Punto fisso
In matematica, un punto fisso per una funzione definita da un insieme in sé è un elemento coincidente con la sua immagine.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]In matematica, un punto fisso per una funzione definita su un insieme è un elemento in tale che:[1]
Si tratta di un punto che la funzione mappa in sé stesso.
Teoremi di esistenza
[modifica | modifica wikitesto]Alcuni teoremi molto importanti in matematica asseriscono che alcune funzioni da un insieme in sé hanno dei punti fissi. Questi teoremi si applicano in analisi matematica, analisi funzionale e topologia. Di questi, i più noti sono il teorema del punto fisso di Banach (teorema delle contrazioni) e il teorema del punto fisso di Brouwer.
La proprietà topologica del punto fisso
[modifica | modifica wikitesto]Uno spazio topologico si dice avere la proprietà del punto fisso se per ogni funzione continua esiste un tale che . La proprietà del punto fisso è un invariante topologico, cioè viene preservata dagli omeomorfismi. Inoltre, viene preservata dalle retrazioni.
Per il teorema del punto fisso di Brouwer tutti i sottoinsiemi compatti e convessi di uno spazio euclideo posseggono la proprietà del punto fisso. La sola compattezza non garantisce tale proprietà, e la convessità non è neppure una proprietà topologica, quindi ha senso chiedersi quali condizioni sulla topologia di uno spazio siano necessarie e sufficienti perché si abbia la proprietà del punto fisso. Nel 1932 Borsuk congetturò che la proprietà fosse posseduta da ogni spazio topologico compatto e contraibile. Il problema rimase aperto per 20 anni finché Kinoshita trovò un esempio di spazio compatto e contraibile che non aveva la proprietà del punto fisso.[2]
Sistemi dinamici
[modifica | modifica wikitesto]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ea/Cosine_fixed_point.svg/220px-Cosine_fixed_point.svg.png)
Nello studio dei sistemi dinamici, ogni punto di un'orbita periodica è un punto fisso per l'orbita.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Sono funzioni con punti fissi:
- Una rotazione del piano intorno ad un punto assegnato: in questo caso è l'unico punto fisso della rotazione.
- Una riflessione del piano rispetto ad una retta: ogni punto della retta è un punto fisso.
- Se la funzione polinomiale sui numeri reali è definita da:
- Allora 2 è un punto fisso per : infatti, un calcolo diretto mostra che .
Sono funzioni senza punti fissi:
- Una rotazione della circonferenza di un angolo diverso da zero (o di un multiplo di 2π) è una funzione senza punti fissi sulla circonferenza.
- Una traslazione diversa dalla identità non ha punti fissi (la traslazione può essere definita su uno spazio vettoriale o anche su un gruppo).
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ Reed, Simon, Pag. 150.
- ^ Kinoshita, S. On Some Contractible Continua without Fixed Point Property. Fund. Math. 40 (1953), 96-98
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
- (EN) Norman Steenrod Samuel Eilenberg, Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, 1952.
- (EN) Bernd Schröder, Ordered Sets, Birkhäuser Boston, 2002.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Iterazione di punto fisso
- Punto periodico
- Orbita (matematica)
- Teorema del punto fisso di Brouwer
- Teorema delle contrazioni
- Teorema di Sharkovsky
- Teoremi di punto fisso
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su punto fisso
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) invariant point, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Punto fisso, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Punto fisso, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 26676 · LCCN (EN) sh85048934 · BNF (FR) cb12266972t (data) · J9U (EN, HE) 987007535928705171 |
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