Ciolkovszkij-egyenlet
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/42/Var_mass_system.svg/300px-Var_mass_system.svg.png)
A Ciolkovszkij-egyenlet az idealizált rakéta mozgását írja le. Nevét Konsztantyin Eduardovics Ciolkovszkij orosz kutatóról kapta, aki munkássága során sokat foglalkozott az űrutazással, és ő alapozta meg tudományosan a többlépcsős rakéták elméletét is.
Ciolkovszkij rakéta-egyenlete idealizált gravitáció és légellenállás nélküli (vákuum) esetre:
Ahol:
- a rakéta sebessége a t időpillanatban,
- a rakétát elhagyó gázsugár sebessége a rakétához képest (jellemző érték kémiai hajtóanyag esetén: 4,5 km/s),
- a rakéta induló tömege és
- a rakéta tömege az indulástól számított t idő múlva.
Az egyenlet levezetése
[szerkesztés]Jelöljük a rakétából kiáramló gázsugár a rakétához képest állandó sebességét vg-vel, az inerciarendszerhez képesti pillanatnyi sebességét pedig vgi-vel, az indulástól számított t idő elteltével a rakéta tömegét m-el, t + dt időpillanatban a rakéta tömege pedig legyen m - dm. A rakéta a t-ik időpillanatban mért P1 impulzusára az alábbi összefüggés írható:
A t + dt időpontban a P2 impulzusa pedig így írható:
A két impulzus különbsége, ha a másodrendűen kicsi dm.dvgi tagot elhanyagoljuk:
- ,
azonban, mivel a gázsugár relatív sebessége a rakétához képest
- ,
és mivel a rakétára semmiféle külső erő nem hat, a két impulzus különbsége nulla, ezért írhatjuk:
- ,
A rakéta pillanatnyi m tömegével elosztva mindkét oldalt:
- ,
a rakétamozgás differenciálegyenletéhez jutunk, aminek megoldása egyszerűen integrálással történik:
és innen a rakéta sebessége:
Források
[szerkesztés]- К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903.
- Ciolkovszkij fenti műve PDF formátumban