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गणित में अनन्त गुणनफल (infinite product) को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया गया है।
समिश्र संख्याओं का कोई अनुक्रम a 1 , a 2 , a 3 , ... के लिए गुणनफल
∏
n
=
1
∞
a
n
=
a
1
a
2
a
3
⋯
{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }
के आंशिक गुणफलों a 1 a 2 ...a n सीमा को अनन्त गुणनफल कहते हैं, जब n अनन्त की ओर अग्रसर होता है। जब सीमा अस्तित्व में होती है, और शून्य नहीं होती, तो गुणनफल का अभिसारित होना (converging) कहते हैं अन्यथा गुणनफल को अपसारित होना (diverging) कहते हैं।
π का मान एक अनन्त गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:
2
π
=
2
2
⋅
2
+
2
2
⋅
2
+
2
+
2
2
⋅
⋯
{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \;\cdots }
π
2
=
(
2
1
⋅
2
3
)
⋅
(
4
3
⋅
4
5
)
⋅
(
6
5
⋅
6
7
)
⋅
(
8
7
⋅
8
9
)
⋅
⋯
=
∏
n
=
1
∞
(
4
n
2
4
n
2
−
1
)
.
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right).}
अनन्त गुणनफल स सम्बन्धित एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि सभी सम्पूर्ण फलन (entire function) f (z ) को सम्पूर्ण फलनों, जिनका अधिकतम एक मूल हो, के अनन्त गुणनफल के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।
नीचे कुछ फलनों के अनन्त गुणनफल के रूप में निरूपण दिए गए हैं:
फलन
अनन्त गुननफल के रूप में निरूपण
टिप्पणी
Simple pole
c
c
−
z
=
∏
n
=
1
∞
e
1
n
(
z
c
)
n
1
1
−
z
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
z
2
n
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c}{c-z}}&=\prod _{n=1}^{\infty }e^{{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {z}{c}}\right)^{n}}\\{\frac {1}{1-z}}&=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1+z^{2^{n}}\right)\end{aligned}}}
Sinc function
sin
π
z
π
z
=
∏
n
=
1
∞
(
1
−
z
2
n
2
)
{\displaystyle {\frac {\sin \pi z}{\pi z}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}
This is due to Euler . Wallis' formula for π is a special case of this.
Reciprocal gamma function
1
Γ
(
z
)
=
z
e
γ
z
∏
n
=
1
∞
(
1
+
z
n
)
e
−
z
n
=
z
∏
n
=
1
∞
1
+
z
n
(
1
+
1
n
)
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{\Gamma (z)}}&=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\\&=z\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+{\frac {z}{n}}}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}}\end{aligned}}}
Schlömilch
Weierstrass sigma function
σ
(
z
)
=
z
∏
ω
∈
Λ
∗
(
1
−
z
ω
)
e
z
2
2
ω
2
+
z
ω
{\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {z^{2}}{2\omega ^{2}}}+{\frac {z}{\omega }}}}
Here
Λ
∗
{\displaystyle \Lambda _{*}}
Q-Pochhammer symbol
(
z
;
q
)
∞
=
∏
n
=
0
∞
(
1
−
z
q
n
)
{\displaystyle (z;q)_{\infty }=\prod _{n=0}^{\infty }(1-zq^{n})}
Widely used in q-analog theory. The Euler function is a special case.
Ramanujan theta function
f
(
a
,
b
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
a
n
(
n
+
1
)
2
b
n
(
n
−
1
)
2
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
a
n
+
1
b
n
)
(
1
+
a
n
b
n
+
1
)
(
1
−
a
n
+
1
b
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}f(a,b)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}b^{\frac {n(n-1)}{2}}\\&=\prod _{n=0}^{\infty }(1+a^{n+1}b^{n})(1+a^{n}b^{n+1})(1-a^{n+1}b^{n+1})\end{aligned}}}
An expression of the Jacobi triple product , also used in the expression of the Jacobi theta function
Riemann zeta function
ζ
(
z
)
=
∏
n
=
1
∞
1
1
−
p
n
−
z
{\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}
Here p n prime numbers . This is a special case of the Euler product .
