Utente:Floydpig/Modello XY

In fisica teorica, più specificatamente in meccanica statistica, il modello XY (o modello O(2), dal suo gruppo di simmetria) è un modello di spin su reticolo, in cui gli spin possono ruotare in modo continuo in due dimensioni (quindi sul piano $x$-$y$). Da un certo punto di vista si tratta di un caso limite del modello di Heisenberg O(3), (dove gli spin possono ruotare liberamente in 3 dimensioni) opposto al modello di Ising, in cui gli spin possono giacere solo sull'asse $z$. In generale, il modello XY può essere visto come il caso particolare del modello O(n) di Stanley per n = 2.

Il modello assume particolare importanza in due dimensioni, dove presenta una transizione di fase speciale dovuta all'emergere e al disaccoppiamento di difetti topologici (in questo caso vortici e antivortici), nota come transizione di Kosterlitz-Thouless, osservata ad esempio nella transizione allo stato superfluido nei film di elio-4 liquido.

Definizione

Dato un reticolo $D$-dimensionale $\Lambda$, ad ogni sito del reticolo $j\in \Lambda$ si associa un vettore bidimensionale di lunghezza unitaria ${\textbf {s}}_{j}=(\cos \theta _{j},\sin \theta _{j})$.

La configurazione di spin, ${\textbf {s}}=({\textbf {s}}_{j})_{j\in \Lambda }$ è quindi funzione dell'angolo $-\pi <\theta _{j}\leq \pi$ (ossia l'orientazione dello spin) per ogni $j\in \Lambda$.

Si assume la presenza un'interazione di accoppiamento fra gli spin $J_{ij}=J(i-j)$ che li spinga ad orientarsi nella stessa direzione (quindi di tipo ferromagnetico) e che sia invariante per traslazioni, e di un campo esterno $\mathbf {h} _{j}=(h_{j},0)$ orientato lungo l'asse $x$ e funzione della posizione. L'energia di configurazione del sistema è quindi:

$H(\mathbf {s} )=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}-\sum _{j}\mathbf {h} _{j}\cdot \mathbf {s} _{j}=-\sum _{i\neq j}J_{ij}\;\cos(\theta _{i}-\theta _{j})-\sum _{j}h_{j}\cos \theta _{j}$

Il caso in cui $J_{ij}=0$, a meno che $i$ e $j$ non siano primi vicini, è noto come caso nearest neighbor.

La probabilità di una data configurazione ${\textbf {s}}$ del sistema alla temperatura di equilibrio $T>0$ è data dalla distribuzione di Boltzmann:

$P(\mathbf {s} )={\frac {e^{-\beta H(\mathbf {s} )}}{Z}}\qquad Z=\int _{[-\pi ,\pi ]^{\Lambda }}\prod _{j\in \Lambda }d\theta _{j}\;e^{-\beta H(\mathbf {s} )},$

dove $\beta =1/(k_{B}T)$ è la beta termodinamica (o temperatura inversa) del sistema e $Z$ è la funzione di partizione. La notazione $\langle A(\mathbf {s} )\rangle$ indica il valore di aspettazione di una generica variabile $A({\textbf {s}})$, funzione della configurazione ${\textbf {s}}$, nel limite di volume infinito, assumendo condizioni periodiche al contorno.

Risultati esatti

L'esistenza del limite termodinamico per l'energia libera e le funzioni di correlazione degli spin fu dimostrata da Jean Ginibre, estendendo la disuguaglianza di Griffiths.

Utilizzando la disuguaglianza di Griffiths come formulata da Ginibre, Aizenman e Simon dimostrarono che la funzione di correlazione degli spin a due punti del modello XY in dimensione $D$, accoppiamento $J>0$ e temperatura inversa $\beta$ ha come limite superiore la funzione di correlazione a due punti del modello di Ising in dimensione $D$, accoppiamento $J>0$ e temperatura inversa $\beta /2$: $\langle {\textbf {s}}_{i}\cdot {\textbf {s}}_{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

Per cui il valore critico (corrispondente alla transizione di fase del sistema) di $\beta$ del modello XY non può essere minore del doppio del corrispondente valore critico di $\beta$ nel modello di Ising: $\beta _{c}^{XY}\geq \beta _{c}^{Is}$

Una dimensione

Come in qualsiasi modello O(n) con interazione solo fra primi vicini e condizioni al contorno libere (non periodiche), in assenza di campo esterno si ha una soluzione esatta semplice. In questo caso l'energia del sistema è semplicemente: $$H(\mathbf {s} )=-J[\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+\cdots +\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})],$$ per cui la funzione di partizione può essere fattorizzata esprimendola come funzione delle differenze degli angoli fra gli spin:$$\theta '_{j}=\theta _{j-1}-\theta _{j}\qquad j\geq 2,$$ ottenendo quindi$${\begin{aligned}Z&=\int _{-\pi }^{\pi }d\theta _{1}\cdots d\theta _{L}\;e^{\beta J\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}\cdots e^{\beta J\cos(\theta _{L-1}-\theta _{L})}\\&=2\pi \prod _{j=2}^{L}\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}=(2\pi )\left[\int _{-\pi }^{\pi }d\theta '_{j}\;e^{\beta J\cos \theta '_{j}}\right]^{L-1}=(2\pi )^{L}(I_{0}(\beta J))^{L-1}\end{aligned}}$$ dove $I_{0}$ è la funzione di Bessel modificata del primo tipo. A partire dalla funzione di partizione si possono ricavare le varie proprietà termodinamiche di equilibrio. Ad esempio, nel limite termodinamico ($L\to \infty$), l'energia libera per spin è $$f(\beta ,h=0)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z=-{\frac {1}{\beta }}\ln[2\pi I_{0}(\beta J)]$$Utilizzando le proprietà delle funzioni di Bessel modificate, il calore specifico (per spin) può essere espresso come $${\frac {c}{k_{\rm {B}}}}=\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{L(k_{\rm {B}}T)^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}(\ln Z)=K^{2}\left(1-{\frac {\mu }{K}}-\mu ^{2}\right),$$ con $K=J/k_{\rm {B}}T$ e $\mu$ la funzione di correlazione a corto raggio:

Calore specifico esatto per spin nel modello XY unidimensionale

$$\mu (K)=\langle \cos(\theta -\theta ')\rangle ={\frac {I_{1}(K)}{I_{0}(K)}}.$$

Anche nel limite termodinamico il calore specifico rimane finito. Infatti, analogamente al modello di Ising unidimensionale, il modello XY unidimensionale non presenta transizioni di fase a temperatura finita.

Utilizzando il formalismo della matrice di trasferimento si ottiene lo stesso risultato nel caso di condizioni al contorno periodiche (sempre in assenza di campo esterno).

Calcolo con la matrice di trasferimento

La funzione di partizione può essere vista come la traccia di un prodotto di matrici (che in questo unidimensionale sono semplicemente degli scalari) $$Z={\text{tr}}\left\{\prod _{i=1}^{N}\oint d\theta _{i}e^{\beta J\cos(\theta _{i}-\theta _{i+1})}\right\}.$$ La traccia di una matrice è semplicemente la somma dei suoi autovalori, e nel limite termodinamico $L\to \infty$ solo l'autovalore più grande rimane rilevante, per cui la funzione di partizione può essere scritta come il prodotto ripetuto del suo autovalore massimo. Per fare ciò si deve risolvere il seguente problema agli autovalori: $$\oint d\theta '\exp\{\beta J\cos(\theta '-\theta )\}\psi (\theta ')=z_{i}\psi (\theta ).$$ L'espansione $$\exp\{\beta J\cos(\theta -\theta ')\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }I_{n}(\beta J)e^{in(\theta -\theta ')}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\omega _{n}\psi _{n}^{*}(\theta ')\psi _{n}(\theta )$$

corrisponde alla rappresentazione diagonale della matrice nella base delle sue autofunzioni a onda piana $\psi =\exp(in\theta )$. Gli autovalori della matrice sono semplicemente le funzioni di Bessel modificate calcolate in $\beta J$, ossia $\omega _{n}=2\pi I_{n}(\beta J)$. Per ogni valore particolare di $\beta J$, queste funzioni di Bessel modificate soddisfano $I_{0}>I_{1}>I_{2}>\cdots$ and $I_{-n}(\beta J)=I_{n}(\beta J)$. Nel limite termodinamico l'autovalore $I_{0}$ sarà dominante nel calcolo della traccia, e quindi $Z=[2\pi I_{0}(\beta J)]^{L}$.

Sempre con questo approccio si può studiare il sistema con condizioni di contorno libere in presenza di un campo esterno $h\neq 0$. Se il campo applicato $h$ è sufficientemente piccolo da poter essere trattato come una perturbazione del sistema nel caso libero, allora si può ricavare la suscettività magnetica $\chi \equiv \partial M/\partial h$. Ciò viene fatto considerando gli autostati calcolati con l'approccio della matrice di trasferimento e calcolando la variazione di energia utilizzando uno sviluppo perturbativo al secondo ordine, e quindi confrontando con l'espansione dell'energia libera $F=F_{0}-{\frac {1}{2}}\chi h^{2}$. Si trova$$\chi (h\to 0)={\frac {C}{T}}{\frac {1+\mu }{1-\mu }},$$ dove $C$ è la costante di Curie. Questa espressione vale anche per il modello di Ising unidimensionale, con $\mu =\tanh K$ .

Due dimensioni

Il modello XY in due dimensioni con interazione fra primi vicini è un esempio di un sistema per il quale il teorema di Mermin-Wagner impedisce l'esistenza di uno stato con ordine a lungo raggio, essendo la simmetria O(2) continua. Per questo motivo, non può esserci una transizione di fase convenzionale associata a una rottura spontanea di simmetria. Nonostante ciò, il sistema presenta comunque una transizione da uno stato disordinato ad alta temperatura ad uno stato quasi-ordinato a bassa temperatura al di sotto di una certa temperatura critica, nota come transizione di Kosterlitz-Thouless.

Nel caso di un reticolo discreto di spin, il modello XY bidimensionale può essere investigato riducendolo a un problema agli autovalori, sempre con il metodo della matrice di trasferimento. Anche se non si può ottenere una soluzione esatta, con certe approssimazioni si può ottenere una stima della temperatura critica $T_{c}$. Ad esempio nel 1984 Mattis stimò tale valore come:$$(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)\ln(2k_{\rm {B}}T_{c}/J)=1$$$$k_{\rm {B}}T_{c}/J\approx 0.8816$$Il metodo con cui il modello XY è stato studiato maggiormente è però con le simulazioni Monte Carlo, ad esempio con l'algoritmo di Metropolis, che permettono di calcolare le varie grandezze termodinamiche del sistema su un vasto intervallo di temperature e scale spaziali e temporali. In questo approccio a ogni spin viene associato una variabile angolo continua $\theta _{i}$, e ad ogni passo temporale l'algoritmo di Metropolis sceglie casualmente uno spin e lo ruota di un certo valore random $\Delta \theta _{i}\in (-\Delta ,\Delta )$. Questa variazione dell'angolo causa una certa variazione $\Delta E_{i}$ nell'energia totale del sistema, che può essere positiva o negativa. Se negativa, tale variazione viene accettata sempre, mentre se positiva solo con una probabilità data dal fattore di Boltzmann $e^{-\beta \Delta E_{i}}$.

Magnetizzazione quadratica media nel caso di un reticolo 25x25 e 30x30 (nel caso di Ota), suggerendo un incremento del momento magnetico assente nel limite termodinamico

Il metodo Monte Carlo ha portato ad una stima della temperatura critica pari a $k_{\rm {B}}T_{c}/J=0.8935(1)$, e può essere utilizzato per calcolare, fra le varie cose, le correlazioni fra gli spin, la lunghezza di correlazione, la magnetizzazione e il calore specifico, che permettono di caratterizzare il comportamento del sistema nei pressi del punto critico. Ad esempio, la magnetizzazione media e la magnetizzazione quadratica media possono essere calcolate come:

$${\frac {\langle M\rangle }{N}}={\frac {1}{N}}|\langle \mathbf {s} \rangle |={\frac {1}{N}}\left|\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i},\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)\right\rangle \right|$$

$${\frac {\langle M^{2}\rangle }{N^{2}}}={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle s_{x}^{2}+s_{y}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{N^{2}}}\left\langle \left(\sum _{i=1}^{N}\cos \theta _{i}\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{N}\sin \theta _{i}\right)^{2}\right\rangle$$

Calore specifico nel modello XY bidimensionale, calcolato tramite simulazione Monte Carlo su reticoli quadrati aventi dimensione da 128x128 fino a 4096x4096, che mostra un picco a $k_{\rm {B}}T/J\approx 1.167$ $T_{c}$, quindi al di sopra della transizione KT. L'inserto mostra la posizione del picco in funzione della dimensione del reticolo.

dove $N=L\times L$ è il numero totale degli spin. La magnetizzazione media è legata al modulo del momento magnetico medio del sistema: in molti sistemi ferromagnetici essa è nulla al di sopra della temperatura critica (la temperatura di Curie) ed è diversa da zero al di sotto (esempio classico di rottura spontanea di simmetria). Allo stesso modo la magnetizzazione quadratica media è legata alla media dei quadrati delle componenti degli spin; entrambe le quantità possono essere utilizzate come parametri d'ordine del sistema. Calcoli rigorosi sul modello XY in due dimensioni mostrano che nel limite termodinamico la magnetizzazione media è sempre nulla, lo stesso vale per la magnetizzazione quadratica media, che va a zero con la dimensione del reticolo come $\langle M^{2}\rangle \approx N^{-T/4\pi }$. Il fatto che questa quantità sia nulla ad alta temperatura è dovuta al fatto che gli spin saranno orientati in modo casuale, e quindi la somma delle loro componenti sarà a media nulla. A bassa temperatura in un sistema finito però la magnetizzazione quadratica media è significativamente diversa da zero, implicando che esistono regioni del reticolo in cui gli spin sono allineati, e quindi a media non nulla. Il comportamento della magnetizzazione quadratica media mostrato in figura a lato, nel caso di un reticolo 25x25, suggerisce la presenza di una transizione, nonostante questa non esista nel limite termodinamico.

Un'altra quantità fondamentale per caratterizzare il sistema è il calore specifico:$$c/k_{\rm {B}}={\frac {\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}}{N(k_{\rm {B}}T)^{2}}}.$$Le simulazioni non mostrano, nell'andamento del calore specifico in funzione della temperatura, comportamenti di tipo critico (come una divergenza in corrispondenza di $T_{c}$), ma è possibile individuare comunque un picco peculiare a $k_{\rm {B}}T/J\approx 1.043(4)\approx 1.167(1)T_{c}$. La posizione e l'altezza di tale picco non dipendono dalla dimensione del sistema (per reticolo da 256x256 in su).

Modello continuo

La natura della transizione e della formazione dei vortici può essere illustrata meglio considerando la versione continua del modello XY. In questo caso gli spin discreti $\theta _{n}$ sono sostituiti da un campo $\theta ({\textbf {x}})$, che descrive l'orientazione degli spin in ogni punto dello spazio. In questo caso tale angolo $\theta ({\textbf {x}})$ deve variare in modo liscio in funzione della posizione. Partendo da un'espansione di Taylor dell'hamiltoniana originaria, la sua versione continua sarà:$$E=\int {\frac {J}{2}}(\nabla \theta )^{2}\,d^{2}\mathbf {x}$$La versione continua del modello XY è solitamente usata per modellizare sistemi in cui il parametro d'ordine mantiene la stessa simmetria, come sottili strati di elio superfluido. Ciò rende la transizione di fase del modello XY peculiare rispetto alle altre, che tipicamente sono accompagnate da una rottura di simmetria. La transizione nel modello XY è causata dal disaccoppiamento dei difetti topologici (ossia i vortici), che causa il passaggio dallo stato più ordinato a bassa temperatura a quello disordinato a temperatura più alta. Questo tipo di transizione, in cui le funzioni di correlazione decadono in modo esponenziale ad alta temperatura e a legge di potenza a bassa temperatura, avendo quindi magnetizzazione totale nulla in entrambi i casi ($M(\beta )=0$), è noto come transizione di Kosterlitz-Thouless. Proprio Kosterlitz e Thouless fornirono una semplice argomentazione: si consideri lo stato fondamentale con gli spin tutti ordinati nella stessa direzione. Ad esso si aggiunge poi un singolo vortice, la cui presenza causerà un aumento di entropia dell'ordine di $\Delta S=k_{\rm {B}}\ln(L^{2}/a^{2})$, e un aumento di energia interna pari a $\Delta E=\pi J\ln(L/a)$, dove $a$ è una scala di lunghezza legata al vortice. Ciò implica che la variazione di energia libera nel sistema dovuto all'emergere di un vortice è pari a:

Color map of the (discrete) two-dimensional XY model in a 250x250 lattice at $k_{\rm {B}}T/J=0.4$. Each spin is represented by a color that corresponds to an angle between $(-\pi ,\pi ]$. Note the periodic boundary conditions.

$$\Delta F=\Delta E-T\Delta S=(\pi J-2k_{\rm {B}}T)\ln(L/a)$$Nel limite termodinamico, la formazione dei vortici è quindi sfavorita ($\Delta F>0$) a bassa temperatura ($T<\pi J/2k_{B}$), mentre è favorita ($\Delta F<0$) ad alta temperatura ($T>\pi J/2k_{B}$). Ciò significa che al di sotto della temperatura critica $T_{c}=\pi J/2k_{\rm {B}}$ tutti i vortici tenderanno ad annichilirsi formando coppie legate con gli antivortici, mentre al di sopra vortici e antivortici saranno liberi di muoversi nel piano.

Note

[[Categoria:Meccanica statistica]]