrm {I\!I} _{\eta }$は実数の範囲で回転行列により対角化可能である。

特にMが余次元1である場合、ηとして長さ1の法ベクトルを（±1倍を除いて）一つだけ選ぶ事ができる。

定義 (主曲率、ガウス曲率、平均曲率) ― $M\subset {\bar {M}}$が余次元1で$\eta \in N_{P}M$を点$P\in M$における（±1倍を除いて）唯一の長さ1の法ベクトルとし、対称二次形式

$\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )|_{P}$

を回転行列で対角化した際の固有値を$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$とし、$e_{1},\ldots ,e_{m}$を対応する長さ1の固有ベクトルとする。このとき、 各e_iの事を点PにおけるMの主方向（英: principal direction）といい、$\kappa _{i}$を主方向e_iに関する主曲率（英: principal curvature）という。

さらに主曲率の第i基本対称式$\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})$を二項係数$\textstyle {\binom {n}{k}}$で割った

$H_{i}:={1 \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})$

を点Pにおける第i平均曲率（英: i-th mean curvature）という。特に、

$K:=H_{m}=\mathrm {det} \mathrm {I\!I} _{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}$

を点PにおけるMのガウス曲率（英: Gausian curvature）もしくはガウス・クロネッカー曲率（英: Gauss Kronecker curvature）といい、

$H:=H_{1}={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} _{\eta }={\kappa _{1}+\cdots +\kappa _{m} \over n}$

を点PにおけるMの平均曲率（英: mean curvature）という。

なお、ガウス曲率の事を全曲率（英: total curvature）という事もあるが、「全曲率」という言葉は測地線曲率の曲線全体に対する積分値を指す場合もあるので注意が必要である。

上記の定義についていくつか補足を述べる。第一に、単位法ベクトルηの向きを反転させると、主曲率の符号が反転してしまう。このためMや${\bar {M}}$が向き付け可能なときは、TM×ηの向きが${\bar {M}}$の向きと一致するという規約を授けてηの向きを固定する事が多い。

第二に、$\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)|_{P}$は対称二次形式であるので、次が成立する：

定理 ―  （固有値$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$が相異なれば）主方向$e_{1},\ldots ,e_{m}$は互いに直交する。

第三にワインガルテンの公式から

$g(S_{\eta }(X),Y)=g(\mathrm {I\!I} (X,Y),\eta )$

であるので、明らかに次が成立する：

定理 ―  主曲率および主方向はそれぞれワインガルテン写像の固有値・固有ベクトルに一致する。

よって特に次が成立する：

定理 ―  第i平均曲率は$H_{i}$はS_ηの固有多項式

$\mathrm {det} (\lambda I+S_{\eta })=\sum _{i=0}^{m}\sigma _{i}(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})\lambda ^{m-i}$

のm-i次の項を$\textstyle {\binom {n}{k}}$で割った値に等しい。

また$S_{\eta }~:~T_{P}M\to T_{P}M$が$\wedge ^{i}T_{P}M$に誘導する写像を

$\wedge ^{i}S_{\eta }~:~\wedge ^{i}T_{P}M\to \wedge ^{i}T_{P}M$

とすると、固有多項式の一般論から以下が成立する：

定理 ― 

$H_{i}={1 \over \textstyle {\binom {n}{k}}}\mathrm {tr} (\wedge ^{i}S_{\eta })$

第五に、平均曲率に関しては、$M\subset {\bar {M}}$が余次元1でなくとも、$\mathrm {I\!I} (X,Y)|_{P}$を法ベクトル空間$N_{P}M$に値を取る二次形式とみなしたときのトレース（の1/n）として定義できる：

定義 ― ${\bar {M}}$をリーマン多様体とし、$M\subset {\bar {M}}$を（余次元1とは限らない）部分リーマン多様体とし、PをMの点とする。このとき、　

$H_{P}:={1 \over n}\mathrm {tr} \mathrm {I\!I} |_{P}={1 \over n}\sum _{i}\mathrm {I\!I} |_{P}(e_{i},e_{i})\in N_{P}M$

をPにおけるMの平均曲率ベクトル（英: mean curvature vector）といい、H_Pにより定まる法ベクトルバンドルの切断Hを平均曲率ベクトル場（英: mean curvature vector field）という。ここで$e_{1},\ldots ,e_{m}$は$T_{P}M$の正規直交基底である。

平均曲率ベクトル場は極小曲面の特徴付けとして有用であり、閉多様体$M\subset {\bar {M}}$が極小曲面になる必要十分条件はM上の平均曲率ベクトル場が恒等的に0である事である事が知られている。

第三基本形式

よってワインガルテン写像S_ηに関するケイリー・ハミルトンの定理から特に次が従う：

定理 ―  Mが$\mathbb {R} ^{3}$の二次元部分多様体であれば、Mの任意の点PとPにおけるMの接ベクトルX、Yに対し、

$\mathrm {I\!I\!I} _{\eta }(X,Y)-2H_{P}\mathrm {I\!I} _{\eta }(X,Y)+K_{P}\mathrm {I} _{\eta }(X,Y)=0$

が成立する。ここでH_P、K_PはそれぞれPにおけるMの平均曲率、ガウス曲率である。

主曲率の直観的な意味

点Pにおける接ベクトルvに関し、曲線$P_{v}(s)$をPを通りvに接する（弧長パラメータsでパラメトライズされた）Mの測地線とすると、${\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {d}{ds}}P_{v}(s)=0$なので、 曲線に沿ったガウスの公式より、

• ${{\bar {\nabla }} \over ds}{\frac {d}{ds}}P_{v}(s)=\mathrm {I\!I} \left({dP_{v}(t) \over ds},{dP_{v}(t) \over ds}\right)$

であり、したがって

$\mathrm {I\!I} _{\eta }({\tfrac {dP_{v}(s)}{ds}},{\tfrac {dP_{v}(s)}{ds}})=g(\mathrm {I\!I} \left({\tfrac {dP(t)}{ds}},{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}}\right),\eta )=g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}},\eta )$

である。簡単な計算から測地線の微分が必ず法ベクトルになる事がわかるので、$g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP_{v}(t)}{ds}},\eta )$は測地線の曲率の大きさに符号をつけたものである。

以上のことから、主曲率とは（符号付きの）測地線の曲率の大きさ$g({\tfrac {\nabla }{ds}}{\tfrac {dP(t)}{ds}},\eta )$の極値になっている値の事である。

Theorema Egregium

断面曲率と第二基本形式の関係と主曲率の定義から、特に以下の系が成立する：

系 (断面曲率と主曲率の関係) ― 　埋め込み$M\subset {\bar {M}}$が余次元1の埋め込みで、$e_{1},\ldots ,e_{m}$が点$P\in M$における主方向で$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$を対応する主曲率とする。このときi≠jを満たす任意のi, j ∈{1,...,m}に対し、以下が成立する：

$\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})={\overline {\mathrm {Sec} }}(e_{i},e_{j})+\kappa _{i}\kappa _{j}$

よってとくに${\bar {M}}$が曲率cの定曲率空間、すなわち${\bar {M}}_{c}$上の任意の点Pにおける任意の方向の断面曲率がcである空間の場合には、

$\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}$

が成立する。

実は上式の右辺はMに内在的な量である：

定理 (Theorema Egregiumの一般化) ― ${\bar {M}}_{c}$を曲率cの定曲率空間とし、$M\subset {\bar {M}}_{c}$をその余次元1の部分多様体とし、さらにPをMの点とする。さらに線形写像$\rho ~:~\wedge ^{2}TM_{P}\to \wedge ^{2}TM_{P}$を

$g(\rho (X\wedge Y),Z\wedge W)=g(R(X,Y)W,Z)$

により定義する。

このとき、ρの固有値の集合は

$\{\kappa _{i}\kappa _{j}+c\mid i,j\in 1,\ldots ,m,{\text{ s.t. }}i\neq j\}$

に一致する。ここでmはMの次元であり、$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$は点Pにおける主曲率である。

また$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$に対応する主方向を$e_{1},\ldots ,e_{m}$とすると、$\kappa _{i}\kappa _{j}+c$に対応する固有ベクトルは$e_{i}\wedge e_{j}$である。

証明

$e_{1},\ldots ,e_{m}$をそれぞれ$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$に対応する主方向とすると、

$(e_{i}\wedge e_{j})_{i,j=1,\ldots ,m{\text{ s.t. }}i<j}$

は$\wedge ^{2}T_{P}M$の基底である。

i>jを満たす任意のi,j=1,...,mおよびk>ℓを満たす任意のk,ℓ=1,...,mに対し、ガウスの方程式から、

$g(\rho (e_{i}\wedge e_{j}),e_{\ell }\wedge e_{k})$$=g(R(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})$$=g({\bar {R}}(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})+g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{\ell }),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{k}))-g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{k}),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{\ell }))$ ...(1)

ηをMの単位法線とすると、主方向の定義から、

$I\!\!I_{\eta }(e_{i},e_{j})={\begin{cases}\kappa _{i}&{\text{if }}i=j\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

であるので、Mの余次元が1な事から、

$g(\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{i},e_{\ell }),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (e_{j},e_{k}))={\begin{cases}\kappa _{i}\kappa _{j}&{\text{if }}(i,j)=(\ell ,k)\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

である。

また${\bar {M}}$が曲率cの定曲率空間である事からすでに述べたように、

$g(R(X,Y)W,Z)$$=cg(X,W)g(Y,Z)-cg(Y,W)g(X,Z)$

が任意の接ベクトルX、Y、Z、Wに対して言えるので、i>j、k>ℓを満たすi, j, k, ℓに対し、

$g({\bar {R}}(e_{i},e_{j})e_{\ell },e_{k})$$=cg(e_{i},e_{\ell })e(e_{j},e_{k})-cg(e_{i},e_{k})g(e_{j},e_{\ell })$$={\begin{cases}c&{\text{if }}(i,j)=(k,\ell )\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

が成立する。

以上から、i>j、k>ℓを満たすi, j, k, ℓに対し、

(1)の右辺$={\begin{cases}c+\kappa _{i}\kappa _{j}&{\text{if }}(k,\ell )=(i,j)\\0&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}$

が成立する。

$(e_{i}\wedge e_{j})_{i,j=1,\ldots ,m{\text{ s.t. }}i<j}$が$\wedge ^{2}T_{P}M$の基底であった事から、上記の事実は$e_{i}\wedge e_{j}$は$c+\kappa _{i}\kappa _{j}$を固有値とするρの固有ベクトルである事がわかる。

$\mathrm {Sec} (e_{i},e_{j})=c+\kappa _{i}\kappa _{j}$であったので、上記の定理は、有名なTheorema Egregiumの一般化になっている：

定理 (Theorema Egregium) ― $\mathbb {R} ^{3}$の二次元部分多様体$M\subset \mathbb {R} ^{3}$に対し、点Pにおけるガウス曲率は点Pにおける断面曲率と一致する。

Theorema Egregiumの一般化から以下の系が従う：

系 (偶数次平均曲率の内在性、偶数次元のガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取るとき、${\bar {M}}_{c}$におけるMの第r平均曲率はrが偶数ならMに内在的な量である。

よってとくに${\bar {M}}_{c}$におけるMのガウス曲率KはMの次元mが偶数ならMに内在的な量である。。

一方、奇数次元のガウス曲率はMに内在的な量ではない。実際ガウス曲率の定義$K=\mathrm {det} I\!\!I_{\eta }=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}$はMの単位法線ηというMに外在的な量に依存しており、ηの向きを変えれば$\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m}$の符号は全て反転してしまい、次元mが奇数である事から$K=\kappa _{1}\cdots \kappa _{m}$の符号も反転してしまう。

しかし次元mが奇数の場合であっても、符号を除いてガウス曲率は内在的な量となる事を前述のTheorema Egregiumの一般化から示すことができる：

系 (符号を除いたガウス曲率の内在性) ― 記号を前述の定理と同様に取る。Mの次元mが奇数であっても、${\bar {M}}_{c}$におけるMのガウス曲率Kは符号を除いて内在的な量である

以上の事から、mが偶数の場合には${\bar {M}}_{c}$におけるMのガウス曲率をリーマン曲率で具体的に書きあらわす事ができるが、この具体的な表記に関しては後述する。

ガウス写像

向き付可能なリーマン多様体Mをユークリッド空間に余次元1で埋め込んでいる場合、すなわち$M\subset \mathbb {R} ^{m+1}$、dimM=mの場合、ワインガルテン写像やガウス曲率を別の角度から定式化できる。

これまで同様ηをMの単位法ベクトル場とすると、各点P∈Mに対し、ベクトルη_Pは長さ1のベクトルなので、η_Pを原点中心の単位球S^mの元とみなす事ができる。このようにみなす事で定義できる写像

$G~:~P\in M\mapsto \eta _{P}\in S^{m}$

をガウス写像（英: Gauss map、英: Gauss spherical mapping）という。

MのPにおける接ベクトル空間の元T_PMを$M\subset \mathbb {R} ^{m}$のPにおける接平面と自然に同一視すると、任意のv∈T_PMに対し、

$\langle \eta ,v\rangle =0$

である事から、$\mathbb {R} ^{m}$においてT_PMはT_G(P)S^mと平行な超平面であるので、自然にT_PMとT_G(P)S^mを同一視する。このとき次が成立する：

定理 ―  ガウス写像が接ベクトル空間に誘導する写像

$G_{*}~:~T_{P}M\to T_{G(P)}S^{m}\approx T_{P}M$

は、

$G_{*}(v)=-S_{\eta }(v)$

を満たす。ここで$S_{\eta }(v)$はワインガルテン写像である。

さらにガウス写像はガウス曲率と以下の関係を満たす：

定理 ―  M、S^mの体積要素をそれぞれ$dV$、$dV'$とするとき、ガウス写像が誘導する写像

$G^{*}~:~\bigwedge ^{m}T_{G(P)}^{*}S^{m}\to \bigwedge ^{m}T_{P}^{*}M$

は、

$G^{*}(dV'_{G(P)})=K_{P}dV_{P}$

を満たす。ここでK_Pは点PにおけるMのガウス曲率である。

以上の事実から、Mがコンパクトで縁がなければ、ド・ラームコホモロジーの一般論から、ガウス写像$G~:~M\to S^{m}$の写像度$\mathrm {deg} (G)$は

$\mathrm {deg} (G)={\int _{M}G^{*}(dV') \over \int _{S^{m}}dV'}={\int _{M}KdV \over \mathrm {Vol} (S^{m})}$

に等しい。ここで$\mathrm {Vol} (S^{m})$は球面S^mのm次元体積である。

この事実を利用すると、偶数次元のMに対し以下の定理が結論付けられる。この定理はガウス・ボンネの定理の変種である。オリジナルのガウス・ボンネの定理との関係については後述する。

定理 ― $M\subset \mathbb {R} ^{m+1}$を$\mathbb {R} ^{m+1}$のコンパクトで縁がない向き付け可能なC^∞級m次元部分リーマン多様体とする。このとき、mが偶数であれば、

${1 \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\int _{M}KdV=\mathrm {deg} (G)={\chi (M) \over 2}$

が成立する。ここでKはガウス曲率であり、$\mathrm {deg} (G)$はガウス写像$G~:~M\to S^{m}$の写像度であり、$\mathrm {Vol} (S^{m})$は単位球面S^mのm次元体積であり、$\chi (M)$はMのオイラー標数である。

証明の概略

${1 \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\int _{M}KdV=\mathrm {deg} (G)$はすでに示したので、$\mathrm {deg} (G)={\chi (M) \over 2}$のみを示す。

Mが連結ではない場合は連結成分毎に定理を証明すれば良いので、一般性を失わずMは連結であると仮定する。このとき、m+1次元多様体$N\subset \mathbb {R} ^{m+1}$で$\partial N=M$となるものが存在する事が下記の定理により保証される：

定理 (ジョルダン・ブラウワーの定理) ―  $M\subset \mathbb {R} ^{m+1}$を$\mathbb {R} ^{m+1}$の縁のないコンパクトで連結なC^∞級のm次元部分多様体とする。このときコンパクトで連結なm+1次元多様体$N\subset \mathbb {R} ^{m+1}$とコンパクトでない連結な領域$L\subset \mathbb {R} ^{m+1}$が存在し、

$\partial N=M$、$\mathbb {R} ^{m+1}\setminus M=L\sqcup \mathrm {Int} N$、

が成立する。ここで$\mathrm {Int} N$はNの内部である。

そこでNに対してホップによる以下の定理を用いる：

定理 (ホップの指数定理(Hopf's Index Theorem)) ―  $\mathbb {R} ^{m+1}$のコンパクトなm+1次元部分多様体$N\subset \mathbb {R} ^{m+1}$上のベクトル場Xで、非退化な孤立零点しか持たず、さらにXがNの境界∂N上Nの外側を向いているものとすると、Xの零点の指数の総和は∂Nのガウス写像の写像度に等しい。

証明の概略

$x_{1},\ldots ,x_{n}\in N$をXの零点とし、これらの零点のε-近傍を$B_{1},\ldots ,B_{n}$とし、さらに$S_{i}:=\partial B_{i}$（$i=1,\ldots ,n$）とする。εを十分小さく取る事で、$B_{i}\cap B_{j}=\emptyset$ for $i\neq j$としてよい。

${\hat {N}}:=N\setminus (B_{1}\cup \cdots \cup B_{n})$とすると、B_iの定義から${\hat {N}}$上Xは0にならない。このため$P\in {\hat {N}}$に対し、

$\eta (P):={X_{P} \over \|X_{P}\|}$

が定義できる。$\eta (P)$は長さ1である事から単位球S^mの元とみなす事ができるので、写像

$\eta ~:~P\in {\hat {N}}\mapsto \eta (P)\in S^{m}$

が定義できる。明らかにηのMへの制限はMのガウス写像に一致する。

また零点の指数の定義から$\eta _{S_{i}}$の写像度は零点x_iの指数に一致する

ホモロジー群$H_{m}(S_{i})$、$H_{m}(M_{i})$の基本類をそれぞれ$[S_{i}]$、$[M]$とする。これらの基本類を包含写像

$S_{1}\cup \cdots S_{n}\cup M\hookrightarrow N$

により$H_{m}(N)$に写すと、

$[M]-[S_{1}]-\cdots -[S_{n}]+=[\partial N]=0~~{\text{in}}~~H_{m}(N)$

が成立する。なお、ここで$[S_{i}]$の符号が負なのは、B_iの向き付けを$S_{i}=\partial B_{i}$によりB_iから入れているからである。 よって

$S_{1}\cup \cdots S_{n}\cup M\hookrightarrow N{\overset {\eta }{\to }}S^{m}$

がホモロジー群に誘導する写像を考えると、

$\eta _{*}([M])=\eta _{*}([S_{1}])+\cdots +\eta _{*}([S_{n}])~~{\text{in}}~~H_{m}(S^{m})$

が成立する。$\eta _{*}([M])$は定義からMのガウス写像の写像度に等しく、写像度$\eta _{*}([S_{i}])$は零点x_iの指数に一致したので定理が証明された。

上述の定理の条件を満たすXを選ぶと、Xの零点の指数の総和はポアンカレ・ホップの定理よりNのオイラー標数に等しいので、以上の事実から

$\mathrm {deg} (G)=\chi (N)$

が成立する。

N'をNのコピーとし、NとN'をその縁である$\partial N=\partial N'=M$で張り合わせてできる多様体を${\tilde {N}}$とする（すなわち${\tilde {N}}$はNのダブル）と、

$\chi ({\tilde {N}})+\chi (M)=\chi (N)+\chi (N')=2\chi (N)$

が成立する。

Mが偶数次元だという仮定から、${\tilde {N}}$は奇数次元であり、縁のないコンパクト奇数次元多様体のオイラー標数はポアンカレの双対性定理から常に0なので、前述の式から

$\chi (M)={1 \over 2}\chi (N)$

が言え、定理が証明される。

ガウス・ボンネの定理

前述したガウス・ボンネの定理の変種に2次元のTheorema Egregiumを適用する事で、ガウス・ボンネの定理の変種における「ガウス曲率」を「断面曲率」に置き換えたものが成立する事がわかる：

系 ($\mathbb {R} ^{3}$内の曲面に対するガウス・ボンネの定理) ― $M\subset \mathbb {R} ^{3}$を$\mathbb {R} ^{3}$のコンパクトで縁がない向き付け可能なC^∞級2次元部分リーマン多様体とする。このとき、

$\int _{M}\mathrm {Sec} dV=2\pi \chi (M)$

が成立する。ここで$\chi (M)$はMのオイラー標数である。

なお、2次元リーマン多様体の場合、断面曲率$\mathrm {Sec} (e_{1},e_{2})$は方向$e_{1},e_{2}$を明示せずとも一意に定まるため、上の系では$\mathrm {Sec} (e_{1},e_{2})$を単に$\mathrm {Sec}$と表した。

しかし上記のバージョンのガウス・ボンネの定理は

• 2次元の場合にしか適用できない
• ユークリッド空間の部分リーマン多様体にしか適用できない
• 縁があるリーマン多様体に対しては適用できない

という制限を持つ。

そこで本章ではまず、2次元リーマン多様体に対して上記の2番目と3番目の制限を取ったガウス・ボンネの定理を導入する。

次に、ユークリッド空間上の偶数次元かつ余次元1のリーマン多様体のMに対し、前章で示したガウス曲率が内在的な量であるという事実をベースにガウス曲率をリーマン曲率を使って具体的に書きあらわす。

そして最後に上述した制限を取った一般のバージョンのガウス・ボンネの定理を導入する事にある。

2次元の場合

2次元の場合は、2次元の特殊性により、ユークリッド空間の部分リーマン多様体ではない場合のガウス・ボンネの定理も下記の定理を用いることで比較的容易に示す事ができる。

定理 (多角形に関するガウス・ボンネの定理) ―  Mをn個の頂点を持つ（向きづけられた）多角形にリーマン計量を入れたものとする。このとき

$\int _{M}\mathrm {Sec} dV+\int _{\partial M}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi$

が成立する。ここでSecはMの断面曲率であり、dVはMの面積要素であり、∂MはMの辺にMから定まる向きを入れたものであり、κは∂Mの曲率であり、dsは線素であり、ε_iは多角形Mのi番目の頂点の外角の大きさである。

与えられた向き付け可能な曲面Mを三角形分割して上記の定理を適用する事により、ユークリッド空間の部分空間とは限らない、一般の2次元リーマン多様体に対し以下が成立する事がわかる：

定理 (曲面に対するガウス・ボンネの定理) ― Mを（$\mathbb {R} ^{3}$の部分空間とは限らない）コンパクトで向き付け可能なC^∞級2次元部分リーマン多様体で縁∂Mが区分的になめらかなものとする。 さらに$v_{1},\ldots ,v_{n}$を∂Mがなめらかではない点とし、ε_iをv_iにおける∂Mの外角とする。このとき、

$\int _{M}\mathrm {Sec} dV+\int _{\partial M}\kappa ds+\sum _{i=1}^{n}\varepsilon _{i}=2\pi \chi (M)$

が成立する。上式の記号の意味に関しては多角形に関するガウス・ボンネの定理と同様である。

なお、下記の計算からわかるように、2次元の場合は、断面曲率と体積要素の積$\mathrm {Sec} dV$は接バンドルの正規直行座標系$(e_{1},e_{2})$に対する曲率形式$\Omega ^{1}{}_{2}$に等しい：

$\mathrm {Sec} dV=\mathrm {Sec} (e_{1},e_{2})dV=g(R(e_{1},e_{2})e_{2},e_{1})e^{1}\wedge e^{2}$$=g(\Omega ^{1}{}_{2}(e_{1},e_{2})e_{1},e_{1})e^{1}\wedge e^{2}$$=g(e_{1},e_{1})\Omega ^{1}{}_{2}(e_{1},e_{2})e^{1}\wedge e^{2}=\Omega ^{1}{}_{2}$

曲率形式$\Omega ^{1}{}_{2}$が正規直行座標系$(e_{1},e_{2})$に依存しない事を容易に示せるので、2次元のガウス・ボンネの定理における$\mathrm {Sec} dV$を曲率形式$\Omega ^{1}{}_{2}$に置き換えても良い。

一般の偶数次元の場合

概要

本節ではまず$\mathbb {R} ^{m+1}$に埋め込まれている余次元1かつ偶数次元のリーマン多様体Mに対し、Theorema Egregiumを拡張する。すなわち、Mのガウス曲率Kが、Mの内在的な量である曲率形式$\Omega =(\Omega _{ij})_{ij}$を用いて

$KdV=$（Ω_i^jの多項式）

という形でかける事を見る。この「Ω_i^jの多項式」（に定数$2/\mathrm {Vol} (S^{m})$を乗じたもの）をオイラー形式$\mathrm {eu} (\Omega )$という。

そして上式を前述したガウス曲率を使ったガウス・ボンネの定理を組み合わせる事で、$\mathbb {R} ^{m+1}$に余次元1で埋め込まれている縁のない偶数次元コンパクトリーマン多様体に対して、多様体の内在的な量$\mathrm {eu} (\Omega )$を用いたガウス・ボンネの定理、すなわち

$\int _{M}\mathrm {eu} (\Omega )=\chi (M)$

を示す。

次にこの定理を（$\mathbb {R} ^{m+1}$埋め込まれているとは限らない）一般の縁のない偶数次元コンパクトリーマン多様体に拡張する。そして最後にこの定理を縁がある場合に拡張する。

並行して我々は、奇数次元のMに関してはMのガウス曲率KはMの内在的な量ではない事をみる。したがってガウス・ボンネの定理は（少なくとも上述したストーリーでは）奇数次元に対して一般化するはできない。

パッフィアン

オイラー形式を定義する「多項式」を記述するため、「パッフィアン」を定義する。これは後述するように行列式の平方根に相当する。

定理・定義 (パッフィアン) ―  mを正の偶数とし、Vをm次元の向きづけられた実ベクトル空間とし、$e_{1},\ldots ,e_{m}$をVの正規直行基底でVの向きと同じ向きのものとし、歪対称二次形式

$\alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}$

に対し、

$\overbrace {\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha } ^{m/2}={1 \over (m/2)!}\mathrm {Pf} (\alpha )e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}$

となる実数$\mathrm {Pf} (\alpha )$が一意に存在する。 しかも$\mathrm {Pf} (\alpha )$はVと同じ向きの正規直交基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$の取り方によらない。

$\mathrm {Pf} (\alpha )$をαのパッフィアン（英: Pfaffian）と呼ぶ。

上記の定理において、$\mathrm {Pf} (\alpha )$の存在一意性は$\bigwedge ^{n}V$が1次元ベクトル空間な事から明らかに従う。Vと同じ向きの正規直交基底の取り方によらないことも、$\mathrm {Pf} (\alpha )$の定義がαの成分表示によらず、しかも$e_{1}\wedge \cdots \wedge e_{m}$がそのような基底の取り方によらない事から明らかに従う。

歪対称行列$A=(a^{ij})_{ij}$に対し、紛れがなければ$\alpha =\sum _{i>j}a^{ij}e_{i}\wedge e_{j}$のパッフィアン$\mathrm {Pf} (\alpha )$の事を$\mathrm {Pf} (A)$とも表記する。 定義から明らかに次が成立する。

定理 ―  任意の正則行列Bに対し、

$\mathrm {Pf} (B^{-1}AB)=\mathrm {det} (B)\mathrm {Pf} (A)$

が成立する。よって特に任意の直交行列Bに対し、

$\mathrm {Pf} (B^{-1}AB)={\begin{cases}\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=1\\-\mathrm {Pf} (A)&{\text{if }}\mathrm {det} (B)=-1\end{cases}}$

が成立する。

パッフィアンは具体的には以下のように書ける。

定理 (パッフィアンの具体的表記) ― m=2k次の歪対称行列$A=(a^{ij})_{ij}$に対し、以下が成立する：

$\mathrm {Pf} (A)={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )a^{\sigma (1)\sigma (2)}\cdots a^{\sigma (m-1)\sigma (m)}$.

ここで${\mathfrak {S}}_{m}$は対称群であり、$\mathrm {sgn} (\sigma )$は置換σの符号である。

パッフィアンは行列式の平方根である：

定理 ― m=2k次の歪対称行列$A=(a^{ij})_{ij}$に対し、以下が成立する：

$\mathrm {Pf} (A)^{2}=\mathrm {det} (A)$.

オイラー形式

次に我々はパッフィアンを使ってオイラー形式を定義する。

定義 (オイラー形式) ―  mを偶数とし、Mをm次元リーマン多様体とし、$e_{1},\ldots ,e_{m}$を開集合$U\subset M$におけるTMの正規直交基底とし、$\Omega =(\Omega ^{i}{}_{j})_{ij}$を$e_{1},\ldots ,e_{m}$に関するMの曲率形式とする。このとき、

$\mathrm {eu} (\Omega )=\mathrm {Pf} \left({\Omega \over 2\pi }\right)={1 \over (2\pi )^{k}}\mathrm {Pf} (\Omega )$

をオイラー形式（英: Euler form）もしくはガウス・ボンネ被積分関数（英: Gauss-Bonnet integrand）という。

上記の定義に関して２点補足する。１つ目の補足は「$\mathrm {Pf} (\Omega )$」という記号の意味についてである。「$\mathrm {Pf} (\Omega )$」はパッフィアンPf(A)の具体的表記において、行列AをΩに置き換え、さらに積をウェッジ積に置き換えることで定義される。すなわち、

$\mathrm {Pf} (\Omega )={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\Omega ^{\sigma (1)}{}_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \Omega ^{\sigma (m-1)}{}_{\sigma (m)}$

なお、添字の上下がPf(A)の具体的表記とは異なっているが、正規直交基底を考えているのでこれは問題にならない。またΩⁱ_jは2-形式であるので、上述のウェッジ積はΩⁱ_jの入れ替えに関して可換である。

２つ目はwell-definedに関する補足である。上述のオイラー形式は正規直交基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$の取り方に依存しているが、パッフィアンの定義が正規直交基底の取り方によらなかった事から、オイラー形式の定義も正規直交基底の取り方によらずwell-definedである。よって特に、オイラー形式はMの全域で定義可能である。

正規直交基底$e_{1},\ldots ,e_{m}$の双対基底を$\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}$とするとき、曲率形式の成分表示

$\Omega ^{i}{}_{j}=R^{i}{}_{jk\ell }\theta ^{k}\wedge \theta ^{\ell }$

を使うと、オイラー形式も下記のように成分表示できる：

定理 (オイラー形式の成分表示) ― 以下が成立する

$\mathrm {Pf} (\Omega )={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma ,\tau \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\mathrm {sgn} (\tau )R^{\sigma (1)}{}_{\sigma (2)\tau (1)\tau (2)}\cdot \cdots \cdot R^{\sigma (m-1)}{}_{\sigma (m)\tau (m-1)\tau (m)}\theta ^{1}\wedge \cdots \wedge \theta ^{m}$

オイラー形式とガウス曲率の関係

本節では、偶数次元リーマン多様体Mが余次元1でユークリッド空間に埋め込まれているときは、ガウス曲率とオイラー形式は定数倍を除いて一致する事を見る：

定理 (ガウス曲率のオイラー形式による表記) ― mを偶数とし、$M\subset \mathbb {R} ^{m+1}$をm次元リーマン多様体Mの余次元1の埋め込みとする。このとき以下が成立する：

$\mathrm {eu} (\Omega )={2K \over \mathrm {Vol} (S^{m})}dV$

ここで$\mathrm {eu} (\Omega )$はMのオイラー形式であり、KはMのガウス曲率であり、dVはMの体積要素である。

証明

$e_{1},\ldots ,e_{m}$をそれぞれ主曲率κ₁、...、κ_mに対応する主方向とし、$\theta ^{1},\ldots ,\theta ^{m}$をその双対基底とすると、断面曲率と主曲率の関係から、

$\Omega ^{i}{}_{j}=\kappa _{i}\kappa _{j}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}$

がi≠jを満たすi、jに対して成立する。よってk=m/2とすると、パッフィアンの具体的表記から、

${\begin{aligned}\mathrm {Pf} (\Omega )&={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\Omega ^{\sigma (1)}{}_{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \Omega ^{\sigma (m-1)}{}_{\sigma (m)}\\&={1 \over 2^{k}k!}\sum _{\sigma \in {\mathfrak {S}}_{m}}\mathrm {sgn} (\sigma )\kappa _{\sigma (1)}\cdots \kappa _{\sigma (m)}\theta ^{\sigma (1)}\wedge \theta ^{\sigma (2)}\wedge \cdots \wedge \theta ^{\sigma (m-1)}\wedge \theta ^{\sigma (m)}\\&={\kappa _{1}\cdots \kappa _{m} \over 2^{k}k!}\cdot (2k)!\theta _{1}\wedge \cdots \wedge \theta _{m}\\&=1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)KdV\\&={2K \over \mathrm {Vol} (S^{m})}\cdot (2\pi )^{k}\end{aligned}}$

となり定理が証明された。なお最後の等号は

$\mathrm {Vol} (S^{m})={\frac {2(2\pi )^{k}}{1\cdot 3\cdot \cdots \cdot (2k-1)}}$

である事から従う。

奇数次元の場合

先に進む前に、Mの次元mが奇数の場合にはガウス曲率が内在的な量で書けるかどうかを見る。

実はmの偶奇にかかわらず、ガウス曲率Kの自乗はMの内在的な量で書ける：

定理 (ガウス曲率Kの自乗は内在的な量) ―  aa

証明 — 断面曲率と主曲率の関係から、

$\Omega _{ij}(e_{i},e_{j})={\begin{cases}\kappa _{i}\kappa _{j}&{\text{ if }}i\neq j\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$

であった。 そこで不定元$X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m}$を考え、行列$A(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})=(A_{ij}(X_{i},Y_{j}))_{i}j$で、

$A_{ij}(X_{i},Y_{j})={\begin{cases}X_{i}Y_{j}&{\text{ if }}i\neq j\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$

となるものを考え、多項式$p(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})=\mathrm {det} A(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})$を考えると、明らかに

$\mathrm {det} \Omega =p(\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m},\kappa _{1},\ldots ,\kappa _{m})$

が成立する。よって$p(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})$を因数分解する事で、$\mathrm {det} \Omega$を具体的に書きあらわす事ができる。

多項式pの定義より、 $p(X_{1},\ldots ,{\overset {i}{\check {0}}},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})=0$なので、因数定理よりpはX_iを因数に持つ。同様の議論でpがY_iを因数に持つ事も示せるので、

$p(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})=X_{1}\cdots X_{m}\cdot Y_{1}\cdots Y_{m}q(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})$

の形で書ける。両辺の次数を比較することで、qが0次である事が示せ、結局、

$p(X_{1},\ldots ,X_{m},Y_{1},\ldots ,Y_{m})=c\cdot X_{1}\cdots X_{m}\cdot Y_{1}\cdots Y_{m}$

となる定数cが存在する事になる。

定数cを求めるため、

$v_{i}^{(m)}:={}^{t}\overbrace {(1,\ldots ,1,{\overset {i}{\check {0}}},1,\ldots ,1)} ^{m}$

とすると、

${\begin{aligned}c&=p(1,\ldots ,1)\\&=\mathrm {det} (v_{1}^{(m)},\ldots ,v_{m}^{(m)})\\&=\mathrm {det} (v_{1}^{(m)},\ldots ,v_{m-1}^{(m)},v_{m}^{(m)}-{\tfrac {1}{m-2}}(v_{1}^{(m)}+\cdots +v_{m-1}^{(m)}))\\&=\mathrm {det} {\begin{pmatrix}v_{1}^{(m-1)}&\ldots &v_{m-1}^{(m-1)}&0\\1&\ldots &1&-{\tfrac {m-1}{m-2}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

主バンドルの接続

本章では、任意に与えられたリー群Gの主バンドルに対する接続の概念を定義し、その性質を述べる。

これにより、原理的には任意のリー群Gの主バンドルの接続を議論できる事になるが、研究が進んでいるのはGが$\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$、$\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$、直交群$O(n)$、回転群$SO(n)$、ユニタリ群$U(n)$等、一般線形群やその閉部分リー群の場合である。 これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、計量の入った実ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量の入った複素ベクトルバンドルに対応する。

こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。

定義

定義 ―  aaa

aaa

これまで共変微分の概念を用いる事で平行移動の概念を定義してきたが、逆に平行移動の概念を用いて共変微分を特徴づけることができる：

定理 (共変微分の平行移動による特徴づけ) ―  多様体M上の曲線$P(t)$とMのベクトルバンドルEの$P(t)$に沿った切断$s(t)\in E_{P(t)}$を考えるとき、$P(t)$に沿った平行移動を$\varphi _{a,t}$とすると、以下が成立する：

${\nabla s \over dt}(a)$$=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$

ここで${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$はベクトル空間$E_{P(a)}$における微分${d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))=\lim _{t\to a}{\tfrac {\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))-s(a)}{t}}$である。なお、$\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))$はtによらず$E_{P(a)}$に属するので、$E_{P(a)}$上の差や極限を考えることができる。

証明

$e_{1},\ldots ,e_{n}$を$E_{P(a)}$の基底とし、$e_{i}(t):=\varphi _{a,t}(e_{i})$（for $i=1,\ldots ,n$）とし、 $s(t)=s^{i}(t)e_{i}(t)$と成分表示すると、

${\nabla \over dt}s(t)={\nabla \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(t))={ds^{i} \over dt}(t)e_{i}(t)+s^{i}(t){\nabla e_{i} \over dt}(t)$

が成立する。$e_{i}(t)$の定義から$e_{i}(t)$は$P(t)$に沿って平行なので、上式右辺第二項は0である。よって、

${\nabla s \over dt}(a)={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(a)=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)e_{i}(a))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}(s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(t)))\right|_{t=a}=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$

となり定理が証明された。

上記の定理を用いると、共変微分の成分表示に意味を持たせる事ができる。これをみるため$x~:~U\subset M\to \mathbb {R} ^{m}$をMを局所座標とし、xを成分で$x=(x^{1},\ldots ,x^{m})$とあらわし、さらに$e_{1},\ldots ,e_{n}$をU上定義されたEの局所的な基底とすると、

${\nabla s \over dt}(a)$$=\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(s(t))\right|_{t=a}$$=\left.{d \over dt}s^{i}(t)\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$$={ds^{i} \over dt}(a)(e_{i}(x(a)))+s^{i}(a)\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$

であるので、これを共変微分の成分表示

$\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))$

と比較する事で、以下が結論付けられる：

定理 (接続形式の平行移動による特徴づけ) ― 曲線$x(t)$上の平行移動を$\varphi _{a,t}$とし、曲線状定義されたEの基底を$e_{1},\ldots ,e_{n}$とするとき、$\left.{d \over dt}\varphi _{a,t}{}^{-1}(e_{i}(x(t)))\right|_{t=a}$の行列表示は接続形式を使って$\omega \left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)$と書ける。

すなわち

$\left.{\nabla s \over dt}\right|_{t=a}={ds^{i} \over dt}(a)e_{i}(x(a))+s^{i}(a)\omega _{i}{}^{j}\left({\tfrac {dx}{dt}}(a)\right)e_{j}(x(a))$

の第一項、第二項はそれぞれ、$s=s^{i}e_{i}$をライプニッツ則に従って微分したときのsⁱの方の微分、e_iの方の微分に対応していると解釈できる。

概要

テンソルに対する接続を考慮したもので、テンソルの共変成分の階数を一つ上げる微分演算を共変微分（covariant derivative）と呼ぶ。

共変微分は、テンソルの和の共変微分、積の共変微分に関して、普通の偏微分と全く同じ法則に従う。

共変微分と偏微分の表記方法

共変微分は大抵の場合、ナブラ $\nabla$ と偏微分記号を用いて

$\nabla _{j}w_{i}={\frac {\partial w_{i}}{\partial x^{j}}}-\sum _{a}\Gamma _{ji}^{a}w_{a}$

と表記する が、簡便記法としてナブラ記号と偏微分記号を落として、代わりにセミコロンとコロンを添字に補って共変微分と偏微分を表す、すなわち

$w_{i;j}=w_{i,j}-\sum _{a}\Gamma _{ji}^{a}w_{a}$

というように表すことがよくある。

定義

M を可微分多様体 、M 上のある点における座標系を(x^h) (1 ≦ h ≦ n)、 M 上滑らかなベクトル場の集合を ${\mathfrak {X}}(M)$ とする。

ベクトル場に対する共変微分

M 上のベクトル場に対する共変微分 (covariant derivative) とは、写像

$\nabla \colon {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M);\;\;(X,Y)\longmapsto \nabla _{X}Y$

であって、次の四条件

1. $\nabla _{X}(Y_{1}+Y_{2})=\nabla _{X}Y_{1}+\nabla _{X}Y_{2}$
2. $\nabla _{(X_{1}+X_{2})}Y=\nabla _{X_{1}}Y+\nabla _{X_{2}}Y$　（双線型性）
3. $\nabla _{fX}Y=f\nabla _{X}Y$
4. $\nabla _{X}(fY)=(Xf)Y+f\nabla _{X}Y$　（ライプニッツ則）

を満たすものを言う。なお、共変微分は可微分多様体の接続 (connection) の条件とみなせることから、$\nabla$ は M 上のアフィン接続 (affine connection) とも呼ばれる。

双対ベクトル場（微分形式）に対する共変微分

M 上の双対ベクトル場（微分形式）を ω とする。ω に対するベクトル場 X による共変微分 $\nabla _{X}\omega$ をベクトル場の共変微分を用いて以下

$\langle \nabla _{X}\omega ,Y\rangle =X\langle \omega ,Y\rangle -\langle \omega ,\nabla _{X}Y\rangle$

のように定義する。

なお、二つのテンソル F, H のテンソル積 $F\otimes H$ のベクトル場 X による共変微分について次の性質

$\nabla _{X}(F\otimes H)=(\nabla _{X}F)\otimes H+F\otimes (\nabla _{X}H)$

が成り立つ。

接続係数と共変微分の局所表示

座標系 (x^h) に関し、n³ 個の C^∞ 関数 $\Gamma _{ij}^{k}$（1 ≦ i, j, k ≦ n）を

$\nabla _{i}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left(=\nabla _{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)=\sum _{k}\Gamma _{ij}^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}$

によって定義する。この関数の集まり $\left\{\Gamma _{ij}^{k}\right\}$ を、共変微分 $\nabla$ の $\left\{{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right\}$ に関する接続係数 (connection coefficients) と呼ぶ。

ここで、ベクトル場

$X=\sum X^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},\;\;\;Y=\sum Y^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

に対して、X による Y の共変微分 $\nabla _{X}Y$ は共変微分の規則を用いて展開することで、

$\nabla _{X}Y=\sum _{i,j}X^{i}\nabla _{i}Y^{j}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}$

ただし、ここで $\nabla _{i}Y^{j}={\frac {\partial Y^{j}}{\partial x^{i}}}+\sum _{k}\Gamma _{ik}^{j}Y^{k}$

という表現、すなわち共変微分の局所表現を得る。

さらに、接続係数の定義と微分形式に対する共変微分の定義から

$\left\langle \nabla _{k}\mathrm {d} x^{i},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right\rangle ={\frac {\partial \delta _{j}^{i}}{\partial x^{k}}}-\left\langle \mathrm {d} x^{i},\nabla _{k}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right\rangle =-\left\langle \mathrm {d} x^{i},\sum _{l}\Gamma _{kj}^{l}{\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\right\rangle =-\sum _{l}\Gamma _{kj}^{l}\delta _{l}^{i}=-\Gamma _{kl}^{i}$

が導かれることから、双対基底と接続係数の関係

$\nabla _{k}\mathrm {d} x^{i}=-\sum _{j}\Gamma _{kj}^{i}\mathrm {d} x^{j}$

が得られる。したがって、微分形式

$W=\sum _{i}W_{i}\mathrm {d} x^{i}$

のベクトル場 X による共変微分の局所表現は、

$\nabla _{k}W_{i}={\frac {\partial W_{i}}{\partial x^{k}}}-\sum _{j}\Gamma _{ki}^{j}W_{j}$

となる。

リーマン多様体上で成り立つ性質

可微分多様体 M をリーマン多様体とする。すなわち、M の各点に基本計量テンソル $g_{ij}$ が与えられており、接続の記号 $\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }$ はクリストッフェル記号 $\left\{{{\lambda } \atop {\mu \nu }}\right\}$ であるとする。

リッチの補定理

基本計量テンソルの共変微分に関して、次の恒等式が成り立つ。

$\nabla _{j}g_{ih}=0,\;\;\;\nabla _{j}g^{ih}=0$（リッチの補定理）

リッチの公式

r 階共変テンソルを $S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}$ とする。このとき次のリッチの公式が成り立つ。

$\nabla _{k}\nabla _{j}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}-\nabla _{j}\nabla _{k}S_{i_{1}i_{2}\cdots i_{r}}=-\sum _{p=1}^{r}\sum _{a}R_{kji_{p}}{}^{a}S_{i_{1}i_{2}\cdots a\cdots i_{r}}$（リッチの公式）

ただし、$R_{kjh}{}^{a}$ はリーマン曲率テンソル。

共変微分によるベクトル解析

勾配（gradient）

スカラー f の共変微分は f の方向微分に他ならない。そこで、1階共変ベクトルであるスカラー f の x^j 方向の共変微分 $\nabla _{j}f$

$\nabla _{j}f={\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}$

をベクトル解析に倣い勾配（gradient）と呼ぶ。

発散（divergence）

反変ベクトルの発散

一つの反変ベクトル v^k の x^j 方向の共変微分 $\nabla _{j}v^{k}$ は1階共変、1階反変の混合テンソルであるが、これから作ったスカラー

$\sum _{a}\nabla _{a}v^{a}=\sum _{a}{\frac {\partial v^{a}}{\partial x^{a}}}+\sum _{a}\left\{{{a} \atop {ai}}\right\}v^{i}$

を、反変ベクトル v^k の発散（divergence）と呼ぶ。

回転（rotation）

一つの共変ベクトル w_i の x^j 方向の共変微分 $\nabla _{j}w_{i}$ は2階共変テンソルから構成された

$\nabla _{j}w_{i}-\nabla _{i}w_{j}={\frac {\partial v^{i}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial v^{j}}{\partial x^{i}}}$

という2階共変テンソルを、w_i の回転（rotation）と呼ぶ。

ラプラシアン（Laplacian）

スカラー f から構成したスカラー

$\Delta _{1}f=\sum _{j,i}g^{ji}(\nabla _{j}f)(\nabla _{i}f)$,　$\Delta _{2}f=\sum _{j,i}g^{ji}\nabla _{j}\nabla _{i}f$

をそれぞれ、ベルトラミの第一微分係数、第二微分係数と呼ぶ。なお、第二微分係数について

$\Delta f=\sum _{j,i}g^{ji}\nabla _{j}\nabla _{i}f$

とおいて、これを f のラプラシアン（Laplacian）と呼ぶこともある。

関連項目

• クリストッフェル記号
• リーマン-クリストッフェルのテンソル
• 接続 (幾何学) - レヴィ=チヴィタ接続
• ゲージ理論

文献

参考文献

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• Ben Andrews. “Lectures on Differential Geometry”. Australian National University. 2022年12月28日閲覧。
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• Michael Spivak (1978/12/31). A Comprehensive Introduction to Differential Geometry. VOLUME TWO (Second Edition ed.). Publish or Perish, Incorporated. ISBN 978-0914098805 
• Manfredo P. do Carmo Francis Flaherty訳 (1994/2/24). Riemannian Geometry. Mathematics: Theory & Applications. Birkhauser Boston. ISBN 978-0817634902 
• 佐々木重夫『微分幾何学Ⅰ』 13巻、岩波出版〈岩波講座 基礎数学〉、1977年8月。 
• 小林昭七『接続の微分幾何とゲージ理論』裳華房、1989年5月15日。ISBN 978-4785310585。 
• 小林昭七『曲線と曲面の微分幾何』裳華房〈基礎数学選書 17〉、1977年8月20日。ASIN B000J8X6V8。ISBN 4-7853-1119-3。 
• John M. Lee (1997/9/23). Riemannean Manifolds An introduction to curvature.. Graduate Texts in Mathematics. 176. Springer. ISBN 978-0387983226 
• Victor V. Prasolov Olga Sipacheva訳 (2022/2/11). Differential Geometry. Moscow Lectures. 8. Springer. ISBN 978-3030922481 
• Marcel Berger (2003/6/15). A Panoramic View of Riemannian Geometry. Springer. ISBN 978-3540653172 
• Raffaele Rani. “On Parallel Transport and Curvature”. 2023年1月13日閲覧。
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• 新井朝雄『相対性理論の数理』日本評論社、2021年6月22日。ISBN 978-4535789289。 
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• Marcos Dajczer, Ruy Tojeiro (2019/8/2). Submanifold Theory Beyond an Introduction. Universitext. Springer. ISBN 978-1-4939-9644-5 

その他

• 野水克己『現代微分幾何入門』裳華房〈基礎数学選書〉、1981年。 
• 茂木勇、伊藤光弘『微分幾何学とゲージ理論』共立出版、1986年。 
• リーマン、リッチ、レビ=チビタ、アインシュタイン、マイヤー 著、矢野健太郎 (数学者) 編『リーマン幾何とその応用』共立出版、1971年。 
• 矢野健太郎『微分幾何学』朝倉書店、1949年。 
• 佐武一郎『線型代数学』裳華房、1974年。