Ugrás a tartalomhoz

Ceva-tétel

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Ceva-tétel a háromszögekben található szakaszokkal tesz fontos állítást. A tétellel a magasságtétel, szögfelező-tétel vagy az oldalafelezőkre vonatkozó tétel könnyen bizonyítható. A tételt eredetileg Giovanni Ceva olasz matematikus tette közzé 1678-ban.[1]

Tétel

[szerkesztés]

Az háromszögben , és egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban (), ha

.
Ceva-tétel

Bizonyítás

[szerkesztés]

Menelaosz tételével

[szerkesztés]

Használjuk a Menelaosz-tételt az háromszögre:

.

Majd ugyanezt a háromszögre:

.

Ezeket összeszorozva kapjuk a megfelelő egyszerűsítésekkel a képletet:

.
Megjegyzés (trigonometrikus Céva-tétel)

A tétel eredeti formában nehezebb feladatoknál igen nehézkesen alkalmazható. Ezért a szinusztétel segítségével felírhatjuk trigonometrikus alakban is: az háromszögben , és egyenesek akkor és csak akkor metszik egymást egy pontban, ha

.

Területekkel

[szerkesztés]

Használjuk fel azt a tételt, miszerint az egyenlő magasaságú háromszögek területe arányos az alapjaikkal. Ekkor

Hasonlóan kapjuk, hogy

A fenti arányokat összeszorozva kapjuk a tétel állítását:

[1]

Források

[szerkesztés]
  1. a b Coxeter, H. S. M., S. L. Greitzer. Az újra felfedezett geometria, (ford. Merza József), Budapest: Gondolat [1967] (1977)