Numero di Schröder

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Vai alla navigazione Vai alla ricerca

In matematica, data una griglia quadrata di dimensione nel 1° quadrante di un sistema di riferimento cartesiano, il numero di Schröder, , descrive il numero di cammini possibili per arrivare dal punto di coordinate (0, 0) al punto di coordinate (n, n), ammettendo di potersi muovere soltanto in verticale e in orizzontale o in diagonale verso destra e senza che il cammino oltrepassi mai la diagonale data dalla retta di equazione .

La successione di tali numeri interi, che prendono il nome dal matematico tedesco Ernst Schröder, per , ha come primi elementi:

1, 2, 6, 22, 90, 394, 1 806, 8 558, ...[1]

La figura seguente mostra i 6 cammini che, rispettando le sopraccitate condizioni, è possibile fare per raggiungere il punto di coordinate (2,2) partendo dal punto di coordinate (0,0).

Costruzioni correlate

[modifica | modifica wikitesto]

Un cammino di Schröder di lunghezza è un cammino reticolare dal punto al punto con passi orientati verso nord-est, est, e sud-est, che non va al di sotto dell'asse delle ascisse. Il numero di Schröder ennesimo è il di numero di cammini di Schröder di lunghezza .[2] La figura seguente mostra i 6 cammini di Schröder di lunghezza pari a 2.

Similmente, i numeri di Schröder rappresentano il numero di modi in cui si può dividere un rettangolo in rettangoli più piccoli usando segmenti passanti per punti disposti in maniera casuale nel rettangolo, con ogni segmento che interseca uno solo dei suddetti punti e divide solo un singolo rettangolo in due più piccoli, in un processo simile a quello della triangolazione, in cui una forma è divisa in triangoli non sovrapposti invece in rettangoli. La figura seguente mostra le 6 possibili divisioni di un rettangolo in 3 rettangoli più piccoli usando 2 segmenti:

Nella sottostante figura sono invece mostrate le 22 divisioni di un rettangolo in 4 rettangoli più piccoli usando 3 segmenti:

Il numero di Schröder rappresenta anche le permutazioni separabili di lunghezza .

Successioni correlate

[modifica | modifica wikitesto]

I numeri Schröder sono talvolta chiamati "grandi numeri Schröder" poiché esiste un'altra successione di Schröder, ossia quella dei "piccoli numeri di Schröder", chiamati anche "numeri di Schröder-Ipparco". Le connessioni tra i cammini rappresentati da questi due numeri possono essere viste in diversi modi:

  • Considerando i cammini dal punto al punto con passi e che non salgono al di sopra della diagonale principale, si può vedere che ci sono due tipi di cammini: quelli che, anche solo in alcuni tratti, si estendono lungo la suddetta diagonale e quelli che non lo fanno mai. I grandi numeri di Schröder includono entrambi i tipi di cammino, mentre i piccoli numeri di Schröder tengono conto solo dei cammini che al massimo toccano la diagonale ma non hanno alcun tratto che si estende lungo di essa.[3]
  • Se è l'-simo grande numero di Schröder e è l'-simo piccolo numero di Schröder, allora per [4]

I cammini di Schröder sono simili ai cammini di Dick ma permettono anche il passo diagonale invece che solamente orizzontale e verticale. Un altro cammino simile è quello rappresentato dai numeri di Motzkin; i cammini di Motzkin permettono anch'essi i passi diagonali ma ammettono solo un singolo passo orizzontale (1,0), e rappresentano i cammini da a .[5]

Esiste anche una disposizione triangolare associata con i numeri di Schröder che fornisce una relazione di ricorrenza[6] (sebbene non solo con i numeri di Schröder). I primi termini sono:

1, 1, 2, 1, 4, 6, 1, 6, 16, 22, ...[6]

Risulta più facile vedere la connessione tra i numeri di Schröder quando la sequenza viene disposta in modo triangolare:

k
n
0 1 2 3 4 5 6
0 1
1 1 2
2 1 4 6
3 1 6 16 22
4 1 8 30 68 90
5 1 10 48 146 304 394
6 1 12 70 264 714 1 412 1 806

I numeri di Schröder sono quindi quelli disposti sulla diagonale, ossia dove è il numero alla riga e alla colonna . La relazione di ricorrenza data da questa disposizione è:

con e per .[6] Un'altra osservazione da fare è che la somma dei numeri sull'-sima riga è il -esimo piccolo numero di Schröder (o numero di Schröder-Ipparco), ossia:

.

Relazione di ricorrenza

[modifica | modifica wikitesto]
per con , .[7]

Funzione generatrice

[modifica | modifica wikitesto]

La funzione generatrice di è

.[7]

Uno degli argomenti trattati dalla combinatoria è la tassellatura delle forme, e un esempio particolare di questa è la tassellatura con tasselli a domino, che cerca di trovare quanti domino (cioè rettangoli di dimensioni o ) si possono disporre su una qualunque superficie facendo in modo che la superficie sia completamente coperta e che i domino non si sovrappongano e non escano fuori dal perimetro della superficie.

La tassellatura con tasselli a domino di un diamante Azteco di ordine 4.

Quello che risulta è che esiste una connessione tra i numeri di Schröder e la tassellatura con tasselli a domino della superficie nota come diamante Azteco. Il determinante di una matrice di Hankel di dimensione dei numeri di Schröder, ossia la matrice quadrata in cui il -esimo elemento è è il numero di modi in cui si può tassellare un diamante Azteco di ordine utilizzando tasselli a forma di domino, vale a dire .[8] Quindi, data la generica matrice,

Si ha ad esempio:

  1. ^ (EN) N. J. A. Sloane, Sequenza A006318, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. URL consultato il 3 maggio 2021.
  2. ^ Federico Ardila, Algebraic and geometric methods in enumerative combinatorics, in Handbook of enumerative combinatorics, CRC Press, 2015.
  3. ^ (EN) N. J. A. Sloane, Sequenza A001003, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation. URL consultato il 3 maggio 2021.
  4. ^ Dan Drake, Bijections from weighted Dyck paths to Schröder paths (PDF), 2010. URL consultato il 2 maggio 2021.
  5. ^ Eva Y. P. Deng e Wei-Jun Yan, Some identities on the Catalan, Motzkin, and Schröder numbers, in Discrete Applied Mathematics, vol. 156, 166-218X, 2008, pp. 2781-2789, DOI:10.1016/j.dam.2007.11.014.
  6. ^ a b c N. J. A. Sloane, Triangular array associated with Schroeder numbers, su oeis.org, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.
  7. ^ a b Feng Oi e Bai-Ni Guo, Some explicit and recursive formulas of the large and little Schröder numbers, in Arab Journal of Mathematical Sciences, vol. 23, n. 1319-5166, 2017, pp. 141-147, DOI:10.1016/j.ajmsc.2016.06.002.
  8. ^ Sen-Peng Eu e Tung-Shan Fu, A simple proof of the Aztec diamond theorem, in Electronic Journal of Combinatorics, vol. 12, n. 1077-8926, 2005, pp. Research Paper 18, 8.

Voci correlate

[modifica | modifica wikitesto]

Altri progetti

[modifica | modifica wikitesto]

Collegamenti esterni

[modifica | modifica wikitesto]
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica