Norma uniforme

In analisi matematica, la norma uniforme, norma del sup o norma di Chebyshev di una funzione $f$ definita in un dominio $D$ a valori reali o complessi è la quantità non negativa:

\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in D}\left|f(x)\right|

Se $f$ non è una funzione limitata in $D$ , questa quantità risulta infinita (ad esempio per la funzione esponenziale in $\mathbb {R}$ ). Restringendosi invece allo spazio vettoriale delle funzioni definite in $D$ e limitate, $||\cdot ||_{\infty }$ assume sempre valore finito e soddisfa le proprietà di una norma.

Se $f$ è una funzione continua su un insieme compatto, allora l'estremo superiore è raggiunto per il teorema di Weierstrass, quindi possiamo sostituire l'estremo superiore con il massimo. In questo caso, la norma è anche chiamata norma del massimo.

In particolare, nel caso di un vettore $x=(x_{1},...,x_{n})$ in uno spazio di dimensione finita, prende la forma:

\|x\|_{\infty }=\max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\}

La ragione del pedice "∞" è data dal seguente limite, valido se $f\in L^{\infty }(D)$ e la misura di $D$ è finita:

\lim _{p\rightarrow \infty }\|f\|_{p}=\|f\|_{\infty }

dove:

\|f\|_{p}=\left(\int _{D}\left|f\right|^{p}\,d\mu \right)^{1/p}

dove $\|\cdot \|_{p}$ è la norma p (e l'integrale diventa una somma se $D$ è un insieme discreto).

La funzione binaria:

d(f,g)=\|f-g\|_{\infty }

è quindi una metrica nello spazio di tutte le funzioni limitate nel particolare dominio. Una successione $\{f_{n}:n=1,2,3,\dots \}$ converge uniformemente alla funzione $f$ se e solo se:

\lim _{n\rightarrow \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0

Bibliografia

(EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, New York, McGraw-Hill, 1964, p. 151, ISBN 0-07-054235-X.
(EN) Taylor, A. E. and Lay, D. C. Introduction to Functional Analysis, 2nd ed. New York: Wiley, 1980

Voci correlate

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Norma uniforme, su MathWorld, Wolfram Research.

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