Numero multiperfetto

In matematica, il concetto di numero multiperfetto è la generalizzazione di quello di numero perfetto.

Dato un numero naturale $k,$ un numero $n$ è chiamato $k$-perfetto se e solo se la somma di tutti i divisori di $n$ (la funzione divisore $\sigma (n)$) è uguale a $kn;$ un numero è dunque perfetto se e solo se è 2-perfetto. Un numero che è $k$-perfetto per un qualche $k$ è chiamato genericamente numero multiperfetto. A luglio 2004 è noto che esistono numeri $k$-perfetti per ogni valore di $k$ fino a 11.

Può essere dimostrato che:

• Per un dato numero primo $p,$ se $n$ è $p$-perfetto e $p$ non divide $n,$ allora $pn$ è $(p+1)$-perfetto. Questo implica che se un intero $n$ è un numero 3-perfetto divisibile per 2 ma non per 4, allora $n/2$ è un numero perfetto dispari. Siccome si ritiene assai improbabile che esistano numeri perfetti dispari, risulta verosimile che i numeri 3-perfetti siano tutti multipli di 4.
• Se $3n$ è $4k$-perfetto e 3 non divide $n,$ allora $n$ è $3k$-perfetto.

I più piccoli numeri k-perfetti noti

La seguente tabella mostra i più piccoli numeri $k$-perfetti per $k\leq 7$:

k	Numero k-perfetto più piccolo	Scoperto da
1	1	sconosciuto
2	6	sconosciuto
3	120	sconosciuto
4	30.240	René Descartes, 1638 circa
5	14.182.439.040	René Descartes, 1638 circa
6	154.345.556.085.770.649.600	R.D. Carmichael, 1907
7	141.310.897.947.438.348.259.849.402.738.485.523.264.343.544.818.565.120.000	T.E. Mason, 1911

Collegamenti esterni

• (EN) The Multiply Perfect Numbers page, su wwwhomes.uni-bielefeld.de.
• (EN) The Prime Glossary: Multiply perfect numbers, su primes.utm.edu.