Ռելեյի ալիքներ , մակերևույթային ակուստիկ ալիքներ , որոնք անվանվել են Ռելեյի պատվին, քանի որ նա տեսականորեն կանխատեսել է նրանց գոյությունը 1885 թվականին[ 1]
Ռելեյի ալիքների պատկերումը Ռելեյի ալիքները տարածվում են պինդ մարմնի մակերևույթի վրայով։ Փուլային արագությունն ուղղված է մակերևույթին զուգահեռ։ Տատանման լայնույթը մարում է մակերևույթից հեռացմանը զուգընթաց, էկսպոնենտալ օրենքով, իսկ ալիքի էներգիան կենտրոնացված է մակերևույթից ալիքի երկարության աստիճանին հավասար հեռավորության վրա[ 2]
Համասեռ, իզոտրոպ, իդելական առաձգականություն ունեցող և ρ խտությամբ միջավայրի անվերջ փոքր ծավալի շարժման հավասարումը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․
ρ
∂
2
U
∂
t
2
=
μ
Δ
U
+
(
λ
+
μ
)
grad
div
U
,
{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}}{\partial t^{2}}}=\mu \Delta {\textbf {U}}+(\lambda +\mu )\,{\textrm {grad}}\,{\textrm {div}}{\textbf {U}},}
(1)
Որտեղ U λ և μ — առաձգական հաստատուններն են, Δ — Լապլասի օպերատորն է[ 3]
ρ
∂
2
U
l
∂
t
2
−
(
λ
+
2
μ
)
Δ
U
l
=
0
,
{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{l}}{\partial t^{2}}}-(\lambda +2\mu )\Delta {\textbf {U}}_{l}=0,}
(2.1)
ρ
∂
2
U
t
∂
t
2
−
μ
Δ
U
t
=
0.
{\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}_{t}}{\partial t^{2}}}-\mu \Delta {\textbf {U}}_{t}=0.}
(2.2)
Եթե ալիքը տարածվում է x առանցքի երկայնքով, ապա իզոտրոպության դեպքում կարելի է ալիքները դիտարկել միայն (x,z) հարթությամ մեջ։
∂
2
ψ
∂
x
2
+
∂
2
ψ
∂
z
2
−
k
t
2
∂
2
ψ
∂
t
2
=
0
,
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}-k_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0,}
(3.2)
որտեղ
k
l
=
ω
ρ
/
(
λ
+
2
μ
)
,
{\displaystyle k_{l}=\omega {\sqrt {\rho /(\lambda +2\mu )}},}
k
t
=
ω
ρ
/
μ
,
{\displaystyle k_{t}=\omega {\sqrt {\rho /\mu }},}
[ 4]
ϕ
=
A
exp
[
−
q
z
+
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
,
{\displaystyle \phi =A{\textrm {exp}}[-qz+i(kx-\omega t)],}
(4.1)
ψ
=
B
exp
[
−
s
z
+
i
(
k
x
−
ω
t
)
]
,
{\displaystyle \psi =B{\textrm {exp}}[-sz+i(kx-\omega t)],}
(4.2)
որտեղ
q
2
=
k
2
−
k
l
2
{\displaystyle q^{2}=k^{2}-k_{l}^{2}}
s
2
=
k
2
−
k
t
2
{\displaystyle s^{2}=k^{2}-k_{t}^{2}}
k
2
>
k
t
2
>
k
l
2
{\displaystyle k^{2}>k_{t}^{2}>k_{l}^{2}}
A և B — ցանկացած հաստատուններ են։ Մասնավոր լուծման համար պիտի տալ սահմանային պայմաններ միջավայրի մակերևույթի համար։
Շեղման բաղադրիչները ներկայացվում են հետևյալ կերպ։
U
x
=
∂
ϕ
∂
x
−
∂
ψ
∂
z
,
{\displaystyle U_{x}={\frac {\partial \phi }{\partial x}}-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},}
(5.1)
U
z
=
∂
ϕ
∂
z
+
∂
ψ
∂
x
.
{\displaystyle U_{z}={\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial \psi }{\partial x}}.}
(5.1)
Ազատ սահմանների դեպքում լարման թենզորի արժեքը հավասարվում է զրոյի։
T
z
z
=
λ
(
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
)
+
2
μ
(
∂
2
ϕ
∂
z
2
−
∂
2
ψ
∂
x
∂
z
)
=
0
,
{\displaystyle T_{zz}=\lambda \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}\right)+2\mu \left({\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x\partial z}}\right)=0,}
(6.1)
T
x
z
=
λ
(
2
∂
2
ϕ
∂
x
∂
z
+
∂
2
ψ
∂
x
2
−
∂
2
ψ
∂
z
2
)
=
0.
{\displaystyle T_{xz}=\lambda \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)=0.}
(6.2)
Պատասխանը տեղադրելուց հետո (4 )ստացվում է գծային հավասարումների համասեռ համակարգ A ևB լայնույթների նկատմանբ։[ 5]
η
6
−
8
η
4
+
8
(
3
−
2
ξ
2
)
η
2
−
16
(
1
−
ξ
2
)
=
0
,
{\displaystyle \eta ^{6}-8\eta ^{4}+8(3-2\xi ^{2})\eta ^{2}-16(1-\xi ^{2})=0,}
(6)
որտեղ
η
=
k
t
/
k
{\displaystyle \eta =k_{t}/k}
ξ
=
k
l
/
k
t
{\displaystyle \xi =k_{l}/k_{t}}
η
R
=
0
,
87
+
1
,
12
ν
1
+
ν
.
{\displaystyle \eta _{R}={\frac {0,87+1,12\nu }{1+\nu }}.}
(7)
Այստեղից գտնում ենք ռելեյան ալիքի շեղման բաղադրիչնեչը։[ 6]
U
x
=
A
k
R
(
exp
(
−
q
R
z
)
−
2
q
R
s
R
k
R
2
+
s
R
2
exp
(
−
s
R
z
)
)
exp
[
i
(
k
R
x
−
ω
t
−
π
2
)
]
,
{\displaystyle U_{x}=Ak_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2q_{R}s_{R}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right],}
(8.1)
U
z
=
A
q
R
(
exp
(
−
q
R
z
)
−
2
k
R
2
k
R
2
+
s
R
2
exp
(
−
s
R
z
)
)
exp
[
i
(
k
R
x
−
ω
t
)
]
.
{\displaystyle U_{z}=Aq_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2k_{R}^{2}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t\right)\right].}
(8.2)
↑ Lord Rayleigh (1885). «On Waves Propagated along the Plane Surface of an Elastic Solid» . Proc. London Math. Soc . s1-17 (1): 4–11. ↑ Викторов И. А., 1981 , էջ 11↑ Викторов И. А., 1981 , էջ 7↑ Викторов И. А., 1981 , էջ 8↑ Викторов И. А., 1981 , էջ 9↑ Викторов И. А., 1981 , էջ 10
Викторов И. А. Звуковые поверхностные волны в твердых телах. — М.: Наука, 1981. — 287 с.
![{\displaystyle \phi =A{\textrm {exp}}[-qz+i(kx-\omega t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc52782a1c06a498df922331ad2648f3d4d4a95)
![{\displaystyle \psi =B{\textrm {exp}}[-sz+i(kx-\omega t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a32788e06c11f4f9422fb3e101855797163ec4e)
![{\displaystyle U_{x}=Ak_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2q_{R}s_{R}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0510d134232c9dfc889450434c13ce6b86ded254)
![{\displaystyle U_{z}=Aq_{R}\left({\textrm {exp}}(-q_{R}z)-{\frac {2k_{R}^{2}}{k_{R}^{2}+s_{R}^{2}}}{\textrm {exp}}(-s_{R}z)\right){\textrm {exp}}\left[i\left(k_{R}x-\omega t\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac36a134862f8b99351b9c568e1de674ab335b3)
