About: 弧長

数学において、複雑な形状の曲線（弧状線分）の弧長（こちょう、英: arc length）を決定する問題は、曲線の求長 (rectification) とも呼ばれ、特定の曲線に対する求長法は歴史的に様々なものが考えられてきたが、の到来とともに曲線に依らない一般論が導かれ、いくつかの場合にはそこからが得られる。 平面内の曲線は、曲線上の有限個の点を線分で結んで得られるで近似することができる。各線分の長さは、ユークリッド空間におけるピタゴラスの定理などから直接に求まるので、近似折線の総延長はそれらの線分の長さの総和として決定することができる。 考えている曲線がはじめから折線なのでなければ、用いる線分の長さを短くして数を増やすことによって、よりその曲線に近い形の折線近似が得られる。そうやってよりよい近似折線を次々につくっていくと、その長さは減ることはなく、場合によっては無制限に増加し続ける可能性もある。しかし、殊滑らかな曲線に限っては、それは線分の長さを無限に小さくする極限で必ず一定の極限値へ収斂する。このように、ある種の曲線に対しては、任意の近似折線の長さの上界に最小値 L が存在する。そのとき、その曲線は有限長であるといい、値 L をその曲線の弧長と呼ぶのである。