Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.
I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di Taylor. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del teorema di Lagrange: infatti ad una funzione differenziabile in un intervallo
, e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:
![{\displaystyle {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=f^{\prime }(\xi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc0c466d1c881bc8bbc4ec2c515f08d39ecef7c)
dove
. Da questa si ottiene:
![{\displaystyle f(x)=f(a)+f^{\prime }(\xi )(x-a),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97a402ffd509b9e5c1ec146a769174a9d36f1b27)
che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.
Consideriamo un intervallo
ed un punto
. Sia
derivabile
volte nell'intervallo
, con
, e supponiamo che la derivata
-esima
esista nel punto
. Allora, definiamo il polinomio di Taylor di grado
come
![{\displaystyle \operatorname {T} _{n}(f,x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+{{f^{\prime \prime }(x_{0})} \over {2!}}(x-x_{0})^{2}+\ldots +{{f^{(n)}(x_{0})} \over {n!}}(x-x_{0})^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}(x-x_{0})^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5173bd8503fd1f2b56daab13db9a7a34664b5ec)
si ha che
![{\displaystyle f(x)=\operatorname {T} _{n}(f,x)+R_{n}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6053e921996a4376dc15b11f9fd70829999d32)
ove
è un infinitesimo di ordine superiore a
cioè:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{R_{n}(x) \over (x-x_{0})^{n}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc3f2b5f349270a21a5500bcbff9a40a84608f68)
Il resto
si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.
Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:
![{\displaystyle R_{n}(x)=\operatorname {o} \left((x-x_{0})^{n}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb84ccbb6a17da088d6ece7f48468e4f3f236069)
Nel caso particolare
, la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:
![{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\operatorname {o} (x-x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eec1ecc73b1dff0c6a2adb045777ac0bfe2a8fa)
Essa esprime un'approssimazione della funzione
, derivabile nel punto
, mediante il polinomio di Taylor
![{\displaystyle \operatorname {T} _{1}(f,x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f88d66e0ee024c908d903d020af270aec6aa803)
Il grafico di
è la retta tangente al grafico di
nel punto di coordinate
. L'approssimazione suddetta è, in generale, migliore rispetto a quella ottenibile a partire dalla sola continuità, che si può esprimere come
![{\displaystyle f(x)=f(x_{0})+\operatorname {o} (1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e212674061cbf6b9a973b317d4e72318b887cd1)
La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.
Sia
derivabile
volte in
, vogliamo dimostrare che
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}\,h^{k}+o(h^{n})\qquad \forall x=x_{0}+h\in (x_{0},b),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7ec6878bf92685a90c8ae2841403f3d94b34f50)
Dunque abbiamo che
![{\displaystyle o(h^{n})=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{{f^{(k)}(x_{0})} \over k!}\,h^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d94d371174f2153f236b143c1e9991f51ad980e1)
e per definizione di o-piccolo (dove usiamo la convenzione
per la "derivata di ordine zero" di
). Questo equivale a
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{{1} \over {h^{n}}}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){{h^{n}} \over {n!}}\right]=0.\qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae1907bb5e4742ddae24ccaf95fa08266f4ede63)
La dimostriamo per induzione. Per
la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste
la relazione coincide con la condizione di differenziabilità per una funzione di una variabile, ovvero:
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h} \over {h}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb8f05fd3bd7b4d54364c759a97824c3f9c4cd46)
Supponiamola vera per
e dimostriamola per
. Il rapporto che compare nella
si presenta nella forma indeterminata
per
; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima
, per
non assumono mai un valore nullo.
Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, e allora il limite nella
viene a coincidere con:
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{{f^{\prime }(x_{0}+h)-f^{\prime }(x_{0})-f^{\prime \prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){{h^{n-1}} \over {(n-1)!}}} \over {nh^{n-1}}},\qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26df15bb1d61383380cef5bccef091beef37001)
nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione
, che è definita in un intorno destro di
è derivabile
volte in
e quindi, osservando che
![{\displaystyle f^{(k)}(x_{0})=g^{(k-1)}(x_{0}),\quad k=1,\dots ,n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c4977221d663be4c7cd27bf915405d1da6d7bb1)
per l'ipotesi induttiva applicata alla funzione
segue che il limite nella
è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):
![{\displaystyle f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f^{\prime }(x_{0})h-\dots -f^{(n)}(x_{0}){\frac {h^{n}}{n!}}=\operatorname {o} (h^{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e04a894451a257212ab57dbcc8b64c675897dda)
il che dimostra il passo induttivo, e con esso la tesi. Q.E.D.
Il resto nella forma di Lagrange afferma che, se la funzione è derivabile
volte in un intorno di
(si richiede che sia derivabile almeno
volte in un intorno del tipo
, più un'altra volta in
per qualche
) esiste
compreso tra
e
tale che
![{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92b7c3abc04dcfd3cfdf479f2682e813f929ae8b)
Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema di Lagrange.
Il teorema si dimostra per induzione.
La base induttiva è fatta per
:
vero per il teorema di Lagrange.
Il passo induttivo è fatto considerando il teorema vero per
e dimostrandolo, con questo, per
.
Ponendo
![{\displaystyle F(c)=f(c)-T_{n}(f,c)=f(c)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(c-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(c-x_{0})^{n}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9618d41099b1804ced6ceec5efd39ad1b74b1c6c)
e
![{\displaystyle G(c)=(c-x_{0})^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef16eaa41a1b181f3377a5f28c9b2cf6d5e4578e)
con
allora esiste
tale che
per il teorema di Cauchy.
Siccome
![{\displaystyle G'(x_{1})=(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8748ce043acdafcf284b4a0185389e747d8344b)
allora
![{\displaystyle F'(x_{1})=f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20269b06a021992725f69d0b28182fafd72b5183)
![{\displaystyle G(x_{0})=(x_{0}-x_{0})^{n+1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b664ec66fa9eedf271316d5d8d214c1c60035b55)
![{\displaystyle F(x_{0})=f(x_{0})-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x_{0}-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n)!}}(x_{0}-x_{0})^{n}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b08da642b55c21e2174dc8a160516a527e55ad56)
Sostituendo nella formula ricavata dal teorema di Cauchy:
![{\displaystyle \left(f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)\right)(x-x_{0})^{n+1}=(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}\left(f(x)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd4d52fbd57cff8e56548d300281bfce384f3944)
Spostando i fattori che moltiplicano gli sviluppi di Taylor si ottiene:
![{\displaystyle {\frac {\left(f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)\right)}{(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}}}={\frac {f(x)-\left(f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)}{(x-x_{0})^{n+1}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1964ac316e88c6df65ac80a0ae5e8804950629c)
Applicando l'ipotesi induttiva su
ossia
esplicitando:
![{\displaystyle f'(x_{1})-\left(f'(x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n-1+1)}(x_{0})}{(n-1)!}}(x_{1}-x_{0})^{n-1}\right)={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n)!}}(x_{1}-x_{0})^{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb8e3c02b45d12bce565db03b6b053a10961c11)
con
quindi sostituendo:
![{\displaystyle f(x)-\left(f(x_{0})+f(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^{(n)}(x_{0})}{n!}}(x-x_{0})^{n}\right)={\frac {1}{(n+1)(x_{1}-x_{0})^{n}}}\cdot {\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{n!}}(x_{1}-x_{0})^{n}\cdot (x-x_{0})^{n+1}={\frac {f^{(n+1)}(\zeta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c64f9769803d83813e320be59962776287021be7)
ma il termine a primo membro è proprio
, quindi semplificando al secondo membro si ottiene:
con
. Q.E.D.
Il resto nella forma di Cauchy afferma che esiste
compreso tra
e
tale che
![{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}(x-x_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda3522a979756e1176e21f7b5e28567666748a4)
Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se
è una funzione continua su
e differenziabile su
con derivata non nulla, allora esiste
compreso tra
e
tale che
![{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{n!}}(x-\xi )^{n}\cdot {\frac {G(x)-G(a)}{G^{\prime }(\xi )}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49a8f7c2377ec9f2e801fe4183778132d802b0e0)
generalizzando dunque il teorema di Cauchy.
Il resto nella forma integrale, che al contrario dei precedenti è valido anche se
assume valori complessi, afferma che se
è assolutamente continua in
, allora
![{\displaystyle R_{n}(x)=\int _{a}^{x}{{\frac {f^{(n+1)}(t)}{n!}}(x-t)^{n}\,\operatorname {d} t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6886261ee29f85541e1072b1ee8c9e741822763b)
Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.
Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici. Sia
di classe
dove
è un insieme aperto. Allora in un intorno di
:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&f(\mathbf {x} )=\sum _{|\alpha |\leq k}{\frac {\operatorname {D} ^{\alpha }f(\mathbf {a} )}{\alpha !}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }+\sum _{|\alpha |=k}R_{\alpha }(\mathbf {x} )(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha },\\&\lim _{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }R_{\alpha }(\mathbf {x} )=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46fd1967244b3fe57da5df0dd196344083950953)
Sia
una funzione di classe
con
aperto di
Si vuole calcolare il polinomio di Taylor in
allora:
![{\displaystyle f(x_{0}+h,y_{0}+k)=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+R(h,k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d032de50a0a4c9b4fb8c6064150f092e86af5cd7)
dove
e
e
indica il resto.
Come per le funzioni di una variabile, se le derivate seconde sono limitate da un numero
allora si ha:
![{\displaystyle |R(h,k)|\leq M(h^{2}+k^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765525685d9c6dd7280a79b39c6a306361f42e79)
Da cui segue anche l'espressione del differenziale esatto
![{\displaystyle df=f(x+dx,y+dy)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}\cdot dy.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4737c8e2957a8e7eeb215a8982d79e487dec186)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{0}+h,y_{0}+k)&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+\\&+{\frac {1}{2!}}\left[f_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})hk+f_{yy}(x_{0},y_{0})k^{2}\right]+\\&+R(h,k),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50362ddeabb2f89fcf6d1809de86560c218a75de)
dove
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{0}+h,y_{0}+k)&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})\cdot h+f_{y}(x_{0},y_{0})\cdot k+\\&+{\frac {1}{2!}}\left[f_{xx}(x_{0},y_{0})h^{2}+2f_{xy}(x_{0},y_{0})hk+f_{yy}(x_{0},y_{0})k^{2}\right]+\\&+{\frac {1}{3!}}\left[f_{xxx}(x_{0},y_{0})h^{3}+3f_{xxy}(x_{0},y_{0})h^{2}k+3f_{xyy}(x_{0},y_{0})hk^{2}+f_{yyy}(x_{0},y_{0})k^{3}\right]+\\&+R(h,k),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48aeb390ffaffd113623e57a96b39f578cfde543)
dove
L'ordine
-esimo può essere ricavato dalla seguente sommatoria:
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\sum _{l=0}^{n}{n \choose l}{\frac {\partial ^{n}f(x,y)}{\partial x^{n-l}\partial y^{l}}}|_{(x=x_{0},y=y_{0})}(x-x_{0})^{n-l}(y-y_{0})^{l}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e55e5bebd9d01f8bfe13455f4a0325a04edb51)