Prijeđi na sadržaj

Gustoća skupa

Izvor: Wikipedija
Skup racionalnih brojeva '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"'. Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"' prebrojiv, iako nije diskretan.
Skup racionalnih brojeva . Jasno je da se radi o gustom skupu, no ovaj prikaz pokazuje da je prebrojiv, iako nije diskretan.

Gustoća skupa, osnovno je svojstvo uređenog skupa koje određuje njegovu uređajnu i metričku strukturu. Skup može biti gust (kontinuiran) ili diskretan.[1]

Preciznije, kažemo da je skup takav da je gust ako između svaka dva distinktna (različita) elementa postoji treći distinktni element . Pretpostavlja se da ima barem dva elementa jer bi inače tvrdnja trivijalno vrijedila.

Također, s druge strane, kažemo da je uređeni skup diskretan ako nije gust.

U metričkom prostoru

[uredi | uredi kôd]

Diskretni skup može se definirati i preko metričkih prostora, a pojam gustog skupa bit će, dakle, njegova negacija. Naime, skup je diskretan u metričkom prostoru ako za svaki postoji takav da je . Naravno, skup je gust ako nije diskretan.

Ova se definicija može intuitvno i zorno predočiti. Naime, skup će biti diskretan ako i samo ako možemo pronaći (ma kako malu) vrijednost od koje će udaljenost između bilo kojih dviju točaka biti veća. U slučaju gustog skupa, dvije točke mogu biti proizvoljno "blizu" pa takav ne postoji, odnosno za bilo koji možemo pronaći točke za koje je .

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. Diskretni skup. Pristupljeno 25. lipnja 2023.