Բոլցմանի հավասարում

Բոլցմանի հավասարումը կամ Բոլցմանի կինետիկական հավասարումը կինետիկական երևույթների, մասնավորապես՝ անհավասարակշիռ վիճակագրական մեխանիկայի ամենահիմնարար հավասարումներից մեկն է։ Այն ստացվել է 1872 թվականին ավստրիացի ֆիզիկոս Լյուդվիգ Բոլցմանի կողմից և կրում է վերջինիս անունը։

Բոլցմանի հավասարմամբ տրվում է համակարգի մասնիկների բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը։ Այն իրենից ներկայացնում է մասնակի ածանցյալներով գծային ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարում։

Հավասարումը նախապես ստացվել է նոսր գազերի համար, սակայն ունի կիրառելիության բավականին լայն սահմաններ և ընկած է մի շարք ֆիզիկական երևույթների դասական ու քվազիդասական նկարագրության հիմքում։

Ընդհանուր պատկերացումներ

Փուլային տարածություն։ Բաշխման ֆունկցիա

Ներմուծենք r(x, y, z) դեկարտյան կոորդինատների և v(v_x, v_y, v_z) արագությունների 6-չափանի փուլային տարածություն, որը հաճախ անվանում են նաև μ-տարածություն։ Փուլային տարածության (r, v) կետի շուրջ ծավալի տարրը կլինի՝

$d\mathbf {r} \,d\mathbf {v} =dx\,dy\,dz\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}:$

f(r, v, t) միամասնիկային բաշխման ֆունկցիան սահմանվում է հետևյալ կերպ՝

$f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)d\mathbf {r} \,d\mathbf {v} =dN,$

որտեղ dN-ը ժամանակի t պահին drdv փուլային ծավալում եղած մասնիկների թիվն է։ Իսկ մասնիկների N լրիվ թիվը կլինի՝

$N=\int d\mathbf {r} d\mathbf {v} f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t):$
Այստեղ ինտեգրումը կատարվում է ըստ ողջ փուլային տարածության։

Միամասնիկային բաշխման ֆունկցիայի և N-մասնիկային ρ(r₁, v₁, ..., r_N, v_N, t) բաշխման ֆունկցիայի միջև կապը տրվում է հետևյալ կերպ՝

$f(\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1},t)=N\int d\mathbf {r} _{2}d\mathbf {v} _{2}...\int d\mathbf {r} _{N},d\mathbf {v} _{N}\rho (\mathbf {r} _{1},\mathbf {v} _{1},...,\mathbf {r} _{N},\mathbf {v} _{N},t):$

Բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը

Փուլային տարածության (r, v) կետում բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային $\partial f/\partial t$ փոփոխությունը պայմանավորված է տվյալ կետի շուրջ ծավալի տարրում եղած մասնիկների թվի փոփոխությամբ, ինչը կարող է տեղի ունենալ հետևյալ պատճառներով՝ մասնիկների դիֆուզիայի, արտաքին ուժերի ազդեցությամբ տարածական տեղաշարժի և մասնիկների ցրումների։ Ասվածը ճիշտ է, եթե մասնիկների ընդհանուր քանակը մնում է հաստատուն։ Ընդհանուր դեպքում, օրինակ՝ կիսահաղորդիչներում ազատ լիցքակիրների բաշխումը դիտարկելիս, պետք է հաշվի առնել նաև լիցքակիրների գեներացիան և ռեկոմբինացիան։ Գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն պրոցեսների բնութագրական ժամանակը մասնիկների ազատ վազքի ժամանակից շատ անգամ մեծ է, հետևաբար, լիցքակիրների ցրման խնդիրները քննարկելիս կարելի է համարել, որ ցրումը տեղի է ունենում լիցքակիրների անփոփոխ կոնցենտրացիայի պայմանում և գեներացիոն-ռեկոմբինացիոն երևույթների ներդրումը կարելի է անտեսել։

Այսպիսով, բաշխման ֆունկցիայի ժամանակային փոփոխությունը (փոփոխման արագությունը) ֆորմալ ձևով կարելի է ներկայացնել այսպես՝

${\frac {\partial f}{\partial t}}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {force} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {diff} }+\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }:$

Այստեղ հավասարման աջ մասի անդամները ֆորմալ ձևով ներկայացնում են համապատասխանաբար արտաքին ուժերի ազդեցությունը, դիֆուզիան և ցրումները։

Բոլցմանի հավասարման պարզ ստացումը

Հավասարումը Բոլցմանի կողմից ստացվել է բազմամասնիկային համակարգի (միաատոմային նոսր գազի) մասնիկների միջև ցրման երևույթների վերլուծության միջոցով։ Այստեղ հակիրճ կներկայացնենք հիմնական մոտեցումը։

Դիտարկենք ժամանակային dt տեղաշարժի ազդեցությունը f(r, v, t) բաշխման ֆունկցիայի վրա։ Ցրումների բացակայության դեպքում, համաձայն Լիուվիլիի թեորեմի, ունենք՝

$f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} ,t+dt)=f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t):$

Ցրումները ներառելու դեպքում այս հավասարությունը կխախտվի՝

$f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} ,\mathbf {v} +d\mathbf {v} ,t+dt)-f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=dt\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }:$

Հավասարման ձախ մասի առաջին անդամը վերլուծելով շարքի ըստ dr, dv, dt -ի աստիճանների, և սահմանափակվելով առաջին կարգի անդամներով, կստանանք՝

$dt{\frac {\partial f}{\partial t}}+d\mathbf {r} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }f+d\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {v} }f=dt\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} },$

որտեղ

$\nabla _{\mathbf {r} }\equiv ({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}),$ $\nabla _{\mathbf {v} }\equiv ({\frac {\partial }{\partial v_{x}}},{\frac {\partial }{\partial v_{y}}},{\frac {\partial }{\partial v_{z}}}):$

Այնուհետև, տեղադրելով

${d\mathbf {r} \over dt}=\mathbf {v} ,{d\mathbf {v} \over dt}=\mathbf {a} ,\mathbf {F} =m\mathbf {a} ,$

վերջնականապես ստացվում է՝

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }+{1 \over m}\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {v} }\right]f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\mathrm {coll} }:$

Սա էլ հենց Բոլցմանի հավասարման ընդհանուր տեսքն է։ Այստեղ F-ը համակարգի վրա ազդող արտաքին ուժն է, իսկ m-ը՝ մասնիկների զանգվածը։

Հավասարման աջ մասի անդամը ֆորմալ ձևով ներկայացնում է ցրումները։ Այն անվանում են ցրումների անդամ կամ ցրումների ինտեգրալ և երբեմն նշանակում J(f)-ով։

Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն

Բոլցմանի հավասարումը լուծելու համար պետք է մանրամասն վերլուծել ցրումների անդամը, ինչն ընդհանուր դեպքում բավականին բարդ խնդիր է։ Պետք է հաշվի առնել ցրման մեխանիզմը, մասնիկների միջև փոխազդեցության բնույթը և այլն։ Այն տրվում է ցրման հավանականությունների ինտեգրալային արտահայտությամբ (այստեղից էլ ցրման ինտեգրալ անունը)։ Ցրման հավանականության որոշումը հանգում է մաքուր քվանտային խնդրի, իսկ Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է ինտեգրալադիֆերենցիալ հավասարման։ Այս պատճառով Բոլցմանի հավասարումը լուծվում է միայն հստակ դեպքերի համար։

Արտաքին ազդեցութունների բացակայության և ջերմային հավասարակշռության պայմաններում Բոլցմանի հավասարման ձախ մասը հավասարվում է զրոյի, հետևաբար այս դեպքում ցրումների ինտեգրալը զրո է։ Այս պայմանը կոչվում է մանրամասն հավասարակշռության սկզբունք։ Տվյալ դեպքում հավասարման լուծումը հավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան է։ Վերջինս նշանակենք f₀-ով։ Այն իրենից ներկայացնում է Մաքսվել-Բոլցմանի կամ Ֆերմի-Դիրակի բաշխման ֆունկցիան։

Հավասարակշռության վիճակից փոքր շեղումների դեպքում f անհավասարակշիռ բաշխման ֆունկցիան կարելի է ներկայացնել

$f=f_{0}+f_{1}$

ձևով, որտեղ f₁-ը ներկայացնում է շեղումը հավասարակշռության վիճակից՝

$f_{1}\ll f_{0}:$

Ցրման երևույթները քննարկելիս խնդիրների մեծամասնության դեպքում մասնիկների միջև ցրումները կարելի է համարել առաձգական կամ քվազիառաձգական։ Կինետիկական երևույթների տեսությունում ցույց է տրվում, որ այդ դեպքում ցրումների ինտեգրալը կարելի է ներկայացնել հետևյալ կերպ՝

$J(f)=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}=-{\frac {f_{1}}{\tau }},$

որտեղ τ գործակիցը կոչվում է ռելաքսացիայի ժամանակ։ Վերջինս ցույց է տալիս այն ժամանակամիջոցը, որի ընթացքում անհավասարակշիռ համակարգը արտաքին աազդեցությունները վերացնելուց հետո անցնում է հավասարակշիռ վիճակի։

Ռելաքսացիայի ժամանակը կախված է մասնիկների արագությունից (էներգիայից), հետևաբար՝ արտաքին ազդեցությունից։ Սակայն արտաքին թույլ ազդեցությունների դեպքում կարելի է համարել, որ այն կախված չէ արտաքին ազդեցությունից և որոշվում է միայն ցրման մեխանիզմով։ Ռելաքսացիայի ժամանակը մեծ մասամբ ազատ վազքի ժամանակի կարգի մեծություն է։

Վերը նշված մոտեցումը կոչվում է ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորություն, իսկ Բոլցմանի հավասարումը ներկայացվում է հետևյալ կերպ՝

$\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla _{\mathbf {r} }+{1 \over m}\mathbf {F} \cdot \nabla _{\mathbf {v} }\right]f=-{\frac {f-f_{0}}{\tau }}:$

Ռելաքսացիայի ժամանակի մոտավորությունը զգալիորեն հեշտացնում է Բոլցմանի հավասարման լուծումը։

Կիրառելիության սահմանները

Բոլցմանի հավասարումն իր օրիգինալ տարբերակով մաքուր դասական հավասարում է։ Պայմանավորված քվանտային երևույթներով՝ հավասարման կիրառելիության վրա դրվում են մի շարք սահմանափակումենր։

Հավասարումը կիրառելի է այն դեպքում, երբ մասնիկների դը Բրոյլի ալիքի երկարությունները շատ ավելի փոքր են ազատ վազքի երկարությունից (ունենք դասական պատկեր), իսկ մասնիկի ցրման տևողությունը շատ ավելի փոքր է ազատ վազքի ժամանակից։ Համարվում է նաև, որ համակարգի խտությունը շատ մեծ չէ՝ այնպես, որ կարելի է անտեսել միաժամանակ երկուսից ավել մասնիկների միմյանց հետ ցրվելու հավանականությունը։

Սահմանափակում է դրվում նաև արտաքին ազդեցությունների (դաշտերի) վրա, մասնավորապես՝ համարվում է, որ արտաքին ուժերի ազդեցությամբ մասնիկի էներգիայի փոփոխության չափը փոքր է հավասարակշռության վիճակում ունեցած էներգիայից։ Օրինակ՝ արտաքին մագնիսական դաշտը համարվում է ոչ քվանտացնող։

Բոլցմանի հավասարման ընդլայնված տարբերակները

Բազմամասնիկային համակարգերում ցրման երևույթների մանրամասն վերլուծության շնորհիվ 1940-ականներին Բոգոլյուբովը, Բորնը, Գրինը, Կիրկվուդը և Իվոնը ստեղծեցին, այսպես կոչված, ԲԲԳԿԻ հավասարումների հիերարխիան (շարքը)՝ 1, 2, ..., N-մասնիկային բաշխաման ֆունկցիաների համար։

Բոլցմանի հավասարումն իր համապատասխան ընդլայնված տարբերակներն ունի ինչպես Հարաբերականության տեսությունում (Բոլցմանի ռելյատիվիստական հավասարում), այնպես էլ քվանտային մեխանիկայում։ Քվանտային երևույթների մասնակի ներառման դեպքում Բոլցմանի հավասարումը վերածվում է Բոլցմանի քվազիդասական հավասարման։ Բացի այս, դաշտի քվանտային տեսությունում գոյություն ունի, այսպես կոչված, Բոլցմանի էֆեկտիվ հավասարումը։

Գրականություն

1. Franz Schwabl, Statistical Mechanics, 2-nd ed., Springer, 2006
2. C. Kittel, Elementary Statistical Physics, John Wiley & Sons, Inc., 1958
3. А.П. Крюков, Элементы Физической Кинетики, Москва, Издательство МЭИ, 1995